1、第一章 隨機事件和其概率§1.1 隨機事件§1.2 隨機事件的概率一、單選題1.以表示事件“甲種產品暢銷，乙種產品滯銷”，則其對立事件為（ D ） （A） “甲種產品滯銷，乙種產品暢銷”（B）“甲、乙兩種產品均暢銷”（C） “甲種產品暢滯銷” （D）“甲種產品滯銷或乙種產品暢銷”2.對于事件，有，則下述結論正確的是（ C ） （A）必同時發生； （B）發生，必發生； （C）發生，必發生； （D）不發生，必發生3.設隨機事件和同時發生時，事件必發生，則下列式子正確的是（ C ）(A) (B)(C) (D)二、填空題1. 設表示三個隨機事件，用的關系和運算表示（1）僅發生為：；

2、（2）中正好有一個發生為：；（3）中至少有一個發生為：；（4）中至少有一個不發生表示為：.2.某市有住戶訂日報，住戶訂晚報，住戶至少訂這兩種報紙中的一種，則同時訂這兩種報紙的住戶所占的百分比是3. 設則§1.3古典概率一、填空題1.將數字寫在張卡片上，任取張排成位數，則它是奇數的概率為.2.把10本書任意放在書架上，求其中指定的3本書放在一起的概率為.3.若袋中有3個紅球，12個白球，從中不返回地取10次，每次取一個，則第一次取得紅球的概率為，第五次取得紅球的概率為.4. 盒中有2只次品和4只正品，有放回地從中任意取兩次，每次取一只，則（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品

3、、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品.二、計算題 1一份試卷上有6道題. 某位學生在解答時由于粗心隨機地犯了4處不同的錯誤. 試求： (1) 這4處錯誤發生在最后一道題上的概率； (2) 這4處錯誤發生在不同題上的概率； (3) 至少有3道題全對的概率. 解：4個錯誤發生在6道題中的可能結果共有64=1296種，即樣本點總數為1296.(1)設A表示“4處錯誤發生在最后一道題上”，只有1種情形，因此；(2)設B表示“4處錯誤發生在不同題上”，即4處錯誤不重復出現在6道題上，共有種方式，因此有6種可能，故(3)設C表示“至少有3道題全對”相當于“至少有2個錯誤發生在同一題上”，而表示“

4、4處錯誤發生在不同題上”，.2. 已知件產品中有件是不合格品，今從中隨機地抽取件，試求: (1) 件中恰有件不合格品的概率； (2) 件中至少有一件不合格品的概率. 解：從件產品中抽取件產品的每一取法構成一基本事件,共有種不同取法.(1)設A表示抽取件產品中恰有件不合格品的事件，則A中包含樣本點數為,由古典概型計算公式，。(2)設B表示抽取件產品中至少有一件不合格品的事件，則表示件產品全為合格品的事件，包含個樣本點。則。3一批產品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。從這批產品中任取3件，求: (1) 取出的3件產品中恰有2件等級相同的概率；（2）取出的3件產品中至少有2件等級相同

5、的概率.解：設事件表示取出的3件產品中有2件等品，其中=1，2，3； （1）所求事件為事件、的和事件，由于這三個事件彼此互不相容，故=0.671 （2）設事件表示取出的3件產品中至少有2件等級相同，那么事件表示取出的3件產品中等級各不相同，則§1.4條件概率一、單選題1.設,互不相容，且,則必有（ D ）.(A) （B） (C) （D） 2.已知，則（ D ）. (A) 0.2 （B）0.45 (C) 0.6 （D）0.753.已知，則( C ). (A) （B） (C) （D）4.已知 則 ( D ).(A) （B） (C) （D） 5. 擲一枚質地均勻的骰子，設A為“出現奇數點”

