1、絕密啟用前2018年09月03日一中的高中數學組卷試卷副標題考試圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號 一 二 三 總分得分注意事項：1 .答題前填寫好自己的、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人 得分一.選擇題（共9小題）1 .函數f （x） 一式二|二的圖象大致為（）2 .若函數f (x) =ax?+l圖象上點(1, f (1)處的切線平行于直線y=2x+l, 則 a=()A. - 1 B. 0 C. D. 143 .設函數f(x) =x3+ (a - 1) x2+ax.若f (x)為奇函數，則曲線y:f (x) 在點

2、(0, 0)處的切線方程為()A. y= - 2x B. y= - x C. y=2x D. y=x4 .若x=-2是函數f (x) = (x'+ax-l) e-的極值點，則f (x)的極小值 為()A. - 1 B. -2e-3 C. 5e'3D. 15 .在數列aj中，a= ( -1) ", nGN*,則底出()2n->GOA.等于B.等于0 C.等于2D.不存在 226 .已知a為函數f (x) =r-12x的極小值點，則a=()A. -4 B. -2 C. 4 D. 27 .若函數f(x)=x -sin2x+asinx在(- 8, +8)單調遞增，則a的

3、取 3值圍是()A. - 1, 1 B. - 1, 1 C. -1, 1 D. - 1, -18 .若函數y=f (x)的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線 互相垂直，則稱y=f (x)具有T性質.下列函數中具有T性質的是()A. y=sinx B. y=lnx C. y=ex D. y=x!1 Fi V19.設直線L, L分別是函數f (x)='、 圖象上點巴，匕處的切Inx,線，L與L垂直相交于點P,且L, L分別與y軸相交于點A, B,則APAB 的面積的取值圍是()A. (0, 1) B. (0, 2) C. (0, +8) d. (1, +8),頁腳第n卷(非選擇

4、題)請點擊修改第n卷的文字說明評卷人 得分二.填空題(共14小題)10 .曲線y= (ax+1) e"在點(0, 1)處的切線的斜率為-2,貝a二.11 .曲線y=21nx在點(1, 0)處的切線方程為.12 .曲線y=21n (x+1)在點(0, 0)處的切線方程為.13 .已知函數f (x) =exlnx, f' (x)為f (x)的導函數，則f' (1)的 值為.14 .已知函數f (x) =2sinx+sin2x,則f (x)的最小值是.15 .若函數f (x) =2x3-ax2+l (aGR)在(0, +)有且只有一個零點，則 f (x)在-1, 1上的最大

5、值與最小值的和為.16 .若曲線尸肝一&>1)的切線1與直線 I、平行，則1的方程 x-14為.17 .已知aGR,設函數f (x) =ax - Inx的圖象在點(1, f (1)處的切線 為1,則1在y軸上的截距為.18 .曲線在點(1, 2)處的切線方程為. X19 .已知函數f (x) =x - 2x+e ,其中e是自然對數的底數.若f (a Xe-1) +f (2a2) WO.則實數a的取值圍是.20 .已知函數 f (x) = (2x+l) ex, f' (x)為 f (x)的導函數，則 f' (0) 的值為.21 .已知f(x)為偶函數，當xWO時，f

6、 (x);x,則曲線y=f (x) 在點(1, 2)處的切線方程是.22 .已知f (x)為偶函數，當x<0時，f (x) =ln ( - x) +3x,則曲線y=f (x)在點(1, -3)處的切線方程是.23 .若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln (x+1)的切線， 則 b=.評卷人 得分三.解答題(共26小題)24 .已知函數 f(x) =aex - Inx - 1.(1)設x:2是f (x)的極值點，求a,并求f (x)的單調區間；(2)證明：當時，f (x) 20. e25 .已知函數 f (x) -aV+x-L .X e(1)求曲線y=f (x)在

7、點(0, -1)處的切線方程；(2)證明：當 al 時，f (x) +e20.26 .已知函數 f (x) =el - ax(1)若 a=l,證明：當 x20 時，f (x) 21；(2)若f (x)在(0, +8)只有一個零點，求a.27 .已知函數 f (x) Vx- Inx.(I )若 f (x)在 X=Xi， x2 (xiWx?)處導數相等，證明：f(Xi)+f (x2)>8-81n2；(II )若aW3-41n2,證明：對于任意k>0,直線y=kx+a與曲線y:f (x) 有唯一公共點.28 .設函數 f (x) =ax2 - (4a+l) x+4a+3e'.(I

