1、第第1 1章章 單自由度系統的自由振動單自由度系統的自由振動機械與結構振動機械與結構振動Mechanical and Structural VibrationMechanical and Structural Vibration機械與結構振動機械與結構振動Mechanical and Structural Vibration機械與結構振動機械與結構振動 振動系統一般可分為振動系統一般可分為連續系統和離散系統連續系統和離散系統。 具有連續分布的質量與彈性的系統，稱為具有連續分布的質量與彈性的系統，稱為連續彈性連續彈性體系統體系統。彈性體是具有無限多自由度的系統，它的振。彈性體是具有無限多自由度的

2、系統，它的振動規律要用時間和空間坐標的函數來描述，其運動方動規律要用時間和空間坐標的函數來描述，其運動方程是偏微分方程。程是偏微分方程。 在一般情況下，要對連續系統進行簡化，用適當的在一般情況下，要對連續系統進行簡化，用適當的準則將分布參數準則將分布參數“凝縮凝縮”成有限個離散的參數，這樣成有限個離散的參數，這樣便得到離散系統。所建立的振動方程是常微分方程。便得到離散系統。所建立的振動方程是常微分方程。由于所具有的自由度數目上的區別，離散系統又稱為由于所具有的自由度數目上的區別，離散系統又稱為多自由度系統。多自由度系統。 機械與結構振動機械與結構振動Mechanical and Structu

3、ral Vibration機械與結構振動機械與結構振動Mechanical and Structural Vibration)sin(0eqeqtFkm 0 kyym 機械與結構振動機械與結構振動Mechanical and Structural Vibration 線性振動：相應的系統稱為線性系統。線性振動：相應的系統稱為線性系統。 線性振動的一個重要特性是線性疊加原理成立。線性振動的一個重要特性是線性疊加原理成立。 非線性振動：相應的系統稱為非線性系統。非線性振動：相應的系統稱為非線性系統。 非線性振動的疊加原理不成立。非線性振動的疊加原理不成立。 機械與結構振動機械與結構振動Mechan

4、ical and Structural Vibration機械與結構振動機械與結構振動Mechanical and Structural Vibration目錄Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration單自由度系統單自由度系統的的典型的單自由度系統典型的單自由度系統: :彈簧彈簧- -質量系統質量系統 梁上固定一臺電動機，當電機沿鉛直梁上固定一臺電動機，當電機沿鉛直方向振動時，可視為集中質量。如不方向振動時，可視為集中質量。如不計梁的質量，則相當于一根無重彈簧，計梁的質量，則相當于一根無重彈簧，

5、系統簡化成彈簧系統簡化成彈簧- -質量系統質量系統 Mechanical and Structural Vibration1.1.1 自由振動方程自由振動方程)(ddst22xkmgtxm當物塊偏離平衡位置為當物塊偏離平衡位置為x距離時，物塊的距離時，物塊的運動微分方程為運動微分方程為 0dd222xptxn其中mkpn 取物塊的靜平衡位置為坐標原點取物塊的靜平衡位置為坐標原點O，x軸軸順彈簧變形方向鉛直向下為正。當物塊順彈簧變形方向鉛直向下為正。當物塊在靜平衡位置時，由平衡條件，得到在靜平衡位置時，由平衡條件，得到stkmg 無阻尼自由振動微分方程無阻尼自由振動微分方程 彈簧的靜變形彈簧的靜

6、變形固有圓頻率固有圓頻率Mechanical and Structural Vibration其通解其通解為：為：tpCtpCxnnsincos2101xC tppvtpxxnnnsincos00npvC02其中其中C1和和C2為積分常數，由物塊運動的起始條件確定。設為積分常數，由物塊運動的起始條件確定。設t=0時，時， 可解可解00vvxx，1.1.1 自由振動方程自由振動方程Mechanical and Structural Vibration)sin( tpAxn)(arctg)(002020vxppvxAnn兩種形式描述的物兩種形式描述的物塊振動，稱為無阻塊振動，稱為無阻尼自由振動，簡

7、稱尼自由振動，簡稱自由振動。自由振動。 無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動簡諧振動 初相位角 振 幅1.1.1 自由振動方程自由振動方程Mechanical and Structural Vibration1.1.2 振幅、初相位和頻率振幅、初相位和頻率系統振動的周期系統振動的周期kmpTn22 系統振動的頻率系統振動的頻率mkpTfn221 系統振動的圓頻率為系統振動的圓頻率為fpn2 圓頻率圓頻率pn 是物塊在自由振動中每是物塊在自由振動中每2 秒內振動的次數。秒內振動的次數。f、 pn只與振動系統的彈簧常量只與振動系統的彈簧常