6、，B為“出現1點”，則( C ). (A) 1/6 （B） 1/4 (C) 1/3 （D） 1/2二、填空題1. 已知,和,則 .2.設互不相容，且；則.3.設事件和的概率分別為，則.4.已知事件互不相容，且，則5.設某種動物由出生算起活到20歲以上的概率為0.8, 活到25歲以上的概率為0.4. 如果一只動物現在已經活到20歲, 則它能活到25歲以上的概率是.三、計算題 1. 一批彩電，共100臺，其中有10臺次品，采用不放回抽樣依次抽取3次，每次抽一臺，求第3次才抽到合格品的概率.解 設Ai(i=1,2,3)為第i次抽到合格品的事件，則有= =10/100·9/99·9

7、0/980.0083.2.一個盒子裝有6只乒乓球，其中4只是新球. 第一次比賽時隨機地從盒子中取出2只乒乓球，使用后放回盒子第二次比賽時又隨機地從盒子中取出2只乒乓球. 試求第二次取出的球全是新球的概率.3.某保險公司把被保險人分為3類：“謹慎的”、“一般的”、“冒失的”。統計資料表明，這3種人在一年內發生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹慎的”被保險人占20%， “一般的”占50%，“冒失的”占30%，一個被保險人在一年內出事故的概率是多大？解：設=“他是謹慎的”， =“他是一般的”， =“他是冒失的”，則構成了的一個劃分，設事件=“出事故”，由全概率公式：§1

8、.5 事件的獨立性 §1.6 獨立試驗序列一、單選題1.設是兩個相互獨立的隨機事件,，則（ B ）(A) (B) (C) (D) 2.設甲乙兩人獨立射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為 0.9和0.8，則目標被擊中的概率是（ B ）.(A) 0.9 （B） 0.98 (C) 0.72 （D） 0.83.每次試驗成功率為，(1)進行10次重復試驗成功4次的概率為( A )(2)進行重復試驗，直到第10次試驗才取得4次成功的概率為( B )(3)進行10次重復試驗，至少成功一次的概率為( D )(4)進行10次重復試驗，10次都失敗的概率為( C ) (A) (B) (C) (D) 二

9、、填空題1.設及為兩相互獨立的事件，=0.6，=0.4，則=.2.三臺機器相互獨立運轉，設第一、二、三臺機器不發生故障的概率依次為，則這三臺機器中至少有一臺發生故障的概率.3.某人射擊的命中率為，獨立射擊次，則至少擊中次的概率為.4.某射手在三次射擊中至少命中一次的概率為0.875，則這射手在一次射擊中命中的概率為 0.5 .5.一批電子元件共有100個，次品率為0.05. 連續兩次不放回地從中任取一個，則第二次才取到正品的概率為.三、計算題 1. 5名籃球運動員獨立地投籃，每個運動員投籃的命中率都是80.他們各投一次，試求： (1) 恰有4次命中的概率； (2) 至少有4次命中的概率； (3

10、) 至多有4次命中的概率. 解：設 (1)(2) (3) 2一個工人看管三臺車床，在一小時內車床不需要工人看管的概率：第一臺等于0.9，第二臺等于0.8，第三臺等于0.7.求在一小時內三臺車床中最多有一臺需要工人看管的概率.解：設事件表示第臺車床不需要照管，事件表示第臺車床需要照管，（=1，2，3）， 根據題設條件可知： 設所求事件為，則 根據事件的獨立性和互不相容事件的關系，得到： 3.甲、乙、丙3位同學同時獨立參加概率論及數理統計考試，不和格的概率分別為.（1）求恰有兩位同學不和格的概率；（2）如果已經知道這3位同學中有2位不和格，求其中一位是同學乙的概率.解：（1）設，.則 （2）第二章