8、 )若曲線y=f (x)在點(1, f (D)處的切線與x軸平行，求a；(II)若f (x)在x=2處取得極小值，求a的取值圍.29 .已知函數 f (x) -lx3 - a (x2+x+l).3(1)若"3,求f (x)的單調區間；(2)證明：f (x)只有一個零點.30 .設函數 f (x) =axJ - (3a+l ) x+3a+2e'.(I )若曲線y=f (x)在點(2, f (2)處的切線斜率為0,求a；(H )若f (x)在x=l處取得極小值，求a的取值圍.31 .已知函數 f (x) =1- x+alnx. x(1)討論f (x)的單調性；(2)若f (x)存

9、在兩個極值點X2,證明：二一<a-2. xrx232 .已知函數 f (x) = (2+x+ax)In (1+x) - 2x.(1)若 a=0,證明：當 - IVxVO 時，f (x) <0；當 x>0 時，f (x) >0； (2)若x=0是f (x)的極大值點，求a.33 .已知函數 f (x) =ax, g (x) =log;,x,其中 a>l.(I )求函數h (x) =f (x) -xlna的單調區間；(II )若曲線y=f (x)在點(xH f (xj)處的切線與曲線y=g (x)在點(x2, g(x2)處的切線平行，證明x：+g (x2) =-2Ln

10、lna.Ina1(III)證明當ae W時，存在直線1,使1是曲線y=f (x)的切線，也是 曲線y=g (x)的切線.34 .已知函數f (x) ux'+ax'bx+l (a>0, b£R)有極值，且導函數f' (x) 的極值點是f (x)的零點.(I)求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；(II )證明：b2>3a；(III)若f (x), f' (x)這兩個函數的所有極值之和不小于-工，數a的 2取值圍.35 .已知函數 f (x) =ex (ev - a) - a2x.(1)討論f (x)的單調性；(2)若f (x) 20,求a的取

11、值圍.36 .已知函數 f (x) =excosx - x.(1)求曲線y=f (x)在點(0, f (0)處的切線方程；(2)求函數f (x)在區間0,二上的最大值和最小值.237 .已知函數 f (x)=ax'-3 (a+1) x'+12x.(1)當a>0時，求f (x)的極小值；(II )當aWO時，討論方程f (x) =0實根的個數.38 .已知函數 f (x) =axJ - ax - xlnx,且 f (x) 20.(1)求 a；(2)證明：f (x)存在唯一的極大值點x。，且eVf (xo) <2-2.39 .已知函數 f(X)= (x 缶W) e-x

12、(xl).2(1)求f(X)的導函數；(2)求f (x)在區間，+8)上的取值圍.40 .已知函數 f (x) =lnx+ax2+ (2a+l) x.(1)討論f (x)的單調性；(2)當 a<0 時，證明 f (x) <-2-2.4a41 .已知函數 f (x) =aex+ (a - 2) e" - x.(1)討論f (x)的單調性；(2)若f (x)有兩個零點，求a的取值圍.42 .已知函數 f (x) =x - 1 - alnx.(1)若f (x) 20,求a的值；(2)設m為整數，且對于任意正整數n, (1+1) (1+&)(1+一)<m, 222

13、2n求m的最小值.43 .設a£Z,已知定義在R上的函數f (x) =2x'+3x：'-3x?-6x+a在區間(1,2)有一個零點xo, g (x)為f (x)的導函數.(I )求g(X)的單調區間；(II )設 mW 1, x0) U (x0, 2,函數 h(x)=g(x)(m-Xo)- f (m),求證：h (m) h (x0) <0；(III)求證：存在大于0的常數A,使得對于任意的正整數p, q,且上£1, qXo)u (x0, 2，滿足且一 Xo.q Aqq44 .設函數 f (x) = (1 -x2) e(1)討論f (x)的單調性；(2)

14、當xNO時，f (x) Wax+1,求a的取值圍.45 .已知函數 f (x) =x+2cosx, g (x) =ex (cosx - sinx+2x - 2),其中 e%2 . 71828是自然對數的底數.(I )求曲線y=f (x)在點(兀，f ( n )處的切線方程；(II )令h (x) =g (x) - a f (x) (a£R),討論h (x)的單調性并判斷 有無極值，有極值時求出極值.46 .設 a, b£R, |a|<l.已知函數 f(x)=x'-6x'-3a(a-4) x+b, g (x)=exf (x).(I )求f (x)的單調區

15、間；(II)已知函數y=g (x)和y二e"的圖象在公共點(x(), y0)處有相同的切線,(i)求證：f (x)在x=xo處的導數等于0；(ii)若關于X的不等式g (x) We，在區間xl, x°+l上恒成立，求b的 取值圍.47 .已知函數 f (x) =Xx3 - lax2, a£R, 32(1)當a=2時，求曲線尸f (x)在點(3, f (3)處的切線方程；(2)設函數 g (x) =f (x) + (x - a) cosx - sinx,討論 g (x)的單調性并 判斷有無極值，有極值時求出極值.48 .設函數 f (x) =lnx - x+1.(1