8、量k和物塊的質量和物塊的質量 m 有關，有關，而與運動的初始條件無關。因此，通常將頻率而與運動的初始條件無關。因此，通常將頻率f 稱為稱為固有頻率，圓頻率固有頻率，圓頻率pn稱為固有圓頻率。稱為固有圓頻率。 Mechanical and Structural Vibration用彈簧靜變形量用彈簧靜變形量 st表示固有圓頻率的計算公式表示固有圓頻率的計算公式 物塊靜平衡位置時物塊靜平衡位置時stkmg mkpn 固有圓頻率固有圓頻率stgpn stmgk 1.1.2 振幅、初相位和頻率振幅、初相位和頻率Mechanical and Structural Vibration1.1.3 等效剛度系

9、數等效剛度系數0ddeq22eqqktqm0dd22kxtxm加加的的力力或或力力矩矩。需需要要在在這這一一坐坐標標方方向向施施位位移移，廣廣義義坐坐標標方方向向產產生生單單位位等等效效剛剛度度：使使系系統統在在eqk向向施施加加的的力力或或力力矩矩。度度，需需要要在在這這一一坐坐標標方方加加速速廣廣義義坐坐標標方方向向產產生生單單位位等等效效質質量量：使使系系統統在在eqmMechanical and Structural Vibration例例 在圖中，已知物塊的質量為在圖中，已知物塊的質量為m，彈簧的彈簧剛度系數分別為，彈簧的彈簧剛度系數分別為k1、k2，分別求并聯彈簧與串聯彈簧直線振動

10、系統的固有頻率。，分別求并聯彈簧與串聯彈簧直線振動系統的固有頻率。 解：（解：（1）并聯情況。彈簧并聯的特征是：）并聯情況。彈簧并聯的特征是：二彈簧變形相等二彈簧變形相等。 振動過程中，物塊始終作平行移動。處振動過程中，物塊始終作平行移動。處于平衡位置時，兩根彈簧的靜變形都是于平衡位置時，兩根彈簧的靜變形都是 st，而彈性力分別是，而彈性力分別是 st11kF st22kF 系統平衡方程是系統平衡方程是0 xFst2121)(kkFFmg1.1.3 等效剛度系數等效剛度系數Mechanical and Structural Vibration如果用一根彈簧剛度系數為如果用一根彈簧剛度系數為k的

11、彈簧來代替原來的兩根彈簧，的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產生的靜變形相等，則使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產生的靜變形相等，則 stkmg 21kkkst2121)(kkFFmgk稱為稱為并聯彈簧的等效并聯彈簧的等效剛度系數。剛度系數。并聯后的等效彈簧剛并聯后的等效彈簧剛度系數是各并聯彈簧度系數是各并聯彈簧剛度系數的算術和。剛度系數的算術和。系統的固有頻率系統的固有頻率mkkmkf2121211.1.3 等效剛度系數等效剛度系數Mechanical and Structural Vibration（2）串聯情況。串聯彈簧的特征是：）串聯情況。串聯彈簧的特征是：二

12、二彈簧受力相等彈簧受力相等。 當物塊在靜平衡位置時，它的靜位移st等于每根彈簧的靜變形之和，即 st = 1st + 2st 由于每根彈簧所受的拉力都等于由于每根彈簧所受的拉力都等于重力重力mg，故它們的靜變形分別為，故它們的靜變形分別為1st1kmg2st2kmg如果用一根彈簧剛度系數為如果用一根彈簧剛度系數為 k 的彈的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于的靜變形等于kmgst1.1.3 等效剛度系數等效剛度系數Mechanical and Structural Vibration如果用一根彈簧剛度系數為如果用一根彈簧剛度系數為k 的彈簧來代替原來的的

13、彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于kmgst21111kkkkk kkk1212k稱為串聯彈簧的等效剛度系數稱為串聯彈簧的等效剛度系數1st1kmg2st2kmg串聯后的彈簧剛度系數的倒數等于串聯后的彈簧剛度系數的倒數等于各串聯彈簧剛度系數倒數的算術和各串聯彈簧剛度系數倒數的算術和)(21212121kkmkkmkf1.1.3 等效剛度系數等效剛度系數Mechanical and Structural Vibration例例 質量為質量為m的物塊懸掛如圖所示。設桿的物塊懸掛如圖所示。設桿AB的質量不計，兩彈的質量不計，兩彈簧的彈簧剛度系數分別為簧的彈簧剛度

