1、系統(tǒng)模擬及其Matlab實現(xiàn)系統(tǒng)模擬(亦稱系統(tǒng)仿真)是指通過建立和運行系統(tǒng)的數(shù)學(xué) 模型，來模仿實際系統(tǒng)的運行狀態(tài)及其隨時間變化的規(guī)律，以實現(xiàn)在計算機(jī)上進(jìn)行試驗的全過程。這是近30年來發(fā)展起來的一門新興技術(shù)學(xué)科。實際對象通常是社會、經(jīng)濟(jì)、軍事等復(fù)雜系統(tǒng)， 一般都不能通過真實的實驗來進(jìn)行分析、研究。因此，系統(tǒng)模擬技術(shù)就成為十分重要甚至必不可少的工具。本章在介紹系統(tǒng)模擬的概念以及一般原理、方法和步驟的基礎(chǔ)上，主要介紹三種基本 的模擬方法及其模型，即蒙特卡洛模擬方法、排隊模型、系統(tǒng)動 力學(xué)模擬。通過蒙特卡洛(Monte Carlo )模擬可以具體了解系 統(tǒng)模擬的基本原理及方法，排隊模型體現(xiàn)了離散事件系

2、統(tǒng)模擬 的 特點與規(guī)律，而系統(tǒng)動力學(xué)模擬則是一種可以廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng) 域的連續(xù)系統(tǒng)模擬方法。1系統(tǒng)模擬概述(1)系統(tǒng)模擬的概念系統(tǒng)模擬(亦稱系統(tǒng)仿真)是近30年來發(fā)展起來的 一門新興技術(shù)學(xué)科。模擬(simulation )就是利用模型對實際系 統(tǒng)進(jìn)行試驗研究的過程。 實際對象通常是社會、 經(jīng)濟(jì)、軍事等復(fù) 雜系統(tǒng)，一般都不能通過真實的實驗來進(jìn)行分析、研究。因此，系統(tǒng)模擬技術(shù)就成為十分重要甚至必不可少的工具。 系統(tǒng)模擬是 對實際系統(tǒng)的一種模仿活動， 也就是利用一個模型，通常是數(shù)學(xué) 模型，來模仿實際的事物發(fā)展變化的規(guī)律。系統(tǒng)模擬的確切概念可以表述如下:系統(tǒng)模擬是指通過建 立和運行系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，來模

3、仿實際系統(tǒng)的運行狀態(tài)及其隨時 間變化的規(guī)律，以實現(xiàn)在計算機(jī)上進(jìn)行試驗的全過程。 在這個工 程中，通過對模擬運行過程的觀察和統(tǒng)計，得到被模擬系統(tǒng)的模 擬輸出參數(shù)和基本特性，以此來估計和推斷實際系統(tǒng)的真實參數(shù) 和真實性能，為真實系統(tǒng)問題的決策提供科學(xué)依據(jù)。首先，系統(tǒng)模擬是一種有效的實驗手段，它為一些復(fù)雜系 統(tǒng)創(chuàng)造了一種柔性的計算實驗驗環(huán)境， 使人們有可能在短時間內(nèi) 從計算機(jī)上獲得對系統(tǒng)運動規(guī)律以及未來特性的認(rèn)識。第二，系統(tǒng)模擬實驗是一種計算機(jī)上的軟件實驗，因此他需 要較好的模擬軟件（包括模擬語言）來支持系統(tǒng)的建模和模擬過 程。第三，模擬的輸出結(jié)果是在模擬過程中由模擬軟件自動給出 的。第四，一次模擬

4、結(jié)果只是對系統(tǒng)行為的一次抽樣，因此一項 模擬研究往往由多次獨立的重復(fù)模擬組成，所得到的模擬結(jié)果也 只是對真實系統(tǒng)進(jìn)行具有一定樣本量的模擬實驗的隨機(jī)樣本。此，模擬往往要進(jìn)行多次實驗的統(tǒng)計推斷，以及對系統(tǒng)的性能和變化規(guī)律作多因素的綜合評估。目前，系統(tǒng)模擬作為系統(tǒng)研究和實踐中的一個重要技術(shù)手 段，在求解一些復(fù)雜的系統(tǒng)問題中，具有下列幾個特點。1）系統(tǒng)模擬面向?qū)嶋H過程和系統(tǒng)問題，將不確定性作為隨機(jī) 變量納入系統(tǒng)來處理，建立系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系模型， 從而使我 們對復(fù)雜的、帶有多種隨機(jī)因素的系統(tǒng)， 可以方便的通過計算機(jī) 模擬試驗求解，避免了求解復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型的困難。這也是目前系統(tǒng)模擬得到廣泛應(yīng)用的最根本原