16、)討論f (x)的單調性；(2)證明當 x£ (1, +8)時，IV工二Inx(3)設 c>l,證明當 x£ (0, 1)時，1+ (c- 1) x>cx.49 .已知函數 f (x) =ax+b' (a>0, b>0, aWl, bWl). (1)設 a=2, b=.2求方程f (x) =2的根；若對于任意x£R,不等式f (2x) >mf (x) -6恒成立，數m的最大值； (2)若OVaVl, b>l,函數g (x);f (x) - 2有且只有1個零點，求ab 的值.,貞腳,頁腳2018年09月03日一中的高中數學

17、組卷參考答案與試題解析一.選擇題(共9小題)【分析】判斷函數的奇偶性，利用函數的定點的符號的特點分別進行判斷即 可.【解答】解：函數f -X)菱”f (x), (-X)2X2則函數f(X)為奇函數，圖象關于原點對稱，排除A,當 x=l 時，f (1) =e-2->0,排除 D.e當 Xf+ 8 時，f (x) f + 8,排除 C,故選：B.【點評】本題主要考查函數的圖象的識別和判斷，利用函數圖象的特點分別 進行排除是解決本題的關鍵.2.若函數f (x):ax'l圖象上點(1, f (1)處的切線平行于直線y=2x+l, 則 a=()A. - 1 B. 0 C. D. 14【分析

18、】求得函數f(X)的導數，可得切線的斜率，再由兩直線平行的條件: 斜率相等，解方程可得a的值.【解答】解：函數f (x) =ax2+l的導數為F (x) =2ax,可得點(1, f (1)處的切線斜率為2a,由點(1, f (1)處的切線平行于直線y=2x+l,可得2a=2,解得a=l, 故選：D.【點評】本題考查導數的運用：求切線的斜率，注意運用兩直線平行的條件 和方程思想，屬于基礎題.3 .設函數f(x) =x3+ (a - 1) x2+ax.若f (x)為奇函數，則曲線y:f (x) 在點(0, 0)處的切線方程為()A. y= - 2x B. y= - x C. y=2x D. y=x

19、【分析】利用函數的奇偶性求出a,求出函數的導數，求出切線的向量然后 求解切線方程.【解答】解：函數f (x) =x3+ (a - 1) x'+ax,若f (x)為奇函數， 可得 a=l,所以函數 f (x) =x：'+x,可得 f' (x) =3x2+1, 曲線廠f (x)在點(0, 0)處的切線的斜率為：1, 則曲線y=f (x)在點(0, 0)處的切線方程為：y=x.故選：D.【點評】本題考查函數的奇偶性以及函數的切線方程的求法，考查計算能力.4 .若x=-2是函數f (x) = (x?+ax-1) el的極值點，則f (x)的極小值 為()A. - 1 B. -2

20、e-3 C. 5e'3D. 1【分析】求出函數的導數，利用極值點，求出a,然后判斷函數的單調性， 求解函數的極小值即可.【解答】解：函數f (x) = (x2+ax- 1) e51-1,可得 f' (x) = (2x+a) ex-1+ (x2+ax - 1) e' 1, x=-2是函數f (x) = (x2+ax-l) e-的極值點， 可得：f' (-2) = ( -4+a) e-3+ (4-2a- 1) e-3=0,即-4+a+ (3-2a)=0.解得a=T.可得 f' (x) = (2x - 1) ex-+ (x2 - x - 1) e' 1

21、,=(x+x - 2) e"：,函數的極值點為：x= - 2, x=l,當xV-2或x>l時，f (x) >0函數是增函數,xE ( - 2, 1)時，函數 是減函數，x=l時，函數取得極小值：f (1) = (-1 - 1) 一-1.故選：A.【點評】本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的極值的求法, 考查計算能力.5.在數列a中，a產(一工)“，n£N，貝U lan ()2n->ooA.等于1B.等于0 C.等于1D.不存在 22【分析】根據極限的定義，求出liman： Hit(4)的值.【解答】解：數列顯中，a產(-工)", ne

22、N 2121則 liioan- Hit (-y)=。-故選：B.【點評】本題考查了極限的定義與應用問題，是基礎題.6.已知a為函數f(X)=x_12x的極小值點，則a=()A. -4 B. -2 C. 4 D. 2【分析】可求導數得到f' (x) =3x2-12,可通過判斷導數符號從而得出f(x)的極小值點，從而得出a的值.【解答】解：f' (x) =3x2- 12;xV-2 時，f (x) >0, -2VxV2 時，f (x) <0, x>2 時，f (x)>0；x=2是f (x)的極小值點；又a為f (x)的極小值點； /. a=2 .,貞腳故選：D

