1、高數(shù)解題方法匯總一、課本以及課堂上老師方法1、如何判斷一個數(shù)列的極限不存在？(1)找一個趨于8的子數(shù)列(2)找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列(3)注意一個結(jié)論：單調(diào)有界數(shù)列必有極限(可用來證明數(shù)列極限存在)2、如何判斷一個函數(shù)的在 X。極限不存在？(1)找一個斂于X。的數(shù)列Xn , nR寸，極限f(Xn )不存在(2)找兩個趨于X。的不同數(shù)列Xn和Xn',使nR寸，極限f(Xn )不等于極限f(X n)(3)直接寫XC。時函數(shù)f(X)極限的表達式，證明極限值為 OC或者不存在(4)左右極限不相等 3、判斷可導性(1)不連續(xù)，一定不可導(2)直接用導數(shù)定義(3)看左右導數(shù)是否存在且相等4、判

2、定區(qū)間I上的連續(xù)曲線f(X)的拐點(1)求函數(shù)二階導數(shù)(2)求出使函數(shù)二階導數(shù)在區(qū)間內(nèi)等于。的全部是根，并求出在區(qū)間內(nèi)二階導數(shù)不存在的點(3)檢查所有點左右兩側(cè)附近二階導數(shù)的符號是否相反，若相反則是拐點5、求f(X)在某區(qū)間內(nèi)的極值點和相應的極值(1)求出一階導數(shù)(2)求出f(X)的全部駐點和不可導點(3)檢查所有點左右兩側(cè)附近一階導數(shù)的符號是否相反，相反則為極值點，接著判斷是極大值還是 極小值(4)求出個極值點的函數(shù)值，即可得函數(shù)f(X)的全部極值 6、求f(X)在某區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值(1)按照上述方法求出所有極值的函數(shù)值(2)求出區(qū)間端點對應的函數(shù)值，與所有函數(shù)值相比較，最大的即為最大

3、值，最小的即為最小值二、自己總結(jié)的方法1、求極限的方法：(1)看到XTXJ,就想辦法換元t=1/x (t0)(2)先化簡，再求極限，化簡的方法有：分子(分母)有理化(3)大膽配湊！ ！ ！a.出現(xiàn)sinX ,可考慮配湊sinX/X (但一定要注意 X的變化趨勢是XH)b.若底數(shù)一 1,指數(shù)一考慮化成重要極限的形式(放心大膽化，化完了再單獨求尾巴)(但有的時候，底數(shù)和指數(shù)太不相同，若硬湊，則指數(shù)的求極限也很麻煩，此時化成 e的n次方的形式即可)c.出現(xiàn)(sinX+cosX )時，整體平方一下即可出現(xiàn)1 了(1在很多重要極限以及無窮小替代中經(jīng)常出現(xiàn))d.很多等價替換的式子要求 x0,但如果剛好題目

4、給的是 xW(常數(shù))，那么換元t=x-C,即可出現(xiàn)t0 (4)洛必達定理a. 0 - <-0型的，要通分化成 0/0或者乂8b.盡量找關(guān)于x的式子中共同的因式，把這個因式重新?lián)Q元，化繁為簡c.巧用洛必達定理去除常數(shù)項(5)用泰勒公式把關(guān)于 x的七里八里的式子全部化成 x的多項式2、關(guān)于高階函數(shù)(1)什么時候用萊布尼茨公式比較好？當要求高階函數(shù)，而其中一個因式為多項式時(因為多項式到了高階函數(shù)時，導數(shù)會變成0)(2)當原函數(shù)式子比較復雜卻要求 n階導數(shù)時，可以考慮先求 一階導數(shù):一個簡單的式子，然后再 求那個簡單的式子的(n-1)階導數(shù)(3)遇到高階三角函數(shù)時一定要先化簡(化成 1次)，再

5、求n階導數(shù)3、關(guān)于求導(1)對于隱函數(shù)的求導一般思路：等式兩邊同時對x求導(2)對數(shù)求導法常用對象：嘉指函數(shù)(最常用)、多項連乘或連除或開方(可以化成對數(shù)的加減，好算一些) 4、中值定理的應用x的表達式就把這個新的表達式看成(1)要把式子中含相同中值的式子寫在一起，出現(xiàn)了新的關(guān)于新的函數(shù)，用柯西中值定理(2) 一般都要用逆向思維，設輔助函數(shù)(3)證明含1個中值的等式或根的存在，多用羅爾定理，可用原函數(shù)法找輔助函數(shù)(4)若結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同的函數(shù)，可考慮用柯西中值定理(5)若結(jié)論中含兩個或兩個以上的種植，必須多次運用中值定理(6)若已知條件中含高階導數(shù)，多考慮用泰勒公式，有時也考慮對導