5、因。2）系統(tǒng)模擬以問題導(dǎo)向方式來建模分析，弁使用人-機(jī)友好的計算機(jī)及軟件，使建模與模擬直接面向分析人員，他們可以集 中精力研究問題的內(nèi)部因素及其相互關(guān)系，而不是計算機(jī)編程、 調(diào)試及實現(xiàn)，從而使系統(tǒng)模擬為廣大科研人員及管理人員所接 受。3）系統(tǒng)模擬為分析人員和決策人員提供了一種有效的實驗環(huán) 境，他們的設(shè)想和方案可以通過直接調(diào)整模型的參數(shù)或結(jié)構(gòu)來實 現(xiàn)，弁通過模型的模擬運行得到其實施結(jié)果，從而可以從中選出滿意的方案。因此，系統(tǒng)模擬被看作是“政策實驗室”。然而,模擬技術(shù)也弁非十全十美,它也有其自身固有的缺點.1）開發(fā)模擬軟件, 建立運行模擬模型是一項艱巨的工作 , 它需要進(jìn)行大量的編程、 調(diào)試和重復(fù)

6、運行實驗， 這也是要消耗時間、 人力和資金的。2）系統(tǒng)模擬只能得到問題的一個特解或可行解，不可能獲得問題的通解或者最優(yōu)解。 模擬參數(shù)的調(diào)整往往具有極大的盲目性，尋找優(yōu)化方案將消耗大量的人力、物力。3）系統(tǒng)建模直接面向?qū)嶋H問題，對于同一問題，由于建模者的認(rèn)識和看法有差異， 往往會得到不同的模型， 模型運行的結(jié)果也就不同。 因此， 系統(tǒng)建模常被稱為非精確建模， 或認(rèn)為建模是一種“藝術(shù)”而不是純粹的技術(shù)。雖然以上缺點是由模擬本身的性質(zhì)所造成的， 但隨著計算機(jī)科學(xué) （包括硬件和軟件） 的發(fā)展和系統(tǒng)模擬方法研究的深入，這些問題正在得到改善。 計算機(jī)技術(shù)中的多媒體技術(shù)、 虛擬現(xiàn)實技術(shù)、 分布式網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的引

7、入更使系統(tǒng)模擬如虎添翼， 使系統(tǒng)模擬技術(shù)的研究與應(yīng)用水平達(dá)到了新的高度。（ 2 ）系統(tǒng)模擬的分類根據(jù)系統(tǒng)模擬的定義， 實施一項系統(tǒng)模擬的研究工作， 包括三個基本要素， 即系統(tǒng)對象、 系統(tǒng)模型以及計算機(jī)工作。 因此，對于模擬中不同的基本要素組合， 就必須使用不同類型的模擬技術(shù)。 在管理系統(tǒng)模擬中 , 提出使用數(shù)學(xué)模型和數(shù)字計算機(jī), 但對于 不同的管理問題，就要使用不同的數(shù)學(xué)模型.因此，系統(tǒng)模擬分兩 種.根據(jù)問題研究的系統(tǒng)對象的性質(zhì),管理系統(tǒng)模擬一般可以 分成連續(xù)系統(tǒng)模擬和離散事件系統(tǒng)模擬 .連續(xù)系統(tǒng)是指系統(tǒng)狀態(tài)隨時間連續(xù)變化的系統(tǒng)，系統(tǒng)行為通常是一些連續(xù)變化的過程.連續(xù)系統(tǒng)模型提出通常是用一組方

8、 程式描述,如微分方程、差分方程等,注意差分方程形式上是時間 離散的，但狀態(tài)變量的變化過程本質(zhì)上是時間連續(xù)的，如人口的變化過程、城市用地、居民住宅建設(shè)數(shù)量等。因此，連續(xù)系統(tǒng)模 擬的主要任務(wù)就是如何求解上述的系統(tǒng)模型的系統(tǒng)運動方程組。離散事件系統(tǒng) 中,表征系統(tǒng)性能的狀態(tài)只在隨機(jī)的時間 點上發(fā)生躍變，且這種變化是由隨機(jī)事件驅(qū)動的，在兩個時間點之間，系統(tǒng)狀態(tài)不發(fā)生任何變化。例如，醫(yī)院門診病人數(shù)量、路 口車輛通過數(shù)量、公共汽車上乘車人數(shù)的變化、電話系統(tǒng)的呼叫、 機(jī)器零件的生產(chǎn)線加工過程等都是離散事件系統(tǒng)。離散事件模擬就是通過建立表達(dá)上述過程的模型，弁在計算機(jī)上人為構(gòu)造隨機(jī) 事件環(huán)境，以模擬隨機(jī)事件的發(fā)