23、.【點評】考查函數極小值點的定義，以及根據導數符號判斷函數極值點的方 法及過程，要熟悉二次函數的圖象.7.若函數f(x)=x -sin2x+asinx在(- 8, +oo)單調遞增，則a的取 3值圍是()A. -1, 1 B. -1, X C. -1, | D. -1, -1【分析】求出f(X)的導數，由題意可得f' (x) 20恒成立，設t=cosx (一 IWtWl),即有 5 4t2+3at20,對 t 討論，分 t=0, OVtWl, - IWt <0,分離參數，運用函數的單調性可得最值，解不等式即可得到所求圍. 【解答】解：函數f(x) =x - isin2x+asin

24、x的導數為f' ( x ) =1 - 3 o-=-cos2x+acosx, 3由題意可得f' (x) 20恒成立，即為 1 - -cos2x+acosx0, 3即有至- &osx+acosx。， 3 3設 t=cosx (-lWtWl),即有 5 - 4t'+3ateo,當t=0時，不等式顯然成立；當 OVtWl 時，3aN4t-王， t由4t-反在(0, 1遞增，可得t=l時，取得最大值-1, t可得 3a2 - 1,即 aN - ；3當 一 iWtVO 時，3aW4t-5, t由4t-"在-1, 0)遞增，可得t=-1時，取得最小值1, t可得3a

25、Wl,即aW工.3綜上可得a的圍是-工，1.3 3另解：設 t=cosx (-iWtWl),即有 5 - 4t'+3at20,由題意可得5 - 4+3a20,且5-4-320,解得a的圍是-，1.3 3故選：c.【點評】本題考查導數的運用：求單調性，考查不等式恒成立問題的解法, 注意運用參數分離和換元法，考查函數的單調性的運用，屬于中檔題.8.若函數y=f (x)的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線 互相垂直，則稱y=f(X)具有T性質.下列函數中具有T性質的是()A. y=sinx B. y=lnx C. y=e' D. y=x?，【分析】若函數kf (x)的圖象

26、上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的 切線互相垂直，則函數y=f (x)的導函數上存在兩點，使這點的導函數值乘 積為-1,進而可得答案.【解答】解：函數尸f(X)的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處 的切線互相垂直，則函數尸f (x)的導函數上存在兩點，使這點的導函數值乘積為-1,當y=sinx時，y' =cosx,滿足條件；當尸lnx時，y' -§>0恒成立，不滿足條件；當尸e,時，y'=恒成立，不滿足條件；當y=(時，/ =3x2>0恒成立，不滿足條件； 故選：A.【點評】本題考查的知識點是利用導數研究曲線上某點切線方程，轉化思想， 難

27、度中檔.1 n V19.設直線L, b分別是函數f (x)='、 圖象上點巳處的切Inx,線，L與k垂直相交于點P,且L, b分別與V軸相交于點A, B,則APAB 的面積的取值圍是()A. (0, 1) B. (0, 2) C. (0, +8) d. (1, +8)【分析】設出點巴，P2的坐標，求出原分段函數的導函數，得到直線L與L 的斜率，由兩直線垂直求得P?的橫坐標的乘積為1,再分別寫出兩直線 的點斜式方程，求得A, B兩點的縱坐標，得到|AB|,聯立兩直線方程求得P 的橫坐標，然后代入三角形面積公式，利用基本不等式求得APAB的面積的 取值圍.【解答】解：設匕(xH yD, P

28、2 (x2, y2) (0<X1<l<x2),當 OVxVl 時，f' (x)=二，當 x>l 時，f' (x) J, XX.L的斜率k尸L的斜率上-， 1 X12 x21與l垂直,且X2與Xi>0, ki p k o=二一1，即 XX2=11 2 X1 x2直線 li： y= (x-x P -Inx 1» 必 y= (x-x 2)+lnx& X1x2取 x=0 分別得到 A (0, 1 - InxJ, B (0, - l+lnx2),AB = 1 - Inxi - ( - l+lnx2) 二 2 一 (lnxi+lnx2) =

29、2 - lnxix2 =2.聯立兩直線方程可得交點P的橫坐標為X二巴匹又+又2S：APAB=|AB . Ixp X2X2x222函數y=x+i>在(0, 1)上為減函數，且O<X|V1, X，:K+M>1+1=2,貝<i，X1xH1 X1.0<-<1.Xi+-1 X11PAB的面積的取值圍是(0, 1).故選：A.【點評】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用基 本不等式求函數的最值，考查了數學轉化思想方法，屬中檔題.二.填空題(共14小題)10 .曲線y= (ax+1) e"在點(0, 1)處的切線的斜率為-2,則a= - 3