11、 隨機變量和其分布§2.1 隨機變量§2.2 離散型隨機變量和其概率分布一、單選題1. 離散型隨機變量的概率分布為()的充要條件是( A ).（A）且 （B）且 （C）且 （D）且2. 下面函數中，可以作為一個隨機變量的分布函數的是（ B ）.（A） （B）（C） （D）3. 已知隨機變量服從二項分布,則（ C ）.（A） （B） （C） （D） 二、填空題1. 已知隨機變量的取值是1,0,1,2，隨機變量取這四個數值的概率依次是，則.2. ,則的分布函數是3. 設隨機變量,若則.4.重復獨立地擲一枚均勻硬幣，直到出現正面向上為止，則拋擲次數Y的分布為.三、計算題 1. 一

12、尋呼臺每分鐘收到尋呼的次數服從參數為4的泊松分布.求（1）每分鐘恰有7次尋呼的概率.（2）每分鐘的尋呼次數大于10的概率.解：（1）（2）2. 已知盒子中有4個白球和2個紅球，現從中任意取出3個，設X表示其中白球的個數，求出X的分布列.解：的可能取值為3、4、5，又 3 4 53. 設隨機變量Y的分布列為： Y 0 1 2 3 P 求 (1)系數A和Y的分布列； (2)Y的分布函數； (3)(1) 此時分布為 0 1 2 3P (2) (3).§2.3 連續型隨機變量和其概率密度一、單選題 1. 若函數 是隨機變量的概率密度，則區間為 （ A ） （A） （B） （C） （D）2.下

13、列函數為隨機變量的密度函數的為( D )(A) (B) (C) (D) 3. 設隨機變量的概率密度為，則一定滿足（ D ） （A） （B） （C） （D）4.設,那么當增大時，則（ C ） (A)增大 (B)減少 (C)不變 (D)增減不定5. 設且，則（ C ） （A）0.3 （B）0.4 （C）0.2 （D）0. 5二、填空題1.設連續隨機變量的分布函數為(1); ;(2) 0.5 ;(3)概率密度.2.設隨機變量在在區間上服從均勻分布，則（1） 0 , （2） 2/3 ,（3） 1 , （4） 1/3 . 3. 設隨機變量,則若， 1 .4. 設隨機變量，,則事件的概率為0.3835.

14、設隨機變量，若,則 0.35 .三、計算題1. 設連續型隨機變量的密度函數為求： 常數； 概率 解： 由密度函數的性質，得所以，得即隨機變量的密度函數為2. 設隨機變量的分布函數為（1）求； （2）求分布密度.解：（1）（2），3. 設k在(0,5)上服從均勻分布，求方程有實根的概率.解：x的二次方程有實根的充要條件是它的判別式 即 解得 由假設k在區間(0,5)上服從均勻分布，其概率密度為 故這個二次方程有實根的概率為 §2.4 隨機變量的函數和其分布一、計算題1. 設隨機變量的分布列為-2-1013求的分布列.解：所有可能取值為0，1，4，9.故X的分布律為：Y01492.設隨機

15、變量的概率密度，求下列隨機變量的概率密度：（1）; （2） .解：（1） （2）3. 設隨機變量在區間內服從均勻分布,求的分布密度.解： Y的分布函數當y>0時，（注意x在有值，y在）第三章 二維隨機變量和其分布§3.1 二維隨機變量和其分布一、單選題1.設二維隨機變量的聯合概率密度為 則（ A ）（A）0.5 （B）0.55 （C） 0.45 （D）0.62.二維隨機變量的聯合分布函數是以下哪個隨機事件的的概率（ B ）（A） （B） （C） （D）二、填空題1.設二維隨機變量的聯合分布函數為則系數=，= ，= ，的聯合概率密度為 .2.設二維隨機變量的聯合概率密度為則 =