6、數(shù)用中值定理(7)若結(jié)論為不等式，要注意適當放大或縮小的技巧三、不同題型及處理辦法1、設f(X)是多項式，給了幾個f(X)參與計算的極限的式子，求 f(X)表達式【方法】：(1)通過觀察極限的值確定 f(X)的最高次項(2)確定完最高次項之后用待定系數(shù)法2、涉及幾何的問題或工程上的實際問題，要進行建模，構(gòu)造函數(shù)就算可能寫不出表達式，也建立數(shù)學關(guān)系，因為有的時候可能只需要從概念上進行評判即可，不一定需要得到具體的值(看清題目要求的或者要證明的東西與哪個知識或定理類似)3、一個好長的式子(有規(guī)律變化)極限值等于一個常數(shù)的證明題【方法】：(1)夾逼定理(整體一起夾逼，巧用放縮)(只要是有規(guī)律的多項式

7、，哪怕項數(shù)是有限 個甚至比較少，都可以嘗試夾逼定理)(2)嘗試化簡式子本身，有時候可以加減相消或者裂項相消4、求分式函數(shù)的間斷點的類型【方法】：(1)分式函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)一般都是連續(xù)的，所以間斷點一般出現(xiàn)在使得分母為零的 點上。要在沒有約分的情況下，把所有使得分母為零的點求出來。(2)判斷是什么間斷點一定要嚴格按照定義來5、最大值和最小值函數(shù)【方法】：？(X) =1/2f(x)+g(x)+ ?(x)-g(x)? ? ? (X)為 f(x)和 g(x)中的最大值? (X) =1/2f(x)+g(x)- ?(x)-g(x)? ? ? (X)為 f(x)和 g(x)中的最小值6、證明式1二式2【方

8、法】(1)把所有式子移到等式同一邊，構(gòu)造新的函數(shù)，判斷在給定區(qū)間上是否有零點7、解函數(shù)解析式【方法】利用 函數(shù)表示與變量字母無關(guān)的特性 ”，配湊出關(guān)于f(x)的多元一次方程組，最后解方程即 可8、等價替代需要注意的(1)式子中沒有l(wèi)n(x+1),只有l(wèi)nx,那么就用lnx(x-1)等但是使用此方法一定要注意x-什么數(shù)，滿不滿足等價替換的條件(2)加減不能等效替換，一定不能。實在要用的話，就一定要先拆開，再一項項單獨替換，而且一 定要注意替換的過程中，每一項的極限值是否存在9、證明數(shù)列單調(diào)【方法】(1)差值法 Xn+1-Xn冷(2)比值法 Xn+1 /Xn當 10、已知一個條件，判斷這個條件能不

9、能推出函數(shù)可導或者已知函數(shù)可導，判斷能不能推出某個條件【方法】：一定一定一定要寫導數(shù)的表達式，從定義上判斷11、求反函數(shù)的導數(shù)【方法】(1)先求此函數(shù)本身的導數(shù)，反函數(shù)導數(shù)就是原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)(2)等式兩邊同時對y求導即可(注意求反函數(shù)的導數(shù)不需要對調(diào)x和y,且最后結(jié)果的表達式要用 x來表示)12、證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有界【方法】即證該區(qū)間內(nèi) ？?(x)?M (常數(shù))四、注意？1、一定要看清楚要求的是函數(shù)的極限還是導數(shù)的極限！ ！ ！2、當X-0時，一旦遇到1/X的式子，就一定要考慮分別討論 X=0的左右極限(正負)遇到？X?時也要注意考慮正負3、有一個結(jié)論：如果f(X)在X。連續(xù)，那么？?X)?

10、他在X。連續(xù)但是題目中如果沒有給這個結(jié)論的話，那么必須要自己重新證明4、注意是f(x1)f(x2)<0時才能用零點存在定理，如果推出來的式子時f(x1)f(x2) <0,那么需要單獨討論f(x1)f(x2)=0的情況5、看到兩個sin或兩個cos的和差，優(yōu)先考慮和差化積6、選擇填空題若是可以直接看出答案的就不用太糾結(jié)去嚴格證明了7、求有界性的時候多用絕對值不等式 進行放縮8、若知道某點的函數(shù)值等于0的話，大膽地將其放在定義式里進行加減(反正加減的是0,不影響結(jié)果)9、如果 X0 時，f(x)/x 存在，則 X0 時，f(x)0若f(x)在x=0處連續(xù)，則f(0)=010、在眾多證明題中，誰可導就配湊誰的導數(shù)形式11、若題干中有 函數(shù)在某點的n階導數(shù)存在”的信息，隱藏的信息是 (1) f(x)在這一點連續(xù)；(2) f(x)在這一點的1(n-1)階導數(shù)都存在12、運用一系列中值定理時，一定要討論這些中值定理存在的條件(可導啊，連續(xù)啊)13、當沒有給函數(shù)f(x)的表達式卻要證明關(guān)于關(guān)于 f(x0)或者其他與f(x)有關(guān)的東西時(比如