30、.【分析】球心函數的導數，利用切線的斜率列出方程求解即可.【解答】解：曲線 y二(ax+1) e',可得 y ' =aex+ (ax+1) e1,曲線廠(ax+1) e*在點(0, 1)處的切線的斜率為-2,可得：a+l= - 2,解得 a=-3.故答案為：-3.【點評】本題考查函數的導數的應用切線的斜率的求法，考查轉化思想以及計算能力.11 .曲線y=21nx在點(1, 0)處的切線方程為y=2x - 2 .【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=l 的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.【解答】解：:yYlnx, 5 -

31、2 y 一一，X當 x=l 時，y' =2曲線y=21nx在點(1, 0)處的切線方程為y=2x - 2.故答案為：y=2x - 2.【點評】本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線 上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力.屬于基礎題.12 .曲線y=21n (x+1)在點(0, 0)處的切線方程為y=2x .【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=0 處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.【解答】解：.y=21n (x+1),當x=0時，寸=2,，曲線y:21n (x+1)在點(0, 0)處的切線方程為y=

32、2x.故答案為：y=2x.【點評】本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線 上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力.屬于基礎題.13 .已知函數f (x) =exlnx, f' (x)為f (x)的導函數，則f' (1)的 值為 e .【分析】根據導數的運算法則求出函數f (x)的導函數，再計算(1) 的值.【解答】解：函數f (x) =exlnx,則 f， (x) =e'lnx+1* ex；(1) =e* lnl+1* e=e.貞腳故答案為：e.【點評】本題考查了導數的運算公式與應用問題，是基礎題.14 .已知函數f (x) =2sinx+sin

33、2x,則f (x)的最小值是. 2 【分析】由題意可得T=2jt是f (x)的一個周期，問題轉化為f(X)在0, 2n )上的最小值，求導數計算極值和端點值，比較可得.【解答】解：由題意可得丁=2冗是f (x) =2sinx+sin2x的一個周期，故只需考慮f (x) =2sinx+sin2x在0, 2五)上的值域，先來求該函數在0, 2n )上的極值點，求導數可得 f ' (x) =2cosx+2cos2x=2cosx+2 (2cos'x-l) =2 (2cosx - 1) (cosx+1),令 f ' (x) =0 可解得 cosx-L或 cosx= 1,2可得此時

34、x二工，n或星L； 33y=2sinx+sin2x的最小值只能在點x=-, n或和邊界點x=0中取到， 計算可得 f ( 2L) f ( jt ) :0, f ( 衛)=-21, f (0) =0, 3232.函數的最小值為-刊3,2故答案為：金. 2【點評】本題考查三角函數恒等變換，涉及導數法求函數區間的最值，屬中 檔題.15.若函數f (x) =2x3-ax2+l (aGR)在(0, +8)有且只有一個零點，則 f (x)在-1, 1上的最大值與最小值的和為-3 .【分析】推導出 f' (x) =2x (3x-a), xe (0, +°°),當 aWO 時，f&

35、#39; (x) =2x (3x-a) >0, f (0) =1, f (x)在(0, +)上沒有零點；當 a>0 時, f' (x) =2x (3x - a) >0 的解為 x>, f (x)在(0,)上遞減，在(豆, 333+8)遞增，由f (x)只有一個零點，解得a=3,從而f (x)=2x3-3x，1, f'(x) =6x (x - 1), xG | - 1, 1 ,利用導數性質能求出 f (x)在-1, 1 上的最大值與最小值的和.【解答】解：函數f (x) =2x3-ax2+l (aGR)在(0, +)有且只有一個 零點，(x) =2x (3

36、x - a), x£ (0, +°°),當 aWO 時，f' (x) =2x (3x-a) >0,函數f (x)在(0, +°°)上單調遞增，f (0) =1, f (x)在(0, +8)上沒 有零點，舍去；當 a>0 時，f' (x) =2x (3x-a) >0 的解為 x>亙，一3Af (x)在(0,亙)上遞減，在(且，+8)遞增，33又f (x)只有一個零點，3Af (亙)=-+1-0,解得 a=3, 327f (x) =2x' - 3x"+l, f' (x) =6x (x

