1、第二輪復習第74講 幾何證明與計算(“K”字型的妙用)三角形和四邊形作為初中幾何的核心知識， 是近幾年重慶中考重點考查的內容， 試卷呈現的 有關幾何題問題的計算、證明與探究，能較好地考察學生的邏輯思維能力和分析問題、解決 問題的能力，常考的知識包括：全等三角形、特殊三角形和特殊四邊形性質與判定，線段中 垂線、角平分線的性質與判定等相關知識，靈活地掌握輔助線的做法是解決這類問題的關鍵。 學習目標：1 .學會識別、構造“K字型，積累作輔助線的數學經驗2 .經歷識別、構造基本圖形的過程，提高綜合分析問題的能力學習重點：會用“K字型的性質解決問題學習難點：“K字型的構造學習過程：一、溫故知新 觀察下列

2、基本圖形，你能得出什么結論?(1)如圖，已知：點 B、C、D在同一直線上，ACXEC, AB ±BD, EDXDB.追問追問(2)E 1：這個圖形有什勿特征?A2:C=CE /若如圖，已知/C -AO CE,你有什么新的發現?ABC=/ACE=/D,問：/ A、/ECD 有何關系?3 3) “K'字型/現形式：二、自主練習:，E1 .如圖片也2ABC鍬中長為9, BD=3, /ADE=60度，WJ AE長為.,BJ 酬一、 D2 .如圖，F久正萬形ABCD的邊CD上的一個動點，BF的垂直平分線父對角線 AC于點E,連接BE, FE,則/ EBF的度數是（）.A. 45

3、6; B. 50°C. 600 D.不確定三、經典例題: 例： 如圖，在AABC中，NABC =90，,過點C作AC的垂線CE,且CE=CA,連接AE、BE.(1)若tan/BAC =立，AE =2 ,求四邊形ABCE的面積;3(2)若 EA = EB ,求證 AB=2BC.四、贏在中考：1 .小明課間把老師的三角板的直角頂點放在黑板的兩Q行線口圖),已知/ 2=35 , 則/ 1的度數為().A. 55。 B. 35。C. 45。D. 125。月用二2 .如圖，在平面直角坐標系中，正方形 ABCD頂點A的坐標為(0, 2) , B點在x軸上，對角線AC, BD交于點M, OM =

4、3V2,則點C的坐標為3 .正方形ABCD中，E是對角線BD上一點，過點E作EF±CE交AB于點F.若BF=2,BC=6,求FE的長.五、感悟數學： 六、課后作業:1 .如圖，已知第一象限內的點A在反比但J函數y= 2的圖象上，第二象限內的點B在反比 x例函數y = k的圖象上，且 OALOB , tanB=乎, X3/ABC =90。，點 B 在 x軸AB=3BC , 雙曲線y =-經過C點，則m的 x則k的值2 . 如圖，在RtAABC 中，上，且B(-1,0), A點的橫坐標是2,y=4m(m>0)經過A點，雙曲線 x值為()A. 12B. 9C. 6D. 33 .如圖，

5、矩形ABCD的頂點A、D在反比例函數y=%x A0)的圖象上，頂點C、B分別在 xABx軸、y軸的正半軸上，且=2,再在其右側作正萬形 DEFG、FPQR (如圖所小)，頂點 BCF、R在反比例函數y =6(x >0)的圖象上，頂點E、Q在x軸的正半軸上，則點R的坐標 x為 .4 .已知：在"ABCD中，AEXCD,垂足為E,點M為AE上一點，且 ME=AB , AM=CE ,連接CM并延長交AD于點F.(1)若點E是CD的中點，求證：4ABC是等腰三角形.(2)求證：/ AFM=3 / BCF.德中命制人：鄧宏書審稿人：劉加勇“K 字型的妙用參考答案、自主練習:1 . 72

6、.【考點】全等三角形的判定與性質；正方形的性質.【專題】幾何圖形問題.【分析】 過E作HI/BC,分別交 AB、CD于點H、I,證明RtA BHE RtA EIF,可得/ IEF+/ HEB=90 °, 再根據BE=EF即可解題.【解答】 解：如圖所示，過 E作HI/BC,分別交AB、CD于點H、I,則/ BHE= Z EIF=90°, E是BF的垂直平分線 EM上的點，EF=EB , E是/ BCD角平分線上一點，E到BC和CD的距離相等，即 BH=EI ,(EF=BE BHE 和 RtEIF 中，”,Ibh=ei RtABHERtAEIF (HL), ./ HBE= /