9、生、終止、變化的過程，最終獲 得系統(tǒng)狀態(tài)隨之變化的規(guī)律和行為。(3)系統(tǒng)模擬的基本步驟系統(tǒng)模擬是一項應(yīng)用技術(shù),根據(jù)它的基本概念和求解 問題的出發(fā)點及思路，在實際系統(tǒng)模擬應(yīng)用時，一般遵循以下幾 個基本步驟。1）問題描述與定義系統(tǒng)模擬是面向具體問題而不是面向整個實際系統(tǒng)， 因此，首先要在分析、調(diào)查的基礎(chǔ)上，明確要解決的問題以及實 現(xiàn)的目標(biāo)，確定描述這些目標(biāo)的主要參數(shù) （變量）以及評價標(biāo)準(zhǔn)。 根據(jù)以上目標(biāo)，要清晰地定義系統(tǒng)邊界， 辨認(rèn)主要狀態(tài)變量和主 要影響因素，定義環(huán)境及控制變量（ 決策變量）。同時，給定模 擬的初始條件，弁充分估計初始條件對系統(tǒng)主要參數(shù)的影響。2）建立模擬模型模型是關(guān)于實際系統(tǒng)某

10、一方面本質(zhì)屬性的抽象描述和表 達(dá)。建立模擬模型具有其本身的特點。首先它是面向問題和過程的。在離散系統(tǒng)模擬建模中，主要應(yīng)根據(jù)隨機(jī)發(fā)生的離散事件、 系統(tǒng)中的實體流以及時間推進(jìn)機(jī)制， 按系統(tǒng)的運行進(jìn)程來建立模 型；而在連續(xù)系統(tǒng)模擬建模中， 則主要根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)部各個環(huán)節(jié)之 間的因果關(guān)系、系統(tǒng)運行的流程，按一定方式建立相應(yīng)的狀態(tài)方 程或微分方程來實現(xiàn)模擬建模。 其次，建立模擬模型與所選用的 模擬語言密切相關(guān)。例如，選用通用模擬技術(shù)GPSS（general purpose simulation system）語言時，模擬模型將采取實體流和模塊圖的形式；當(dāng)選用帶排隊功能的圖示評審技術(shù)Q-GERT(queueg

11、raphical evaluation review technique)語言，或風(fēng)險評審技術(shù) VERT(venture evaluation reviewtechnique) 模 擬語言時，模擬模型將為隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的形式； 如果采用多功能模擬語言 SLAM (simulation language for alternative modeling)時，則既可構(gòu)造隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和離散事件的模擬模型。當(dāng)實際系統(tǒng)特別是社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)屬于連續(xù)性問題時， 則可構(gòu)成因果關(guān)系和系統(tǒng) 流圖模型,弁采用系統(tǒng)動力學(xué) DYNAM嘿擬語言來實現(xiàn)模擬。3)數(shù)據(jù)采集為了進(jìn)行系統(tǒng)模擬，除了要有必要的模擬輸入數(shù)據(jù)以外，還必須收集與模擬

12、初始條件及系統(tǒng)內(nèi)部變量有關(guān)的數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)往往是某種概率分布的隨機(jī)變量的抽樣結(jié)果，因此需要對真實系統(tǒng)的這些參數(shù)或類似系統(tǒng)的這些參數(shù)做必要的統(tǒng)計調(diào)查，通過分布擬合、參數(shù)估計以及假設(shè)檢驗等步驟， 確定這些隨機(jī)變量的概 率密度函數(shù)，以便輸入模擬模型、實施模型運行。止匕外，某些動態(tài)模型，如 系統(tǒng)動力學(xué)、計量經(jīng)濟(jì)模型等， 還需要對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差檢驗和模型有效性檢驗。4)模型的確認(rèn)在系統(tǒng)模擬中，所建立的模擬模型能否代表真實系統(tǒng)，是決定模擬研究成敗的關(guān)鍵。 按照同一的標(biāo)準(zhǔn)對模擬模型的代表性衡量 , 這就是模擬模型的確認(rèn). 目前常用的是三步確認(rèn)法： 第一步由熟知該系統(tǒng)的專家對模型做直觀和有內(nèi)涵的分析評價;