37、 - 1), xG - 1, 1,f' (x) >0 的解集為(- 1, 0),f (x)在(-1, 0)上遞增，在(0, 1)上遞減，f ( - 1) =-4, f (0) =1, f (1) =0,f (x) nin=f ( - 1) = - 4, f (x) 11nx=f (0) =1,Af (x)在-1, 1上的最大值與最小值的和為：f (x) rax+f (x) Bin= - 4+1= - 3.【點評】本題考查函數的單調性、最值，導數的運算及其應用，同時考查邏 輯思維能力和綜合應用能力，是中檔題.16.若曲線尸的切線1與直線lx平行，則1的方程為3x x-14- 4y+

38、5=0 .【分析】設切點為(01, n),求得尸x+，Q>l)的導數，可得切線的斜率, X-1由兩直線平行的條件可得m, n,由點斜式方程可得切線的方程.【解答】解：設切點為(m, n),可得 m+Ln,m-1尸肝7Ql)的導數為y' =1-x-1(x-l)2可得由切線1與直線廠普工平行,1- 一二，解得 m=3, 加-1產4即有切點為(3,工)，2可得切線的方程為y-工金(x-3),2 4即為 3x - 4y+5=0.故答案為：3x-4y+5=0.【點評】本題考查導數的運用：求切線方程，注意設出切點和正確求導，考 查運算能力，屬于基礎題.17 .已知a£R,設函數f

39、(x) =ax - Inx的圖象在點(1, f (1)處的切線 為1,則1在y軸上的截距為1 .【分析】求出函數的導數，然后求解切線斜率，求出切點坐標，然后求解切 線方程，推出1在y軸上的截距.【解答】解：函數f (x)=ax-Inx,可得(x) =a-l,切線的斜率為： xk=f' (1) =a- 1,切點坐標(I, a),切線方程1為：y-a= (a-l) (x-l),1在y軸上的截距為：a+ (a - 1) ( - 1) =1.故答案為：1.【點評】本題考查曲線的切線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力.18 .曲線y=x'+L在點(1, 2)處的切線方程為x-y+l=0

40、 . x【分析】求出函數的導數，求出切線的斜率，利用點斜式求解切線方程即可.【解答】解：曲線尸X2+L,可得y，=2X -士，xx2切線的斜率為：k=2- 1=1.切線方程為：y - 2=x - 1,即：x - y+l=0.故答案為：x - y+l=0.【點評】本題考查切線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力.19 .已知函數f (x) =x - 2x+ex ,其中e是自然對數的底數.若f (a xe- 1) +f (2a?) W0.則實數a的取值圍是-1,工.【分析】求出f(X)的導數，由基本不等式和二次函數的性質，可得f(X),貞腳在R上遞增；再由奇偶性的定義，可得f (x)為奇函數，原不

41、等式即為2a2運用二次不等式的解法即可得到所求圍.【解答】解：函數f (x) =x，2x+e'-2的導數為: Xf' (x) =3x2- 2+ex+-l-> - 2+2 ex,i-0, ex V ex可得f (x)在R上遞增；又 f (-x)+f (x) = (-x) '+2x+e,- e"+x'- 2x+e" -L=o, x可得f (x)為奇函數,則 f (a- 1) +f (2a) WO,即有 f (2a ) W f (a- 1)由 f (一 (a-l)=-f(aT),f (2a2) Wf (1 -a),解得 - IWaWL,【點評

42、】本題考查函數的單調性和奇偶性的判斷和應用，注意運用導數和定 義法，考查轉化思想的運用和二次不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔 題.20 .已知函數 f (x) = (2x+l) ex, f' (x)為 f (x)的導函數，則 f' (0) 的值為3 .【分析】先求導，再帶值計算.【解答】解：Vf (x) = (2x+l) ex,.二f' (x) =2e'+ (2x+l) ex," (0) =2e°+ (2X0+1) e°=2+l=3.故答案為：3.【點評】本題考查了導數的運算法則，屬于基礎題.21 .已知f(x)為偶函數，當x&

43、lt;0時，f (x)二e-c-x,則曲線y=f (x) 在點(1, 2)處的切線方程是y=2x .【分析】由已知函數的奇偶性結合xWO時的解析式求出x>0時的解析式， 求出導函數，得到f' (1),然后代入直線方程的點斜式得答案.【解答】解：已知f(x)為偶函數，當xWO時，f(X)=e-i-x,設 x>0,則-xVO,f (x) =f ( - x) =ex '+x,則 f' (x) =ex-1+l,fz (1) =e°+l=2.，曲線尸f (x)在點(1, 2)處的切線方程是y-2=2 (x- 1).即 y=2x.故答案為：y=2x.【點評】本