7、 IEF , . / HBE+ / HEB=90 °, ./ IEF+ Z HEB=90 °, ./ BEF=90 °, BE=EF , ./ EBF= / EFB=45 °.故選：A.【點評】本題考查了正方形角平分線和對角線重合的性質，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形對 應角相等的性質.三、經典例題:【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；矩形的判定與性質；解直角三角形.【分析】(1)易求得AC的長，即可求得BC, AC的長，根據四邊形 ABCE的面積mSabc+S/xace即可解 題；(2)作ED± AB , EFLBC延長

8、線于F點，易證/ BAC= ZECF,即可證明ABCCFE,可得EF=BC , 再根據等腰三角形底邊三線合一即可求得AD=BD ,即可解題.【解答】 解：(1) . ACXCE, CE=CA ,J2 r- . AC=CE=AE= ", .tan/BAC=亞，3 ./ BAC=30 °,BC=-AC=22AB= BC=2，四邊形 ABCE 的面積=Szxabc+SzaceHaB?BC+JaC?CE乂反反號+;(2)作ED LAB, EFXBC延長線于F點,則四邊形BDEF為矩形，EF=BD , / ACB+ / ECF=90 °, / ACB+ / BAC=90 &

9、#176;, ./ BAC= / EOF,'/ABC=/F 二 90” .在 4ABC 和CFE 中，NBAC=NBCF，X=CEABOA OFE, (AAS )EF=BO ,. ABE 中，AE=BE , EDXAB ,AD=BD ,AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC , 即 AB=2BO .【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性質，本題中求證ABCCFE是解題的關鍵.四、贏在中考：1 .【考點】平行線的性質；余角和補角.【分析】根據/ AOB=90 °, / 2=35。求出/ 3的度數，根據平行線的性質得出/1 = /3,代入即可得出答案.【解答】

10、解： . / AOB=90 °, / 2=35°, / 3=180 - 90 -35 =55°,. a/ b, / 1 = 7 3=55°.故選A.【點評】本題考查了平行線的性質和鄰補角的定義，解此題的關鍵是求出/ 3的度數和得出/ 1 = /3,題目比較典型，難度適中.2 .【考點】正方形的性質；坐標與圖形性質；全等三角形的判定與性質.【專題】壓軸題.【分析】過點C作CEx軸于點E,過點M作MFx軸于點F, MPy軸，根據正方形的性質可以得出 MB=MA ,可證明AMPBMF,就可以得出 PM=MF ,就可以證明四邊形 OFMP是正方形，由勾股定 理就

11、可以求出 OF的值，再由AOBPBECF,從而得出C點的縱坐標.【解答】 解：過點C作CEx軸于點E,過點M作MFx軸于點F,連結EM , / MFO= / CEO= / AOB= / APM=90，四邊形POFM是矩形， ./ PMF=90 °,四邊形ABCD是正方形， . / ABC= / AMB=90 °, AM=BM , / OAB= / EBC , / AMP= / BMF , AMPA BMF (AAS), PM=FM , PA=BF ,，四邊形POFM是正方形，OP=OF= OM =3 2- A (0, 2),OA=2 , . AP=BF=3-2=1 ,OB=

12、3+1=4 , 在 4AOB 和 ABEC 中，rZCEO=ZAOB ZOAF=ZEBC , lAB=BCAOBA BEC (AAS), OB=CE=4 , AO=BE=2 . OE=4+2=6 , C (6, 4). 故答案為：(6, 4).【點評】本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，平行線等分線段定理的運用，坐標與圖形的性質的運用，解答時求證四邊形POFM是正方形是關鍵.3.【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質.【分析】 連接CF,由正方形的性質得出/ B=90°,再由EFXCE,證得MEFNCE,得出 CEF為等 腰直角三角形，求得 EF=

13、63;£=Y2cF,再由勾股定理求得 CF即可.V2 2【解答】解：連接CF,過點E作MN /AD,交邊AB于點M ,邊CD于點N.如圖所示： 四邊形ABCD為正方形，可得四邊形AMND為矩形， MN=AD=CD . / DNE=90 °, / BDC=45 °,DN=ENME=CNEFXCE, ./ CEF=90 °,MEF= / ECN 且/ FME= / ENC=90 . MEFA NCE (ASA), EF=CE . CEF為等腰直角三角形，. EF= - = "CF. .EF='=產由勾股定理得：CF= .|,|；'=