13、第二步是對模型的假設(shè)、 輸入數(shù)據(jù)的分布進(jìn)行必要的統(tǒng)計檢查； 第三步是對模型作調(diào)試運行， 觀察初步模擬結(jié)果與估計的結(jié)果是否相近。 以及改變主要輸入變量的數(shù)值時模擬輸出的變化趨勢是否合理。通過以上三個步驟，一般可以認(rèn)為該模型已經(jīng)得到了確認(rèn)。然而，由于模擬模型確認(rèn)的理論和方法目前尚未達(dá)到完善的程度， 仍有可能出現(xiàn)不同模擬模型都能得到確認(rèn)的情況。 因此改進(jìn)模擬模型的確認(rèn)方法， 使之更趨于定量化， 仍然是系統(tǒng)模擬技術(shù)研究中的一項重要課題。5) 模型的編程實現(xiàn)與驗證在建立模擬模型之后，就需要選用模擬語言編制相應(yīng)的模擬程序， 以便在計算機(jī)上作模擬運行試驗。 為了使模擬能夠模仿模擬模型的運行特征， 必須使模擬

14、程序與模擬模型在內(nèi)部邏輯關(guān)系和數(shù)學(xué)關(guān)系方面具有高度的一致性，使模擬程序的運行結(jié)果能精確地代表模擬模型應(yīng)當(dāng)具有的性能。通常這種一致性由模擬語言自編程和建模的對應(yīng)性中得到保證。 但是， 在模擬規(guī)模較大或內(nèi)部關(guān)系比較復(fù)雜時，仍需對模型與程序之間的一致性進(jìn)行驗證。通常均采用程序分塊調(diào)試和整體程序運行的方法來驗證模擬程序的合理性， 也可采用對局部模塊進(jìn)行分析計算與模擬結(jié)果進(jìn)行對比的方法來驗證模擬程序的正確性。6）模擬試驗設(shè)計在進(jìn)行正式模擬運行之前，一般均應(yīng)進(jìn)行模擬試驗框架設(shè)計， 也就是確定模擬試驗的方案。 這個試驗框架與多種因素有關(guān)，如建模模擬目的、 計算機(jī)性能以及結(jié)果處理需求等。 通常， 模擬試驗設(shè)計

15、包括模擬時間區(qū)間、 精度要求、 輸入輸出方式、 控制參數(shù)的方案及變化范圍等。7）模型的模擬運行經(jīng)過確認(rèn)和驗證模型，就可以在試驗框架指導(dǎo)下在計算機(jī)上進(jìn)行計算。 在運行過程中， 可以了解模型對各種不同輸入及各種不同模擬方案的輸出響應(yīng)情況， 通過獲得的所需試驗結(jié)果和數(shù)據(jù)，掌握系統(tǒng)的變化規(guī)律。8）模擬結(jié)果的輸出與分析對模擬模型進(jìn)行多次獨立重復(fù)運行可以得到一系列的相應(yīng)輸出和系統(tǒng)性能參數(shù)的均值、 標(biāo)準(zhǔn)偏差、 最大和最小數(shù)值及其他分布參數(shù)等。 但是， 這些參數(shù)僅是對所研究系統(tǒng)作模擬實驗的一個樣本， 要估計系統(tǒng)的總體分布參數(shù)及其特征， 還需要在模擬輸出樣本的基礎(chǔ)上進(jìn)行必要的統(tǒng)計推斷。 通常， 用于對模擬輸出進(jìn)

16、行統(tǒng)計推斷的方法有： 對均值和方差的點估計； 滿足一定置信水平的置信區(qū)間估計； 模擬輸出的相關(guān)分析； 模擬精度與重復(fù)模擬運行次數(shù)的關(guān)系以及模擬輸出相應(yīng)的方差衰減技術(shù)等。 以 上所述是系統(tǒng)模擬的原則性步驟，在實際管理系統(tǒng)模擬研究時，這幾個步驟緊密相連，對不同的管理問題和模擬方法， 也不是一 成不變的。從問題定義開始，通過建立模擬模型、收集數(shù)據(jù)、完 成模型確認(rèn)、模擬編程實驗和驗證，在模擬實驗設(shè)計的基礎(chǔ)上，重復(fù)模擬模型運行，弁對模擬結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析和統(tǒng)計推斷，直到為決策部門和決策人員提供滿意的方案為止的全過程是一個 辯證的過程、迭代的過程。2蒙特卡洛模擬方法蒙特卡洛模擬是一種特殊而應(yīng)用廣泛的計算機(jī)模