44、題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了函數解 析式的求解及常用方法，是中檔題.22 .已知f(x)為偶函數，當xVO時，f (x) =ln (-x) +3x,則曲線y:f (x)在點(1, -3)處的切線方程是2x+y+l=0 .【分析】由偶函數的定義，可得f(-x)=f(x),即有x>0時，f (x) =lnx -3x,求出導數，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程.【解答】解：f(X)為偶函數，可得f (-X)=f (x),當 x<0 時，f (x) =ln ( - x) +3x,即有x>0 時，f (x) =lnx - 3x, f' (x) =

45、- 3, x可得 f (1) =lnl -3=-3, f' (1) =1 -3=-2,則曲線y=f (x)在點(1, -3)處的切線方程為y- ( -3) =-2 (x-1), 即為 2x+y+l=0.故答案為：2x+y+l=0.【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程，同時考查函數的奇偶性的定 義和運用，考查運算能力，屬于中檔題.23 .若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln (x+1)的切線， 則 b= 1 - ln2 .【分析】先設切點，然后利用切點來尋找切線斜率的聯系，以及對應的函數 值，綜合聯立求解即可頁腳【解答】解：設y=kx+b與y=lnx+2和y

46、=ln(x+l)的切點分別為(x kx1+b)、 (x2, kx2+b)；由導數的幾何意義可得k一二,得x尸X2+1 X £ X2+l再由切點也在各自的曲線上，可得kx1+b=lnx1 + 2kx24-b=ln (x2+l)k=2聯立上述式子解得1 町而 ；_ 1 X2"T從而 kxj+b=lnxi+2 得出 b=l - ln2.【點評】本題考查了導數的幾何意義，體現了方程思想，對學生綜合計算能 力有一定要求，中檔題三.解答題(共26小題)24.已知函數 f (x) =aex - Inx - 1.(1)設x=2是f (x)的極值點，求a,并求f(X)的單調區間；(2)證明：

47、當時，f (x) 20.e【分析】(1)推導出x>0, f' (x) -aex -,由x=2是f (x)的極值點， x解得 ai,從而 f (x)ex - Inx - 1,進而 f' (x) 一,由2e22e22e2 x此能求出f (x)的單調區間.義如義(2)當時，f(x)N匚一 Inx 1,設 g(x)-Inx - 1,則丁 缶)二二eeee-工，由此利用導數性質能證明當a2工時，f (x) 20.xe【解答】解：(1)(x) =aex-lnx- 1.，x>0, fz (x) =aeA "xVx=2是f (x)的極值點，f' (2) =aeL

48、- -0,解得 a-,22e2當 0VxV2 時，f (x) <0,當 x>2 時，f' (x) >0, ：.f (x)在(0, 2)單調遞減，在(2, +8)單調遞增.,貞腳(2)證明：當 時，f (x) Nal-lnx-l, ee設 g (x) - Inx - 1,貝(x>-, ee x當 OVxVl 時，g' (x) <0,當 x>l 時，g' (x) >0,.，.x=l是g (x)的最小值點，故當 x>0 時，g (x)2g (1) =0,.當時，f (x) 20.【點評】本題考查函數的單調性、導數的運算及其應用，

49、同時考查邏輯思維 能力和綜合應用能力，是中檔題.25.已知函數f (x)-史也旦.(1)求曲線y=f (x)在點(0, - 1)處的切線方程;(2)證明：當 al 時，f (x) +e0.r公訴】rn n/ r、(2ax+l)巳-(a-,+x-l)巳*由f' (0)=2,可得切線斜率k=2,即可得到切線方程.(2)可得p Q)二(2ax+l)-(ax2+x-l) ex _ (ax+1) (x-2)(差2.可得f (x)在(- 8,)，(2, +8)遞減，在(-，2)遞增，注意到al時，函數 g (x) =ax2+x - 1 在(2, +8)單調遞增，且 g (2) =4a+l>0

50、只需(x),二_&aN - e,即可.TT.nv J(2ax+l)巳"-(ax'+x-l)巳' _ Qx+l) 6-2)(小產：.ff (0) =2,即曲線尸f (x)在點(0, -1)處的切線斜率k=2,曲線y:f (x)在點(0, -1)處的切線方程方程為y - ( -1) =2x.即2x - y -1=0為所求.(2)證明：函數f (x)的定義域為：R,(2ax+l)巳，-(3又2+重-1)巳a _ Qx+1) 6-2)(多2.貞腳令 f ' (x) =0,可得X廣工<0，當 x£ (-OD,上)時，f' (X)<0