14、系數分別為k1和和k2,又又AC=a，AB=b，求物塊的自，求物塊的自由振動頻率。由振動頻率。 解解：將各彈簧的剛度系數按：將各彈簧的剛度系數按靜力等效的原則，折算到質靜力等效的原則，折算到質量所在處。量所在處。 先將剛度系數先將剛度系數k2換算至質換算至質量量m所在處所在處C的等效剛度系的等效剛度系數數k 。C1.1.3 等效剛度系數等效剛度系數Mechanical and Structural Vibration先將剛度系數先將剛度系數k2換算至質量換算至質量m所在處所在處C的等效剛度系數的等效剛度系數k 。C設在設在C處作用一力處作用一力F，按靜力平衡的，按靜力平衡的關系，作用在關系，作

15、用在B處的力為處的力為bFa此力使此力使B B 彈簧彈簧 k2 產生產生 變形，變形，222bkFabac而此變形使而此變形使C點發生的變形為點發生的變形為 得到作用在得到作用在C處而與處而與k2彈簧等效的剛度系數彈簧等效的剛度系數 222abkFkc1.1.3 等效剛度系數等效剛度系數Mechanical and Structural VibrationC222abkFkc物塊的自由振動頻率為物塊的自由振動頻率為)(221221kbkamkkbmkpn 與彈簧k1串聯221222122212221kbkabkkabkkabkkk得系統的等效剛度系數得系統的等效剛度系數1.1.3 等效剛度系數

16、等效剛度系數Mechanical and Structural Vibration例例 一個質量為一個質量為m的物塊從的物塊從 h 的高的高處自由落下，與一根抗彎剛度為處自由落下，與一根抗彎剛度為EI、長為的簡支梁作塑性碰撞，不計梁長為的簡支梁作塑性碰撞，不計梁的質量，求該系統自由振動的頻率。的質量，求該系統自由振動的頻率。 st21gf 1.1.3 等效剛度系數等效剛度系數解解：當梁的質量可以略去不計時，梁可以用一根彈簧：當梁的質量可以略去不計時，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個系統簡化成彈簧來代替，于是這個系統簡化成彈簧質量系統。如果質量系統。如果知道系統的靜變形知道系統的靜變形 則求出系

17、統的固有頻率則求出系統的固有頻率 stMechanical and Structural Vibration由材料力學可知，簡支梁受集由材料力學可知，簡支梁受集中載荷作用，其中點靜撓度為中載荷作用，其中點靜撓度為EImgl483st求出系統的固有頻率為求出系統的固有頻率為34821mlEIf 中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧剛度系數為中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧剛度系數為348lEIk 1.1.3 等效剛度系數等效剛度系數Mechanical and Structural Vibration1.1.4 扭轉振動扭轉振動內燃機的曲軸、輪船的傳動軸等，在運內燃機的曲軸、輪船的傳動軸等，在運轉中

18、常常產生扭轉振動，簡稱扭振。轉中常常產生扭轉振動，簡稱扭振。 扭振系統稱為扭振系統稱為扭擺扭擺。OA 為一鉛直圓軸，圓盤對其轉動慣量為為一鉛直圓軸，圓盤對其轉動慣量為IO。在研究扭擺的運動規律時，假定在研究扭擺的運動規律時，假定OA的質量略的質量略去不計，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑去不計，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑線和該線的靜止位置之間的夾角線和該線的靜止位置之間的夾角 來決定，來決定，稱稱扭角扭角。圓軸的抗扭剛度系數為圓軸的抗扭剛度系數為kn，表示使，表示使圓盤產生單位扭角所需的力矩。圓盤產生單位扭角所需的力矩。Mechanical and Structural Vibration根

19、據剛體轉動微分方程建立該系統的運動微分方程根據剛體轉動微分方程建立該系統的運動微分方程nOktI22dd扭振的運動規律扭振的運動規律tpptpnnnsincos00對于單自由度振動系統來說，盡管前述直線振動和對于單自由度振動系統來說，盡管前述直線振動和當前扭振的結構形式和振動形式均不一樣，但其振當前扭振的結構形式和振動形式均不一樣，但其振動規律、特征是完全相同的。動規律、特征是完全相同的。 0dd222nptOnnIkp 固有圓頻率固有圓頻率1.1.4 扭轉振動扭轉振動Mechanical and Structural Vibration圖圖 (a)所示為扭振系統兩個軸并聯的情況；圖所示為扭振