17、擬方法, 它是充分利用計算機(jī)計算能力的隨機(jī)實驗方法。下面我們通過一個簡單的例子說明該方法的基本原理。某消防部門現(xiàn)有三輛消防車，需要決定是否應(yīng)該增配消 防車。假定是否增配消防車主要依據(jù)經(jīng)濟(jì)因素來決定，其他假設(shè)條件如下：* 現(xiàn)有三輛消防車。* 一輛消防車可以而且只能同時處理1起火警。* 無論是否出警，一輛消防車一天運行費用為500元。* 如果出現(xiàn)一起火警而沒有消防車到場，則損失 2000元。現(xiàn)有過去200天的火警記錄，其中200天沒有火警的有20天，一天只出現(xiàn)1起火警的有30天，同時出現(xiàn)2起火警的有70天，依次類推。根據(jù)頻率可以列出事件的發(fā)生概率(見表 1)。表1過去200天的火警記錄同時出現(xiàn)火警

18、數(shù)/天頻率(天)發(fā)生概率0200.11300.152700.353400.24300.125100.05如果某一天同時發(fā)生火警的最大數(shù)為X,當(dāng)XW 3時，總費用為1500元；當(dāng)X>3時，總費用為1500+2000 (X-3)元。現(xiàn)假設(shè)增加1輛消防車，即有4輛消防車，當(dāng)XW 4時，總 費用為4*500 =2000元；當(dāng)X>4時，總費用為2000+2000 (X-4) 元。于是我們考慮未來20天的情況。首先需要模擬未來 20天 每天可能發(fā)生火警的最大數(shù)。采用如表10-2所示的隨機(jī)數(shù)表，進(jìn)行手工模擬。在隨機(jī)數(shù)表中，我們選擇第一列數(shù)的前 2位，那 么這個隨機(jī)數(shù)就表示 X可能出現(xiàn)的情況。根據(jù)

19、表 10-1的出現(xiàn)概 率以及累積概率，當(dāng)隨機(jī)數(shù)取 0009時表示同時發(fā)生火警數(shù)為0起，當(dāng)隨機(jī)數(shù)取1024時，表示同時發(fā)生火警為1起，因為 此時累積概率為25%;依此類推，結(jié)果如表10-3所示。根據(jù)上 述情況，我們可以模擬這 20天的火警情況，弁計算有 3輛或4 輛消防車分別帶來的損失，全部結(jié)果如表 10-4所示。由分析結(jié) 果看出，增加1輛消防車在20天內(nèi)可以節(jié)省4000元。表2 積累概率與隨機(jī)數(shù)X概率積累概率隨機(jī)數(shù)00.10.100 0910.150.25102420.350.625 5930.20.860 7940.150.95809450.05195 99表3模擬結(jié)果天隨機(jī)數(shù)X費用（元）3

20、輛消防車4輛消防車110115002000237215002000380150020004995550040005121150020006663150020007312150020008854350020009633150020001073315002000119855500400012111150020001383435002000148843500200015995550040001665315002000178043500200018743150020001969315002000209015002000費用合計5000046000注意，這里的隨機(jī)數(shù)是在假設(shè)每天可能同時發(fā)生火警的最 大數(shù)

21、服從均勻分布，因此用了一個 10 000的均勻分布。在實際 問題的處理中，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生可以通過專門的計算機(jī)程序和算法 來產(chǎn)生。另外，我們在此只做了一次模擬，而在實際問題中，要 復(fù)雜得多，通常可以借助計算機(jī)進(jìn)行大量的實驗，最后求得問題平均解值。3排隊模型(1)排隊系統(tǒng)基本概念排隊對我們來說是最熟悉不過的了， 在購買火車票的時候、 在醫(yī)院看病的時候、在超市出口等待付款的時候、 在銀行取錢的 時候，以及其他許許多多的場合，我們都需要排隊等候。然而弁非所有的排隊只涉及個人，也許有若干項工作排隊 等候機(jī)器來處理。我們稱任何等待一項服務(wù)的人或事物為顧客， 稱提供這項服務(wù)的人和事情為服務(wù)臺。因此，當(dāng)顧客的數(shù)

