1、事件的獨立性與相關性課件制作：應用數學系概率統計課程組概率統計課程組概率論與數理統計概率論與數理統計事件的獨立性與相關性1.5 事件的獨立性與相關性1.5.1 兩個事件的獨立性與相關性1.5.2 有限個事件的獨立性1.5.3 相互獨立事件的性質1.5.4 Bernoulli概型事件的獨立性與相關性例如 箱中裝有10件產品。7件正品，3件次品。甲買走1件正品，乙要求另開一箱,也買走1件正品.記甲取到正品為事件A，乙取到正品為事件B，則107)()|(BPABP由乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B)從問題的實際意義理解，就是說事件A和事件B出現的概率彼此不受影響.1.5.1 兩個事件的獨立性與

2、相關性兩個事件的獨立性與相關性事件的獨立性與相關性定義: 若事件A與B滿足 P(AB)=P(A)P(B), 則稱A與B相互獨立，簡稱A與B獨立。推論1: A.B為兩個事件,若P(A)0,則A與B獨立等價于P(B|A)=P(B).若P(B)0,則A與B獨立等價于P(A|B)=P(A).證明：A，B獨立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) P(B|A)=P(B)注意:從直觀上講,A與B獨立就是其中任何一個事件出現的概率不受另一個事件出現與否的影響.事件的獨立性與相關性證明 不妨設A,B獨立,則)B(P)A(P)B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)B

3、A(P其他類似可證. 推論2 在 A與B, 與B，A與 ， 與 這四對事件中, 若有一對獨立,則另外三對也相互獨立。AABB注意: 判斷事件的獨立性一般有兩種方法: 由定義判斷,是否滿足公式; 由問題的性質從直觀上去判斷.事件的獨立性與相關性 例1.5.1 某高校的一項調查表明：該校有30%的學生視力有缺陷. 7%的學生聽力有缺陷，3%的學生視力與聽力都有缺陷，A=“學生視力有缺陷”，30. 0)( APB=“學生聽力有缺陷”，07. 0)( BPAB=“學生聽力與視力都有缺陷”，03. 0)( ABP現在來研究下面三個問題：（1）事件A與B是否獨立？ 由于 021. 007. 003. 0)

4、()(BPAP)(ABP所以事件A與B不獨立，即該校學生視力與聽力缺陷有關聯.事件的獨立性與相關性（2）如果已知一學生視力有缺陷，那么他聽力也有缺陷的概率是多少？ 這要求計算條件概率)(ABP,由定義知10130. 003. 0)()()( APABPABP（3）如果已知一學生聽力有缺陷，那么他視力也有缺陷的概率是多少？7307. 003. 0)()()( BPABPBAP類似地可算條件概率事件的獨立性與相關性定義 設, 1)(0 , 1)(0 BPAP稱 為事件A與B的相關系數)(1)()(1)()()()(),(BPBPAPAPBPAPABPBA 定理1.5.1 (1)0),( BA當且僅

5、當A與B相互獨立； 1),( BA (3).()()()(0),(BPABPAPBAPBA ).()()()(0),(BPABPAPBAPBA (2);事件的獨立性與相關性定義 (n個事件的相互獨立性） 設有n個事A1,A2,An,若對任何正整數m(2mn)以及)()(),1212121mmiiiiiimAPAPAPAAAPniii（都有則稱這n個事件相互獨立.若上式僅對m=2成立,則稱這n個事件兩兩獨立.注意: 從直觀上講,n個事件相互獨立就是其中任何一個事件出現的概率不受其余一個或幾個事件出現與否的影響.1.5.2 有限個事件的獨立性有限個事件的獨立性事件的獨立性與相關性例1.5.2 隨機

6、投擲編號為1與2的兩個骰子，事件A表示1號骰子向上一面出現奇數，B表示2號骰子向上一面出現奇數，C表示兩骰子出現的點數之和為奇數。 則2/ 1)()()(CPBPAP4/1)()()(CAPBCPABP)()()()()()(APCPCPBPBPAP但0)(ABCP)()()(8/1CPBPAP本例說明: 不能由 A, B, C 兩兩獨立A, B, C 相互獨立事件的獨立性與相關性 1.5.3 相互獨立事件的性質相互獨立事件的性質性質1: 如果n 個事件nAAA,21相互獨立，則)1(nmm 個事件改為相應的對立事n個事件仍然相互獨立.將其中任何件，形成新的性質2: 如果n個事件nAAA,21

7、相互獨立，則有 niniiniiiAPAPAP111)(1(1)(1)( 事件的獨立性與相關性例1.5.3 三個元件串聯的電路中,每個元件發生斷電的概率依次為0.3,0.4,0.6,且各元件是否斷電相互獨立,求電路斷電的概率是多少?解 設A1,A2,A3分別表示第1,2,3個元件斷電 , A表示電路斷電,則A1,A2,A3相互獨立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=)AAA(P1321)A(P)A(P)A(P1321=1-0.168=0.832事件的獨立性與相關性例1.5.4 已知事件 A, B, C 相互獨立,證明:事件A與CB也相互獨立.證:)()()(CBAPCB

8、PCBAP)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP)()()()(BCPCPBPAP)()(CBPAP事件事件的獨立性與相關性例1.5.5 設每個人的血清中含肝炎病毒的概率為0.4%, 求來自不同地區的100個人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率.解:設這100 個人的血清混合液中含有肝炎病毒為 事件 A, 第 i 個人的血清中含有肝炎病毒為事件 Ai (i =1,2,100 ). 則1001 iiAA)(11)(1001iiAPAP33. 0)004. 01 (1100事件的獨立性與相關性若Bn表示n個人的血清混合液中含有肝炎病毒，則 , 2 , 110,)1 (1)( nB