16、2 .三、計算題1.設二維隨機變量的聯合概率密度為：求 （1）系數；（2）.解：（1）由于， 故， 所以 （2） 2. 設二維隨機變量的聯合概率密度為試求：（1）常數；(2)概率.解：（1）由于， 故， 所以 （2）= 3.將三個球隨機的投入三個盒子中去，每個球投入盒子的可能性是相同的.以和 分別表示投入第一個和第二個盒子中球的個數，求二維隨機變量聯合概率分布.解：XY01230123§3.2 邊緣分布 §3.3 隨機變量的獨立性1.下表列出了二維隨機變量聯合概率分布和關于和關于的邊緣概率分布的部分數值，試將其余值填入表中的空白處 12.已知隨機變量和的概率分布如下而且（1

17、）求和的聯合分布；（2）問和是否獨立？為什么？解： -10100.2500.2510050（2）和不獨立。3.把一枚均勻硬幣拋擲三次，設為三次拋擲中正面出現的次數 ，而為正面出現次數及反面出現次數之差的絕對值 , 求的概率分布以和關于、的邊緣概率分布.解： 的可能取值為0，1,2,3；的可能取值為1,3并且 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)得的分布和關于、的邊緣概率分布為 13234.已知二維隨機變量的聯合概率密度為判斷隨機變量和是否獨立？解: 由于 ， 。故所以隨機變量和獨立第四章 隨機變量的數字特征§4.1 數學期望一、單選題1.設連續型隨機變量

18、的分布函數為，則（ B ）（A） （B） （C） （D） 2.擲10顆骰子，令為10顆骰子的點數之和，則（ C ）（A） （B） （C）35 （D） 3.設隨機變量及相互獨立，且它們分別在區間-1，3和2，4上服從均勻分布，則=（ C ）（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4二、填空題1.設連續型隨機變量的概率密度為 其中，又已知，則 3 ， 2 .2.設隨機變量服從參數為1的指數分布，則數學期望 4/3 .3.設隨機變量的概率密度為則 0 . 4.已知離散型隨機變量服從參數為2的泊松分布，即則隨機變量的數學期望 4 .三、計算題1. 設的概率分布為-10123求：解：101492.

19、設的聯合概率密度為，求.解：，同理。3.設隨機變量在區間上服從均勻分布，求隨機變量函數的數學期望.解：第五章 中心極限定理一、計算題1.已知一本書有500頁，每一頁的印刷錯誤的個數服從泊松分布.各頁有沒有錯誤是相互獨立的，求這本書的錯誤個數多于88個的概率.()解：設表示第頁上的錯誤個數， 則，因此 設表示這本書上的錯誤總數，由列維中心極限定理知因此2.計算機在進行數值計算時，每次計算的誤差都服從均勻分布，若在一項計算中進行了100次數值計算，求平均誤差落在區間上的概率()解：設表示第次計算的誤差， 則，因此 設表示100次計算的總誤差，由列維中心極限定理知因此3.某單位有100部電話，每部電

20、話約有20的時間使用外線通話設每部電話是否使用外線是獨立的，問該單位至少要安裝多少條外線，才能以90以上的概率保證每部電話使用外線時都能夠打通？( ) 解:設表示需要使用外面的電話數，表示安裝的外線數，則 ，因為 較大, 所以近似服從正態分布. 所以該單位至少要安裝26條外線，才能以90以上的概率保證每部電話使用外線時都能夠打通？ 4.某品牌家電三年內發生故障的概率為0.2,且各家電質量相互獨立.某代理商發售了一批此品牌家電,三年到期時進行跟蹤調查：（1）抽查了四個家電用戶,求至多只有一臺家電發生故障的概率；（2）抽查了100個家電用戶,求發生故障的家電數不小于25的概率.（ )解:設表示發生

21、故障的家電數,則 (1) (2) ， 因為 較大, 所以近似服從正態分布. 第六章 數理統計的基本知識一、單選題1.設是來自總體的簡單隨機樣本，則必然滿足( C ) （A）獨立但分布不同 (B)分不相同但不獨立 (C) 獨立并且分布相同 (D)既不獨立也不同分布2.設總體,其中未知，已知，是來自總體的樣本，則下列不是統計量的是（ D ） （A） (B) (C) (D) 3.設獨立且服從同一分布，是樣本均值，記，則下列服從 的是 ( A )（A） （B） （C） （D）4.總體服從正態分布，為其容量為100的樣本的樣本均值，則服從正態分布的是 （ A ） ( A ) ( B ) ( C ) (