20、系統兩個軸并聯的情況；圖(b)為兩為兩軸串聯的情況；圖軸串聯的情況；圖(c)則為進一步簡化的等效系統。則為進一步簡化的等效系統。2121nnnnnkkkkk并聯軸系的等效剛度系數并聯軸系的等效剛度系數21nnnkkk串聯軸系的等效剛度系數串聯軸系的等效剛度系數1.1.4 扭轉振動扭轉振動Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration計算固有頻率的能量法的理論基礎是機械能守恒定律。計算固有頻率的能量法的理論基礎是機械能守恒定律。 無阻尼單自由振動系統中，勢能與動能之和保持不變。無阻尼單自由振動系統中，

21、勢能與動能之和保持不變。VT常量式中式中T是動能，是動能，V是勢能。如果取平衡是勢能。如果取平衡位置位置O為勢能的零點，系統在任一位置為勢能的零點，系統在任一位置2221dd21kxVtxmTMechanical and Structural Vibration當系統在平衡位置時，當系統在平衡位置時，x=0,速度為最大，勢能為零，速度為最大，勢能為零，動能具有最大值動能具有最大值Tmax；當系統在最大偏離位置時，速度為零，動能為零，而當系統在最大偏離位置時，速度為零，動能為零，而勢能具有最大值勢能具有最大值Vmax。由于系統的機械能守恒由于系統的機械能守恒 maxmaxVT用能量法計算固有頻率

22、的公式用能量法計算固有頻率的公式 Mechanical and Structural Vibration例例 船舶振動記錄儀的原理圖如圖所示。重物船舶振動記錄儀的原理圖如圖所示。重物P連同桿連同桿BD對于對于支點支點B的轉動慣量為的轉動慣量為IE ,求重物求重物P在鉛直方向的振動頻率。已知在鉛直方向的振動頻率。已知彈簧彈簧AC的彈簧剛度系數是的彈簧剛度系數是k。 解解： 這是單自由度的振動系統。這是單自由度的振動系統。系統的位置可由桿系統的位置可由桿BD自水平的平自水平的平衡位置量起的衡位置量起的 角來決定。角來決定。221BI系統的動能系統的動能設系統作簡諧振動，則其運動方程設系統作簡諧振動

23、，則其運動方程)sin( tpn角速度為角速度為)cos(ddtpptnn222maxmax2121nBBpIIT系統的最大動能為系統的最大動能為Mechanical and Structural Vibration如取平衡位置為系統的勢能零點。設在平衡位置時，彈簧的伸如取平衡位置為系統的勢能零點。設在平衡位置時，彈簧的伸長量為長量為dst 。此時，彈性力。此時，彈性力Fst=kdst ,方向向上。方向向上。 0)(FBm0s PlbFt0s Plbkt該系統的勢能該系統的勢能)(21)(21st222st2stPlkbkbPlbkV2221kbV 222max2max2121kbkbV222

24、22121kbpInB BIkbp2n Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration利用能量法，將彈簧的分布質量的動能計入系統的總動能，仍利用能量法，將彈簧的分布質量的動能計入系統的總動能，仍按單自由度系統求固有頻率的近似方法，稱為按單自由度系統求固有頻率的近似方法，稱為瑞利法瑞利法。應用瑞利法，首先應假定系統的振動位形。應用瑞利法，首先應假定系統的振動位形。2eqsdd21txmT 等效質量等效質量 l對于圖示系統，假設彈簧上各點在振動過程中任一瞬時的位對于圖示系統，假設彈簧上各點在振動過程中任

25、一瞬時的位移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截面的靜變形一樣。面的靜變形一樣。根據胡克定律，各截面的靜變形與離固定端的距離成正比。根據胡克定律，各截面的靜變形與離固定端的距離成正比。依據此假設計算彈簧的動能，并表示為集中質量的動能為依據此假設計算彈簧的動能，并表示為集中質量的動能為Mechanical and Structural Vibration例例 在圖示系統中，彈簧長在圖示系統中，彈簧長l，其質量，其質量ms。求彈簧的等效質量。求彈簧的等效質量及系統的固有頻率。及系統的固有頻率。左端距離為左端距離為 的截面的位移為的截