14、，一 -=2” LEF=>2/10=2/5,2故答案為：2而.3C【點評】本題考查了正方形性質、三角形全等的性質與判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵.六、課后作業：1.【考點】相似三角形的判定與性質；反比例函數圖象上點的坐標特征.【分析】根據相似三角形的判定與性質，可得 繼空口，根據tanB=a=l,可得期JiXl,根據OB OC BC0B 3 OC BC 3待定系數法，可得答案.【解答】解：作AD，x軸于點D,作BC，x軸于點C, ./ C=Z D=90 °. / AOB=90 °, / BOC+ /

15、AOD=90 °, / AOD+ / OAD=90 °,又. / D=ZC,OADA BOC,OA AD OD OB-OCBC ，tanB=1, OB 3.AD OD V3OC-BC 3，y=AD=Vs x=OD=WBC, 3第一象限內的點 A在反比仞函數y=2的圖象上, .-.xy=2/loc></lBC=2,33k=OC?BC=2 >3=- 6,故答案為：-6.【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，利用了相似三角形的判定與性質，銳角三角函數，待定系 數法求函數解析式.2.【考點】反比例函數系數k的幾何意義.【分析】過點A作AE，x軸于E,過點C作C

16、F，x軸于F,由A點的橫坐標是2,且在雙曲線y=fm上, x求出點的坐標，得到線段的長度，利用三角形相似得到點的坐標，列方程求解.【解答】解：過點A作AE，x軸于E,過點C作CF，x軸于F, A點的橫坐標是2,且在雙曲線y=4m上, x .A (2, 2m) ,/ ABC=90 °, / ABC+ / CBF= / ABC+ / BAC=90 °,/ ABC= / FCB ,ABEA BCF,；l.3-=3 ,BE AE BC .CF=1,2mBF二 一32m31),雙曲線y=-m經過C點， x.- 1 -= - m,3m=3, 故選D.【點評】本題考查了根據函數的解析式求

17、點的坐標，相似三角形的判定和性質，過雙曲線上的任意一點分 別向兩條坐標軸作垂線，構造直角三角形.3.【考點】反比例函數綜合題.【專題】綜合題.【分析】過D作DMx軸，FNx軸，RIXFN, RHx軸，由ABCD為矩形，利用對稱性得三角形 OBC 為等腰直角三角形，繼而得到三角形CDM為等腰直角三角形，即兩三角形相似，且相似比為 1: 2,設OB=OC=a,則有CM=DM=2a ,表示出D坐標，代入反比例解析式求出a的值，確定出 D坐標，得出DM與OM長，利用AAS得到三角形 DME與三角形EFN全等，利用全等三角形對應邊相等得到ME=FN ,DM=EN ,設F縱坐標為b,代入反比例解析式得到橫

18、坐標為 p 由OM+ME+EN表示出ON,即為橫坐標， 列出關于b的方程，求出方程的解得到 b的值，確定出F坐標，得到ON, FN的長，同理得到三角形 RFI 與三角形RQH全等，設R縱坐標為c,由ON+NH表示出橫坐標，將 R坐標代入反比例解析式求出c的值，即可確定出 R坐標.【解答】 解：過D作DMx軸，FNx軸，RIXFN, RHx軸， ABCD為矩形，A與D在反比例圖象上，且 AB=2BC , / BCD=90 °, / OBC= / OCB=45 °, ./ MCD= / MDC=45 °,. BOCs CMD ,且相似比為 1:2,設 OC=OB=a

19、,則 CM=DM=2a , OM=OC+CM=a+2a=3a , D (3a, 2a),將D坐標代入反比例 y='中得：6a2=6,即a2=1,解得：a=1 (負值舍去)， DM=2 , OM=3 , DEFG為正方形，DE=EF, / DEF=90 °, / MDE+ / MED=90 °, / MED+ / NEF=90 °, ./ MDE= / NEF,在4DME和4ENF中，rZMDB=ZNEF ND應=NENF=90。，iDE=EF . DMEA ENF (AAS),DM=EN=2 , FN=ME ,設 F (烏 b),則 FN=ME=b , ON=OM+ME+EN=3+b+2 ,b可得 5+b=§ 即 b2+5b - 6=0,即(b+6) (b1) =0,b解得：b=1或b= - 6 (舍去)，F (6, 1),即 ON=6, FN=1 ,同理RFIA RQH ,設 RH=RI=NH=c ,