22、量超過了服務(wù)臺的容量時，也就是說到達(dá)的顧客不能立即得到服務(wù)時， 就形成了排隊現(xiàn)象。表 4就是一些典型的排隊的例子。表4典型的排隊例子到達(dá)的顧客服務(wù)內(nèi)容服務(wù)臺在公路收費站排隊的車輛收費收費車道病人看病醫(yī)生到達(dá)機(jī)場上空的飛機(jī)降落跑道不能運轉(zhuǎn)的機(jī)器修理修理工人到達(dá)港口的貨船裝貨（卸貨）裝卸碼頭或泊位客戶法律咨詢法律咨詢?nèi)藛T進(jìn)入我方陣地的敵機(jī)我方防空火力射擊我方高炮或防空導(dǎo)彈汽車駕駛員執(zhí)照年審換新管理部門年審辦事員需加油車輛加油加油站的加油機(jī)從排隊的概念以及構(gòu)成排隊的幾個要素來看，排隊可以有多種形式：可以是單個服務(wù)臺、單個隊列。可以是多個服務(wù)臺、單個隊列多個服務(wù)臺可以串連，也可以并聯(lián)。顧客到來也許是隨

23、機(jī)的，也許是按照某種系統(tǒng)的方式有規(guī)律的 到來。顧客可能是一個一個到來，也可能是成批到來。服務(wù)事件也許是恒定的，也許是可變的。顧客接受服務(wù)的順序也許與到來的順序一致，即“先到先服 務(wù)”，一些與到來順序不一致，如緊急情況，也就是“插隊”。要討論排隊服務(wù)的質(zhì)量，我們通常用顧客需要等待的時間 進(jìn)行評判。影響一個隊列的長度稱為隊長取決于三個因素：一是顧客到達(dá)的速度；二是顧客接受服務(wù)的時間；三是服務(wù)臺的數(shù)量。如果服務(wù)臺的個數(shù)足夠多，等候排隊的隊伍就不會太長， 但服務(wù)臺的成本就比較高；如果服務(wù)臺比較少，成本相對比較低， 但顧客等待時間可能會比較長， 隊長會影響服務(wù)質(zhì)量。因此，我 們需要在各方面之間找到一種平

24、衡，也就是成本和服務(wù)質(zhì)量之間 進(jìn)行權(quán)衡，使方方面面都能接受。 單服務(wù)臺排隊模型最簡單的排隊問題只有一個服務(wù)臺為一個隊列顧客提供服務(wù)的排隊。稱這類問題為單服務(wù)臺排隊問題，下面建立單服務(wù)臺排隊模型。弁假設(shè)：一個服務(wù)臺。一隊顧客。顧客隨機(jī)到達(dá)。服務(wù)順序為“先到先服務(wù)”。系統(tǒng)可以到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。 對于隊列中的顧客數(shù)量沒有限制。 對于接受服務(wù)的顧客數(shù)量沒有限制。 所有到來的顧客都等待服務(wù)。1)顧客到達(dá)。假設(shè)顧客到達(dá)服從泊松隨機(jī)分布。因此，在單 位時間內(nèi)顧客到達(dá)的平均人數(shù)為，在單位時間內(nèi)有個顧客到達(dá)的概率可以根據(jù)泊松分布求出。rP(k r) e r!式中r為到達(dá)的顧客數(shù)目；為平均到達(dá)的顧客數(shù)目；e為自然對數(shù)

25、的底（2.71828）。2）隨機(jī)服務(wù)時間。顧客接受服務(wù)的時間是隨機(jī)的，但它是 連續(xù)變量。我們可以用負(fù)指數(shù)分布來描述。如果服務(wù)速度的均值， 即單位時間內(nèi)接受服務(wù)的顧客數(shù)為，那么，服務(wù)時間不超過某一時間t的概率為：P T t 1 e t所以服務(wù)到時間t沒有完成的概率為：P T t 1 P T t e t3）排隊隊列的運行特征。顯然，如果平均到達(dá)速度大于平 均服務(wù)速度，系統(tǒng)永遠(yuǎn)不會達(dá)到一個穩(wěn)定狀態(tài)。到來的顧客 總比接受服務(wù)后離開的顧客多，隊會越排越長。但我們的分 析研究必須假定系統(tǒng)能達(dá)到一種穩(wěn)定，也就是說要滿足O通常把符合上述到達(dá)（服從泊分布）和服務(wù)（服從負(fù) 指數(shù)分布）規(guī)律的單服務(wù)臺排隊問題稱為 M