26、面的位移為 ，則則d 彈簧的動能為彈簧的動能為xl2sddd21dtxllmTsl d 解解：令：令x表示彈簧右端的位移，也是質表示彈簧右端的位移，也是質量量m的位移。的位移。Mechanical and Structural Vibration彈簧的總動能彈簧的總動能2ss0sdd321dtxmTTl2s2s2dd321dd321dd21txmmtxmtxmT系統的總動能為系統的總動能為seq31mm系統的勢能為系統的勢能為221kxV 固有頻率為固有頻率為3snmmkp)cos(ntpAx設設maxmaxVTl d Mechanical and Structural Vibration M

27、echanical and Structural VibrationtxcFddc它與物體的形狀、尺寸及介質的性質有關，單位是牛頓米/秒(Ns/m)。 Mechanical and Structural Vibration運動微分方程運動微分方程 圖示為一有阻尼的彈簧圖示為一有阻尼的彈簧-質量系統的簡化模質量系統的簡化模型。以靜平衡位置型。以靜平衡位置O為坐標原點，選為坐標原點，選x軸鉛直軸鉛直向下為正，有阻尼的自由振動微分方程向下為正，有阻尼的自由振動微分方程 kxtxctxmdddd220dd2dd222xptxntxn0222 npnrr 222221nnpnnrpnnrmkpn 22n

28、cm衰減系數，單位1/秒(1/s) rtex Mechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統的衰減振動單自由度系統的衰減振動 22npnnr )ee(e222221tpntpnntnnCCx nrr21)(e21tCCxnt 222221nnpnnrpnnr運動微分方程運動微分方程 0dd2dd222xptxntxnMechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統的衰減振動單自由度系統的衰減振動 臨界情形是從衰減振動過渡到非周期運動的臨界狀臨界情形是從衰減振動過渡到非周期運動的臨界狀態。這時系統的阻尼系數是表

29、征運動規律在性質上態。這時系統的阻尼系數是表征運動規律在性質上發生變化的重要臨界值。發生變化的重要臨界值。設設cc為為臨界阻尼系數臨界阻尼系數，由于，由于z z =n/pn =1，即，即kmmpnmcnc222 z z 阻尼系數與臨界阻尼系數的比值，是阻尼系數與臨界阻尼系數的比值，是z z 稱為阻尼比的原因。稱為阻尼比的原因。 z nncpnmpnmcc22cc只取決于系統本身的質量與彈性常量。由只取決于系統本身的質量與彈性常量。由Mechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統的衰減振動單自由度系統的衰減振動 tntnCCx21-2-1ee1zznn

30、ppr npn zz1z1Otxnrr21)(e21tCCxntMechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統的衰減振動單自由度系統的衰減振動 dnpprj z（npn） dndnpnnpnrpnnpnrjjjj222221。，221jnppnd )sincos(e21tpCtpCxddnt 其中C1和C2為積分常數，由物塊運動的起始條件確定。設t = 0時， 可解00vvxx，dpvnxC002C1=x0 Mechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統的衰減振動單自由度系統的衰減振動 000220020t

31、an)(nxvpxpnxvxAdd)sin(e tpAxdnt初相位角 振 幅阻尼振動振幅；ntAe 這種情形下，自由振動不是等幅簡諧振動，是按負指數衰減的這種情形下，自由振動不是等幅簡諧振動，是按負指數衰減的衰減運動。衰減運動的頻率為衰減運動。衰減運動的頻率為 p d，衰減速度取決于衰減速度取決于 zp n，二者分二者分別為本征值的虛部和實部。別為本征值的虛部和實部。Mechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統的衰減振動單自由度系統的衰減振動 衰減振動:物塊在平衡位置附近作具有振動性質的往復運動，但它的振幅不是常數，隨時間的推延而衰減。有阻尼的自由振動視為準周期振動。 )sin(e tpAxdntMechanical and Structural Vibration2222111 ()ddnnTTppnpzT=2 /pn為無阻尼自由振動的周期。為無阻尼自由振動的周期。欠阻尼自由振動的周期欠阻尼自由振動的周期Td ：物體由最大偏離位置起經過物體由最大偏離位置起經過一次振動循環又到達另一最大偏離位置所經過的時間。一次振動循環又到達另一最大偏離位置所經過的時間。由于阻尼的存在，使衰減振動的周期加大。通常由于阻尼的存在，使衰減振動的周期加