9、Pnn1)(lim nnBP 注意：不能忽視小概率事件,小概率事件遲早要發生事件的獨立性與相關性 一個元件(或系統)能正常工作的概率稱為元件(或系統)的可靠性.系統由元件組成,常見的元件連接方式：串聯并聯1221 系統的可靠性問題例1.5.5事件的獨立性與相關性設兩系統都是由 4 個元件組成,每個元件正常工作的概率為 p , 每個元件是否正常工作相互獨立.兩系統的連接方式如下圖所示，比較兩系統的可靠性.A1A2B2B1S1:)()()()(212121211BBAAPBBPAAPSP)2 (22242pppp事件的獨立性與相關性A1A2B2B1S2:212)()(iiiBAPSP)()(12S

10、PSP22)2(pp)2 (22pp222pp事件的獨立性與相關性例1.5.6 某射手在相同條件下獨立地進行5次射擊,每次擊中目標的概率是0.6,求：概率最大的擊中目標次數.解：擊中目標次數可能取值為0,1,2,3,4,5,設Bi(i=0,1,5)表示擊中目標i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),則Ai (i=1,2,.,5)相互獨立,P(B0)=)AAAAA(P54321=(1-0.6)5=0.45P(B1)=)(5432154321543215432154321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAP=50.6(1-0.6)45005)6 . 01(6 . 0C

11、4115)6 . 01(6 . 0C事件的獨立性與相關性即i5ii5i 0.6)(1 0.6 C)P(B(i=0,1,2,3,4,5)類推得P(B3)2335)6 . 01(6 . 0CP(B4)1445)6 . 01(6 . 0CP(B5)0555)6 . 01(6 . 0CP(B2)3225)6 . 01(6 . 0C事件的獨立性與相關性易計算：概率最大的擊中目標次數為3.一般地：設射擊次數為n，每次射擊擊中目標的概率為p，則：當(n+1)p為整數時，概率最大的擊中目標次數為(n+1)p和(n+1)p-1；當(n+1)p不為整數時，概率最大的擊中目標次數為(n+1)p的整數部分.事件的獨立

12、性與相關性 若某個試驗由n次基本試驗構成,且具有以下特點: (1) 每次基本試驗有且只有兩個可能結果：成功、失敗; (2) 每次基本試驗中每個結果出現的概率不變; (3) 基本試驗之間相互獨立; (4) 在相同條件下,試驗可以重復進行.則稱此試驗為獨立重復試驗獨立重復試驗或貝努里貝努里(Bernoulli)試驗試驗;由于該試驗由n次基本試驗構成,故亦稱之為n重貝努里試驗重貝努里試驗.貝努里公式：貝努里公式：在n重貝努里試驗中,如果“成功”在每次試驗中出現的概率為p,令Bk=“在n 次試驗中“成功”出現k 次”,則), 2 , 1 , 0()1 ()(nkppCBPknkknk1.5.4 Ber

13、noulli概型概型事件的獨立性與相關性例1.5.7 同時擲四顆均勻的骰子,試計算: (1)恰有一顆是6點的概率; (2)至少有一顆是6點的概率. 解: 這是一個4重貝努里試驗, 擲每一顆骰子就是一個基本試驗.每次基本試驗中6點出現的概率是1/6,所以(1) 恰有一顆是6點的概率為(2) 至少有一顆是6點的概率為 311414114)65()61()611 ()61(CC4400404004)65(1)65()61(1)611 ()61(1CC事件的獨立性與相關性例1.5.8 八門炮同時獨立地向一目標各射擊一發炮彈,若有不少于2發炮彈命中目標時,目標就被擊毀.如果每門炮命中目標的概率為0.6,

14、 求目標被擊毀的概率. 解：設一門炮擊中目標為事件A, P(A)=0.6設目標被擊毀為事件B, 82884 . 06 . 0)(kkkkCBP 10884 . 06 . 01kkkkC9914. 0 則事件的獨立性與相關性解: 設取出的5個數按由小到大排列為54321xxxxx 令)4(3 x表示所求的事件)3()4()4(333 xxx: ) 4(3 x1,1,2,3,3;1,1,2,3,4; 所取的5個數字中至少有3個數字不大于4例1.5.9 從1,2, ,10十個數字中有放回地任取5個數字, 求取出的5個數字中按由小到大排列, 中間的那個數等于 4 的概率.1,1,4,4,5;1,1,4

15、,5,8;事件的獨立性與相關性令 Ak 表示所取的5個數字中恰有k 個不大于4則kkkkCAP 55106104)(533)4( kkAxmkAAmk , 533)()4(kkAPxP 5355106104kkkkC事件的獨立性與相關性)3()4()4(333 xPxPxP 53535555107103106104kkkkkkkkCC1544. 0 )4()3(33 xx由于事件的獨立性與相關性、事件獨立性的應用、事件獨立性的應用1、加法公式的簡化加法公式的簡化：若事件A1，A2，An相互獨立, 則 2、在可靠性理論上的應用在可靠性理論上的應用如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設每個觸點閉合的概率為p，且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。)().(1).121nnAPAPAAAP事件的獨立性與相關性設A-L至R為通路,Ai-第i個繼電器通,i=1,2,5)()|(52413AAAAPAAP422pp )()|(54213AAAAPAAP)()()|(54213AAPAAPAAP22)2(pp由全概率公式)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522pppp事件的獨立性與相關性1.某型號火炮的命中率為0.8