22、D ) 5.是來自正態總體的樣本，為樣本均值，為樣本方差，則下列不正確的的是 （ C ）( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 二、填空題1.已知某總體的樣本值為99.3，98.7，100.05，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，則樣本均值= 99.93 ，樣本方差= 1.43 2.已知樣本觀測值為： 1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200則樣本均值= 1147 ，樣本方差= 7579 3.在一小時內觀測電話用戶對電話站的呼喚次數，按每分鐘統計得到觀測數據列表如下：則樣本均值= 2 ，樣本方差=

23、 1.966 4.設是獨立且服從標準正態分布的隨機變量，且每個都服從若服從分布，則 1 ，其自由度為 2 5.隨機變量，,且及相互獨立，則6.設總體在區間服從均勻分布，是來自總體的簡單隨機樣本，則 0 7.從總體中抽取容量為9的樣本,則= 0.9987 8.和是來自正態總體的兩個獨立樣本，則 第七章 參數估計 §7.1 點估計一、單選題1.是來自總體的樣本，且，則下列不是的無偏估計的是（ D ）( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 2.是來自正態總體的樣本，下列的無偏估計量中最有效的是（ A ）( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 二、填空題1.設總體在區間上服從

24、均勻分布，其中為未知參數.如果取得樣本觀測值為，則參數的矩估計值為 2.設某廠生產的燈泡的壽命服從壽命為的指數分布，測得個燈泡失效的時間為，則的矩估計值三、計算題1.設總體的概率分布為01或其中為未知參數。如果取得樣本觀測值為，求的矩估計值和極大似然估計值。解：（1）令,求得為矩估計值。（2）似然函數為取對數，得于是，得由此可得參數的極大似然估計值為求得。2.設總體的概率分布為123其中為未知參數。已知取得樣本值試求的矩估計值和極大似然估計值.解 ：(1)令,具體地，即：，求得為矩估計值。 (2)似然函數為取對數，得于是，得.由此可得參數的極大似然估計值為求得。3.設總體的密度函數為，其中未知

25、，是一組樣本觀測值，求參數的極大似然估計值.解：似然函數為取對數，得于是，得由此可得參數的極大似然估計值為求得。§7.3 正態總體的置信區間1、 單選題1.對總體的均值進行區間估計，得到置信度為的置信區間，意義是這個區間是（ D ） (A) 平均含總體95%的值 (B) 平均含樣本95%的值 （C）有95%的機會含樣本的值 (D) 有95%的機會含的值2.若總體，其中已知，當樣本容量保持不變時，如果置信度變小，則的置信區間（ B ） (A)長度變大 (B)長度變小 （C）長度不變 (D)長度不一定不變3.設隨機變量服從正態分布，對給定的，數滿足.若，則等于（ C ）（A） (B) (

26、C) (D)二、填空題1.由來自正態總體，測得容量為的簡單隨機樣本 15.8, 24.2, 14.5, 17.4, 14.9, 20.8, 17.9, 19.1, 21.0則未知參數的置信度為的置信區間為 (17.812,18.988) （）2. 進行10次獨立測試，測得零件直徑（mm）的樣本觀測值為： 5.21 4.77 5.64 5.93 5.37 4.93 5.56 5.45 5.39 5.08設零件直徑服從正態分布,則零件直徑的均值的置信水平為0.95的置信區間為 （5.09，5.58） 。()3.從某廠生產的滾珠中隨機抽取10個，測得滾珠的直徑（單位：mm）如下 14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8若滾珠直徑服從正態分布，且未知，則滾珠直徑方差的置信度為0.9的置信區間為 （0.02,0.10） （）