26、/M/1模型。在系 統(tǒng)中沒有顧客的概率，也就是服務(wù)臺空閑的概率為：P。有n個顧客在系統(tǒng)中的概率為:PnP0一因此。可以計算系統(tǒng)中顧客的平均數(shù) L ：平均排隊人數(shù)=等于平均的系統(tǒng)人數(shù)-平均的正在接受服務(wù)的人數(shù)：LqL 一顧客在系統(tǒng)中花費的平均時間W為:平均排隊時間=平均在系統(tǒng)中的時間-平均服務(wù)時間:例1假設(shè)到某銀行取款機(jī)取錢的人隨機(jī)到來，且服從泊松分布，平均為每小時30人。如果取款機(jī)的服務(wù)時間平均每人需0.5分鐘，取款機(jī)前會排多長的隊？如果平均服務(wù)時間為1.0分鐘、1.5分鐘或2分鐘，情況會怎樣？顧客平均在系統(tǒng)中花費多少時間？ 解 平均到達(dá)速度 30 （人/小時），平均服務(wù)速度為? 120 （人

27、/小時）。于是，平均排隊人數(shù)為：Lq302120 (120 30)0.083平均排隊時間為:30120 (120 30)0.003 （小時）=0.18分鐘如果平均服務(wù)時間為1分鐘或1.5分鐘，相應(yīng)的平均服務(wù)速度為60人和40人（每小時），滿足 。于是帶入式和式,得到60,La 0.5，W 0.017 （小時）或 1.02 分鐘 q q40, La 2.25，W 0.075 （小時）或 4.5 分鐘 q q如果平均服務(wù)時間延長到 2分鐘，平均服務(wù)速度為30 o這時，不滿足 ，所以，系統(tǒng)將不能自動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，排隊會越來越長。按式和式，可以分別計算系統(tǒng)中的顧客數(shù)以及顧客在系統(tǒng)中 平均花費的時間。若

28、 120,貝U30120 300.3330.011 （小時）=0.66 （分鐘）60,40,120 303060 301.060 300.033 （小時）=2 （分鐘）3040 303.040 300.1 （小時）=6 （分鐘）多服務(wù)臺排隊模型如果顧客平均到達(dá)速度大于平均服務(wù)速度，或者如果排隊過長，我們可以通過增加服務(wù)臺改進(jìn)服務(wù)。考慮1隊顧客接受N個弁聯(lián)服務(wù)臺服務(wù)的情況， 在銀行、加油站、收費站等處都是這種情況。 這里我們把多列簡化成單個隊列， 每當(dāng)一個服務(wù)臺空閑時， 它就為下一個顧客提供服務(wù)。 當(dāng)顧客到達(dá)和接受服務(wù)服從與M/M/1模型同樣的規(guī)律時，多服務(wù)臺排隊模型稱為M/M/N模型，如當(dāng)服務(wù)

29、臺個數(shù)為 3 時，稱為 M/M/3 模型。同樣，我們假定： N 個完全相同的服務(wù)臺并聯(lián)工作。只有 1 隊顧客。顧客隨機(jī)到達(dá)。隨機(jī)的服務(wù)時間長度。服務(wù)順序為“先到先服務(wù)”。系統(tǒng)可以到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。對于隊列中的顧客數(shù)量沒有限制。對于接受服務(wù)的顧客數(shù)量沒有限制。? 所有到來的顧客都等待服務(wù)。如果每個服務(wù)臺的速度均為 ，那么我們必須保證N , 使系統(tǒng)可以達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。 下面， 我們不加推導(dǎo)， 給出有關(guān)計算公式。所有N個服務(wù)臺都空閑，也就是在系統(tǒng)中沒有顧客的概率為:P0N 1n 0 n! N 1 ! N有n個顧客在系統(tǒng)中的概率為:當(dāng)n N時,PnN!Nn NP0當(dāng)0 n N時,Pnn!P013平均排隊等候

30、的人數(shù)為:2 P0平均在系統(tǒng)中顧客數(shù)量為：L La - Q4q、-J平均每個顧客的排隊等候時間為：wq Lq- 0平均每個顧客在系統(tǒng)中的時間為：w Wq - (16)例2在一個信息咨詢中心，顧客隨機(jī)到來，平均每小25人。該中心有3個接待人員，每個顧客的平均咨詢時間為6分鐘，也就是每個接待人員每小時可以為10個顧客提供服務(wù)。試求解這一排隊問題的有關(guān)特征。解 平均到達(dá)速度 25,平均服務(wù)速度為每個服務(wù)臺10,N 3。這是一個M/M/3排隊問題。所以3個接待員都空閑，即 系統(tǒng)中沒有顧客的概率為：P)N 1n 0 n! N 1 ! N2510n!25 n10106.625 7.813 20.0453