51、, xf (-X, 2)時，(X)>0, xe (2, aa+ 8)時，1(x) <0.：.f(X)在(- OD,)，(2, +oo)遞減，在(一工，2)遞增， aa注意到al時，函數g (x) =ax2+x - 1在(2,)單調遞增，且g (2)=4a+l>0Val, /Ae(0, 1,則二一乒力-e,aa1_f (x), =_ea 2 - e,mnn c當 al 時，f (x) +e20.【點評】本題考查了導數的幾何意義，及利用導數求單調性、最值，考查了數形結合思想，屬于中檔題.26.已知函數 f (x) =ex - ax(1)若a=l,證明：當x20時，f (x) 21

52、；(2)若f (x)在(0, +8)只有一個零點，求a.【分析】(1)通過兩次求導，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可證明，(2)方法一、分離參數可得在(0, +8)只有一個根，即函數y=a與xG (x) 美的圖象在(0, +oo)只有一個交點.結合圖象即可求得a. x方法二、：當 aWO 時，f (x);e=ax2>0, f (x)在(0, +°°)沒有零點.當a WO時，設函數h(x)=l - axe f (x)在(0, +°° )只有一個零點=h (x)在(0, +8)只有一個零點.利用 h' (x) =x (x-2) e-x,可

53、得 h (x)在(0, 2)遞減，在(2, +)遞增，結合函數h (x)圖象即可求得a.【解答】證明：(1)當a=l時，函數f (x) =ex-x2.則 f' (x) =ex - 2x,令 g (x) =ex - 2x,則 g' (x) =ex - 2,令 gz (x) =0,得 x=ln2.當 x£ (0, ln2)時，g (x) <0,當 x£ (ln2,)時，g' (x) >0,Ag (x) Ng (ln2) =eln2- 2- ln2=2 - 21n2>0,：.f (x)在0, +8)單調遞增，；.f (x) 2f (0)

54、=1,解：(2)方法一、，f (x)在(0, +8)只有一個零點u>方程ax'O在(0, +°°)只有一個根，Qa=在(0, +8)只有一個根， x即函數y=a與G (x)二號的圖象在(0, +°°)只有一個交點.當 x£ (0, 2)時，G (x) <0,當 £ (2, +8)時，Qf (x) >0,AG (x)在(0, 2)遞減，在(2, +8)遞增，當 f 0 時，G (x) f+ 8,當 f+ 8 時，G (x) f+ 8,2Af (x)在(0, +8)只有一個零點時，a=G(2)三.4方法二：當 a

55、WO 時，f (x) =ex-ax2>0, f (x)在(0, +)沒有零點.當a>0時，設函數h (x) =1 - axW f (x)在(0, +°°)只有一個零點 Qh (x)在(0, +8)只有一個零點.h' (X)=x (x-2) e-x,當 x£ (0, 2)時，h (x) <0,當 x£ (2, + 8)時，h/ (x) >0,Ah (x)在(0, 2)遞減，在(2, +8)遞增，廠.ha%1n=h(2)二 1 聾，(x e20).2當h (2) <0時，即a>旦-,由于h (0) =1,當x>

56、;0時，ex>x可 4得 h (4a) =1®父 1- 16a二h (x)在(0,)e4a (/a)2(2a)« a有2個零點2當h (2) >0時，即a<4-» h (x)在(0, +8)沒有零點，4 2當h (2) =0時，即a=J, h (x)在(0, +)只有一個零點，42綜上，f (x)在(0, +8)只有一個零點時，a44【點評】本題考查了利用導數探究函數單調性，以及函數零點問題，考查了轉化思想、數形結合思想，屬于中檔題.27.已知函數f (x) -表一 Inx.(I )若 f (x)在 x=xH x2 (xiWxJ 處導數相等，證明

57、：f(Xi)+f (x2) >8-81n2；(H )若aW3-41n2,證明：對于任意k>0,直線y=kx+a與曲線y二f (x)有唯一公共點.【分析】(I )推導出 x>0, fz (x) -=-工，由 f(X)在 X-Xj, X2 (Xj 2G xWx,)處導數相等，得到唬丁士為由基本不等式得：麻心訴+花與 Wx i x 之，從而 X1X2 > 256 ,由題意得 f ( Xi ) +f ( x& );日-Inx +忘 Tnx廣引2一 "(x-),設 g (x) "-Vx-lnx » 則 / Q)二今(石-4)，利用導數性質能證明f (xi +f (x2) >8-81n2.(II )令 m=e' ' ", n= (JaLLL) 2+l,貝)J f (m) - km - a> I a +k - k - a20, k推導出存在x°£ (m, n),使f (x0) =kx0+a,對于任意的a£R及k£ (0, +8 ),直線 y=kx+a 與曲線 y=f (x)有公共點，由 f (x)=kx+a,得 k-lny-a ,X設 h (x) JxThkf,則 h' (x) 1 2 l+a