1、數(shù)學漫步：直覺下的微分和積分姓名：指導:日期：積分學和微分學是一枚硬幣的兩面。然而，積分似乎比微分更復雜，因為它涉 及到引入數(shù)學符號和抽象概念。然而，這些概念本身是非常直觀的,并且允許將 復雜的概念轉換為簡單的代數(shù)操作。這篇文章試圖提供積分微積分的一個直觀的 觀點，并詳細說明積分的用途。經典的積分其實并不是計算曲線下的面積。在中學，我們都學會了如何計算各種 規(guī)則和不規(guī)則多邊形的面積。我們還學習了求圓和橢圓面積的公式。但是如何計 算其他曲線的面積呢?如何求曲線函數(shù)下的面積，比如下面這個？第8頁共8頁工比沮子通信和數(shù)學領域你會發(fā)現(xiàn)，到目前為止你所學到的方法都無法做到這一點。這就是強大的積分學 發(fā)揮

2、作用的地方。然而，事實證明,計算這個區(qū)域并不像看起來那么困難，而且 這個過程是基于更熟悉的方法。比如矩那么，我們如何求面積呢?如果我們把這個區(qū)域劃分成更標準的形狀形。我們知道如何求一個矩形的面積它就是長X寬。我們把這個區(qū)域分成 等寬的矩形，正好在曲線下面。這看起來像這是我們對4個矩形的估計。我們可以計算每個矩形的面積，因為我們知道寬度 （端點a和端點b之間的距離除以4）和高度（在右端點處的函數(shù)值）?，F(xiàn)在，這顯 然不是一個很好的估計-看看所有的空間。但是如果我們用10個矩形而不是4 個，會發(fā)生什么呢?接著1000個矩形,100000個矩形，如果我們讓每個矩形的 寬度都趨近于0而矩形的數(shù)量也越來越

3、趨近于無窮，會發(fā)生什么呢？然后我們就得到了確切的面積。這很直觀:隨看矩形的寬度變得越來越小，單個 矩形與曲線的擬合效果也越來越好;它們的面積和收斂于曲線和x軸之間的真實 面積。這里有一個很好的動畫來說明這一點：通過對其進行數(shù)學描述，可以使這一觀點更加嚴謹:i=l力豆泰艱子遹信和教學領域這個公式一開始看起來很嚇人，但我們所做的只是把它寫成數(shù)學符號。讓我們從 里到外看一遍，在求和里面，我們只是通過將函數(shù)在右端點的值乘以矩形的寬度 來計算矩形的面積，就像前面描述的那樣。這個寬度是由端點的差除以分割的次 數(shù)給出的（這確保了每個寬度都是相等的）。當矩形的數(shù)量趨于無窮時，可以通過 對所有矩形的面積求和來計

4、算實際的積分。然而，這只描述了一種積分。結果是，您不需要確保矩形具有相同的寬度，也不 需要它們具有與右端點相等的高度。這個公式的更一般的表示如下（這是你更可能看到的），使用標準的微積分符號:bf(x)dx = S = limnooi=l力。=g 瑞i*e）/一i豆弟電子通信和教學領域這就是所謂的黎曼和，以復變分析的創(chuàng)始人之一 ,Bernhard Riemann命名。現(xiàn)在，這看起來更可怕，但我們只是增加了一些細節(jié)。這個公式很簡單地說明了 , 你可以計算出一個函數(shù)和x軸之間的面積用矩形的和表示。每個矩形的面積由任 意寬度Ax給出，高度由x函數(shù)的值給出,其中x是根據(jù)一些標準（左端點、中 點、最大值等

5、）選擇的。上面的方程看起來很復雜，但它所做的只是用數(shù)學來量化前面所述的內容。隨著 矩形的寬度變得無窮?。ㄔ絹碓浇咏?）,我們對面積的近似使用矩形變得越來越 精確。通過寬度不必一致，矩形的高度可以通過不同的標準來確定，然而，最后 的積分總是相同的。積分的符號J只是一個拉長的S （代表和）,我們正在計算函數(shù)f （ x ）在2個點之 間的積分：a和b。dx只是表示每個分區(qū)寬度的一個無窮小值（這相當于積分中 的Ax,因為Ax趨向于0）在兩點之間計算的積分稱為定積分。定積分可以讓我們實際計算出一個函數(shù)和x 軸（或者y軸，甚至是另一個函數(shù)之間的面積，但這要稍微復雜一些X這個積分是如何計算的？幸運的是，你不

6、必經歷一個漫長的過程來求很多很多矩形。微積分基本定理的第一部分指出：f f(x)dx = F(q) F(6)J a工委電子遹信和教學領域F(x)是f(x)不定積分的標準符號。這意味著F(x)的導數(shù)等于f(x)也就是F (x)= f(x)不定積分就是給定一個函數(shù)的導數(shù)，確定原始函數(shù)的過程:如果f (x) = 2x , 我們求導的原始函數(shù)是什么?結果是一個不定積分返回一個函數(shù);定積分返回一 個值。這是積分的第二個目的:它是導數(shù)的逆函數(shù)。這在微積分基本定理的第二 部分中得到了數(shù)學上的證明,fxdx =于ddx落圣電子遹信和教學領域 上面的積分是不定積分，因為它沒有端點。這個積分要做的就是求一個函數(shù)的

7、不 定積分。為了求值，你必須熟悉微積分和導致的規(guī)則。有各種各樣的規(guī)則可以用 來解決這個問題，它們源于導數(shù)的計算方法。以下是一些基本的規(guī)則。如果你對這個圖表感到困惑，或者不明白這些規(guī)則從何 而來，我建議你進一步閱讀導數(shù)(它和積分一樣直觀)。1；(c) = 0 dxL.0 dx = 0 + c2.d-x = 1 dxZdx = x + c3.dC X = c dx*c fx + c7.dex - dx7.*ec dx = ex + c&dx&1 emx dx = -+ cnt9.d-r-ac = ax In a dx9.ax dx = + cIn amd .1-7- Jnx =- axxiaJ*

8、dx = hi x + c Xitlogtlx=ilogfleii12d .sin x = cosx dxIX.sinxdx= -cosx +c13.d-7- cosx = -sinx dxIXcosx dx = sinx + c14=tanx = sec2x dx14.seczx dx = tanx +c15.dzcotx = cosec4 x dx15.cosec2 x dx = - cotx + c16d-7- secx= secx tunx dx16.sec x ia x = secx +c17.d cosecx = cosecx .cotx dx17acusecxcutx = cosec.v + ciad t1sin x =，=二工心l 一 X21&J7 1 q dx = sin1 x + c*H英免為子通信和紋弊力1域為了求出函數(shù)和X軸之間的面積，首先對函數(shù)求不定積分，然后在兩個端點取值 (記住，不定積分仍然是一個函數(shù))最后,用基本定理從第二個結果中減去第一個 結果。到目前為止，這些都是非常抽象和技術性的，所以讓我們在一個例子中實際應用 這些概念。我們要求函數(shù)f(x)=3x ,x在端點0到6之間的面積。第一步是求這 個函數(shù)的不定積分。我們得到