31、1 ! 3 10 25在系統(tǒng)中有n個顧客的概率為:10n 3時,Pnn!P025100.0450.113P3P4F52510225103時,2510250.0450.045Pn0.1410.117N!Nn N P00.045 0.09830.045 0.0812510P60.045 0.0686 27排隊等候的平均人數(shù)為:P025 3 25 102 0.045 3.513 10 25在系統(tǒng)中平均顧客數(shù)為：L La 3.51至6.01 q10 L-3 51平均每個顧客的排隊時間為：W q 351 0.14（小時）=8.4 q25（分鐘） 平均每個顧客在系統(tǒng)中的時間為:=14.4 （分鐘）11.W

32、W-0.140.24（小時）q10四、排隊系統(tǒng)模擬以上我們介紹了可以通過分析的方法， 運用復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式 來求解排隊問題。但在很多情況下，顧客的到來以及接受服務(wù)的 時間和方式更加復(fù)雜，例如多隊列、服務(wù)臺弁聯(lián)、服務(wù)臺串連等, 這時運用解析計算就很難了。 另外，有時顧客的到來以及接受服務(wù)的時間不一定服從泊松分布和負(fù)指數(shù)分布， 即很可能從獲得的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)和實驗數(shù)據(jù)很難準(zhǔn)確的得到某種典型的統(tǒng)計分布，這時解析算就無能為力了。 模擬的方法在這種情況下可以提供分析和研究問題的有效途徑。隨機(jī)離散事件是一系列按時序隨機(jī)發(fā)生的具體事件，它們只能在離散的可數(shù)時刻上發(fā)生， 這些時間一旦出現(xiàn)， 將使系統(tǒng)中一個或若干個

33、狀態(tài)變量發(fā)生瞬間變化。 由于這些事件的發(fā)生具有離散性和隨機(jī)性，因此稱為隨機(jī)離散事件。不論對于公共管理還是企業(yè)管理，離散事件模擬在現(xiàn)代科學(xué)管理中已經(jīng)成為一種重要的定量分析方法。 但它的應(yīng)用所設(shè)計的理論方法較多， 技術(shù)較為復(fù)雜， 因此我們下面僅以某銀行的服務(wù)窗口為例，說明隨機(jī)離散事件模擬系統(tǒng)的基本概念。設(shè)顧客按泊松流隨機(jī)到達(dá)，即顧客的到達(dá)時間為負(fù)指數(shù)分布。 出納員對每位顧客的服務(wù)時間隨顧客要求的服務(wù)內(nèi)容的不同而異，根據(jù)統(tǒng)計，服務(wù)時間也呈負(fù)指數(shù)分布。顧客到達(dá)時，若服務(wù)員正忙，則在隊列中等候，服務(wù)完畢后顧客即離開系統(tǒng)。表10 6 給出顧客到達(dá)流和服務(wù)時間。利用此表可以進(jìn)行手工模擬。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)為銀行中的

34、顧客數(shù)、 正在對列中的排隊等候的顧客數(shù)和出納員的忙閑狀態(tài)。 每當(dāng)一個顧客到達(dá)和離開銀行， 系統(tǒng)的狀態(tài)就會發(fā)生變化， 如銀行中顧客數(shù)或隊列長度增一或減一，出納員由閑變忙或由忙變閑等。此系統(tǒng)共有兩類事件，即閑和忙。其模擬過程如表6所示。表6銀行服務(wù)系統(tǒng)的到達(dá)流和服務(wù)時間顧客號到達(dá)時刻*(min)到達(dá)間隔時間(min)服務(wù)時間(min)13.23.23.8210.97.73.5313.22.34.2414.81.63.1517.72.92.4619.82.14.3721.51.72.7826.34.82.1932.15.72.51036.64.53.4在此模擬實驗中，采用“面向事件”的模擬時鐘，時鐘時 間表示每一事件發(fā)生的時刻， 在每一事件發(fā)生后，模擬時鐘立即 推進(jìn)到該事件時間，弁且記錄系統(tǒng)的狀態(tài)和統(tǒng)計系統(tǒng)的參數(shù)，即隊列中人數(shù)、系統(tǒng)中人數(shù)、服務(wù)狀態(tài)及忙期、閑期、服務(wù)臺利用 率等。在滿足模擬終止條件時，如 8小時營業(yè)時間和被服務(wù)顧客 人數(shù)達(dá)到規(guī)定值時，模擬過程終止。在本例中，模擬終止條件規(guī) 定為被服務(wù)顧客人數(shù)到達(dá) 10人時模擬終止，弁輸出模擬統(tǒng)計數(shù) 據(jù)，如下表所示。顧客(1)到達(dá)時刻(2)開始服務(wù)時間(3)離開時間(4)在隊列中的時間在銀行中逗留 時間(5)二=(3) ( 2)(