1、勾股定理全章知識點歸納總結(jié)一.基礎(chǔ)知識點：1:勾股定理直角三角形兩直角邊 a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2= c2）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在 ABC中， C 90，則c a2 b2， b . c2 a2 ， a c2 b2）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2:勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c,則有關(guān)系a2+b2 = c2,那么這個三角形是直角三角 形。要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三

2、角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過 數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應(yīng)注意：（1） 首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若 c2 = a2+b2，則 ABC是以/C為直角的 直角三角形2 2 2 2 2 2（若c >a +b，則 ABC是以/C為鈍角的鈍角三角形；若 c <a +b ,則 ABC為銳角 三角形）。（定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形 三邊長a , b , c滿足a2 c2 b2，那么以a , b , c為三邊的三角形是直角三角形，但 是b為

3、斜邊）3:勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定 理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三 角形有關(guān)。4:互逆命題的概念這樣的兩個命題叫做如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè), 互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導1 勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2 勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊 邊關(guān)系的題目。3 勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應(yīng)用過程中 易犯的主要錯誤。

4、. 2 2 24. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a, b, c有下列關(guān)系：a +b = c , ?那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方 法.5. ?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數(shù)運 算，通過學習加深對 數(shù)形結(jié)合”的理解.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那 么另一個叫做它的逆命題。(例：勾股定理與勾股定理逆定理)5:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變 根

5、據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：、 , 1 2 2方法一: 4SS正方形 EFGH S 正方形 ABCD, 4 ab (ba) c ,化簡可證.2方法.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為1 2 2S 4 ab c 2ab c2所以a2 b2 c2ba方法三:S梯形2(a b) (a b)，S梯形2S ADE1 i 2S abe 2 ab c，化2 2簡得證6:勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即Bb C大正方形面積為S （a b）2 a2 2ab b2a2 b2 c2中

6、，a， b， c為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ；6,8,10 ； 5,12,13 ；7,24,25 等用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n1,2 n,n22,正整數(shù)）；2n 1,2n 2n,2n 2n 1 ( n 為正整數(shù))22小m n ,22mn,m（m n, m， n為正整數(shù)）二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例1 在 ABC 中， C 90 已知AC 6 , BC 8 .求AB的長已知AB 17, AC 15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理 a2c2解： AB AC2 BC210題型二：利用勾股定理測量長度例題1如果梯子的底端離

7、建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米?解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型 后，已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理!根據(jù)勾股定理 aC+BC=aW,即aC+92=152,所以aC=144,所以AC=12.例題2如圖（8），水池中離岸邊 D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度A J$C.日0j51 5c/XZn +n g.1解析：同例題1 一樣，先將實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，如圖2.由題意可知 ACD中上ACD=90 ,在R

8、t ACD中，只知道CD=1.5,這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標準解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2,根據(jù)勾股定理，aC+cD=aD設(shè)水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB+0.5 x2+1.52= ( x+0.5 ) 2解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用一一1例題3 如圖3,正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且FB - AB4那么 DEF是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。仔細讀題會意可以發(fā)1現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由FB 1 AB可以設(shè)AB=4i，那4么 BE=

9、CE=2a,AF=3 a,BF= a,那么在 Rt AFD、Rt BEF和 Rt CDE中，分別利 用勾股定理求出 DF,EF和DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷 DEF 是否是直角三角形。詳細解題步驟如下：解：設(shè)正方形 ABCD的邊長為4a,則BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a在 Rt CDE中, DE=cD+cE=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理 E=5a2, DF 2=25a2在厶 DEF中, EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=D DEF是直角三角形，且/ DEF=90 .注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。題型四：利用勾股定理求線

10、段長度一一例題4如圖4,已知長方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm在邊CD上取一點 巳將厶ADE 折疊使點D恰好落在BC邊上的點F,求CE的長.解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。詳細解題過程如下：解：根據(jù)題意得 Rt ADE Rt AEF/Z AFE=90° , AF=10cm, EF=DE設(shè) CE=xcm,貝V DE=EF=C9 CE=8- x在Rt ABF中由勾股定理得：222卄222AB+BF=AF,即卩 8+BF=10,/ BF=6cm CF=BC- BF=10- 6=4(cm)在Rt ECF中由勾股定理可得：EFcE+cF,即卩(8 x) 2=

11、x2+422 64 16x+x =2+16 x=3(cm),即 CE=3 cm注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直一一例題5如圖5,王師傅想要檢測桌子的表面 AD邊是否垂直與 AB邊和CD邊，他測得AD=80cm AB=60cm BD=100cm AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗證 AD邊與CD邊是否垂直？解析：由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗證。如圖4，矩形ABCD表示桌面形狀，在 AB上截取AM=12cm在AD上截取AN=9 cm（想想為什么要設(shè)為這兩個長度？），連結(jié)MN測量MN的長度。如果MN=15則A

12、M+AN=MN所以AD邊與AB邊垂直；如果 MN=z 15,則 92+122=81+144=225, a2工 225,即 92+122工a2，所以/ A不是直角。利用勾股定理解決實際問題一一耳1例題6有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5/3米的墻上，任何東西只要移至 5米以，燈就自動打開，一個身高/1.5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？1.5解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先n距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈 5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，如圖 6所示，A點表示控制燈，BM表示人的高度，BC/ MN.BCL AN當頭（B點）距離A有5米時，求BC的長 度。已

13、知AN=4.5米，所以AC=3米，由勾股定理，可計算 BC=4米.即使要走到離門4米 的時候燈剛好打開。題型六：旋轉(zhuǎn)問題:例1、如圖， ABC是直角三角形，BC是斜邊，將 ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與 ACP'重合，若AP=3,求PP'的長變式1:如圖，P是分析：利用旋轉(zhuǎn)變換,將厶BPA繞點B逆時針選擇60等邊三角形 ABC一點，PA=2,PB=2.3 ,PC=4,求厶ABC的邊長.根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個直角三角形變式2、如圖， ABC為等腰直角三角形，/ BAC=90 ,試探究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說明理由題型七：關(guān)于翻折問題例1、如圖，矩形

14、紙片 ABCD的邊AB=10cm , BC=6cm , E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.線，/ ADC=45。，把 ADC沿位置，BC=4,求BC'的長.$ 丄! D 、 C變式：如圖， AD是厶ABC的中 直線AD翻折，點C落在點C'的題型八:關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用 ：例1、如圖，公路 MN和公路PQ在P點處交匯，點 A處有一所中學，AP=160米，點A到公路 MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍 100米以會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學校受到影響的時間為多少？題型九：關(guān)于最短性問題例5、如右圖1 - 19，壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊 沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油