1、耨助孩子胸建持續進步的字引力幾何圖形折疊問題【疑難點撥】1 .折疊（翻折）問題常常出現在三角形、四邊形、圓等平面幾何問題中，其實質是軸對稱性質的應用.解題的關鍵利用軸對稱的性質找到折疊前后不變量與變量，運用三角形的全等、相似及方程等知識建立有關線段、角之間的聯系.2 .折疊（翻折）意味著軸對稱，會生成相等的線段和角，這樣便于將條件集中.如果題目中有直角，則通常 將條件集中于較小的直角三角形，利用勾股定理求解.3 .矩形中的一次折疊通常利用折疊性質和平行線性質求角的度數，或者利用折疊性質以及勾股定理求線段長度.矩形中的兩次或多次折疊通常出現“一線三直角”的模型（如圖），從而構造相似三角形，利用相

2、似三角形求邊或者角的度數.4 .凡是在幾何圖形中出現“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量.1.常見的軸對稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓 .2.折疊的性質：折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等.【基礎篇】一、選擇題：1. . （2018?四川涼州？ 3分）如圖將矩形 ABCW對角線BM疊，使C落在C'處，BC'交AD于點E,則下到結 論不一定成立的是（）AD=BC B. / EBDh EDB C. AB& CBD D sin / ABE4A.OA=6OA的中點FA依次剪ABDBC的長是FAF在

3、ADC2好落在BC邊如圖，矩形紙片 ABCD43E為AB中點.沿過點E的直線折卜的紙片（形狀同陰影圖形）面積之和為2所示的扇形AOB用剪刀沿著線段BD,E在BC上，把這個矩形沿 EF折疊后，使點AB=4, BC=6將ABC&AC折疊，使點 B落在點ABC AB=AC / BAC=90G點處，若矩形面積為 4&且/AFG=60 , GE=2BG則折痕EF的長為4.（2018 ,山東青島 3分）2. （2017山東煙臺）如圖1 ,將一圓形紙片向右、向上兩次對折后得到如圖A. 36 兀-108 B . 108-32 兀 C. 2兀 D5.（2017烏魯木齊）如圖，在矩形 ABC邛B.

4、 3.2C. 3D. 32 D.A. 1 B相助孩子福建持續進步的字引力6. （2018 遼寧省盤錦市） 如圖，已知RtABC中，/B=90° , Z A=60° , AC=&廳+4,點M N分別在線段 AC.AB已知/ DGH=30 ,連接 BG 則/ AGB=上，將ANM直線MNf疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當 DC岫直角三角形時，折痕MN勺長為7.（2018 山東威海 8分）如圖，將矩形ABCD（紙片）折疊，使點 B與AD邊上的點K重合，EG為折痕；點C與AD邊上的點K重合，FH為折痕.已知/8. （2018 湖南省常德- 3分）如圖，將矩形ABC

5、D& EF折疊，使點B落在AD邊上的點G處，點C落在點H處,三、解答與計算題:9. （2018 廣東 7分）如圖，矩形 ABCD43, AB> AD,把矩形沿對角線 AC所在直線折疊，使點 B落在點E處,AE交CD于點F,連接DE(1)求證： AD總 CED（2）求證： DEF是等腰三角形.1=67.5 ° , / 2=75° , EF= + 1,則BC的長Hisiudy.快樂學句VI pt住比相助孩子福建持續進步的字習力,助孩子福建持續進步的字引力|而（2018?山東棗莊？ 10分）如圖，將矩形ABC時 AF折疊，使點 D落在BC邊的點E處，過點 E作EG/

6、 CD交AF于點G,連接DG（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）探究線段EG GR AF之間的數量關系，并說明理由；（3）若 AG=6 EG=2/二 求 BE 的長.【能力篇】一、選擇題：11. （2018 遼寧省阜新市）如圖，將等腰直角三角形ABC（/ B=90° ）沿EF折疊，使點A落在BC邊的中點Ai處，BC=8,那么線段AE的長度為（）.A. 4B. 5C. 6D. 712. （2018 四川省攀枝花 3分）如圖，在矩形 ABCD43, E是AB邊的中點，沿 EC對折矢I形ABCD使B點落 在點P處，折痕為EC連結AP并延長AP交CD于F點，連結CP并延長CP交AD于Q點

7、.給出以下結論：四邊形AECF為平行四邊形；/ PBA=/ APQ* FPC為等腰三角形； AP® EPC其中正確結論的個數為（）A. 1B. 2C. 3D. 4HiS【U0如快斤學司1VI PT住比相助孩子胸建持續進步的字引力、13. （2018 湖北省武漢 3分）如圖，在。O中，點C在優弧7,上，將弧沿BC折疊后剛好經過 AB的中點D.若O O的半徑為 近,AB=4,則BC的長是（）A.城3B.mC. 2屈D .二、填空題：14. （2018 遼寧省葫蘆島市） 如圖，在矩形 ABCM,點E是CD的中點，將 BCE沿BE折疊后得到 BERDG 1 ADJ I .且點F在矩形ABCM

8、內部，將BF延長交AD于點G.若GA =T ,則AB =.15. （2018 四川宜賓 3分）如圖，在矩形 ABCD43, AB=3, CB=2,點E為線段AB上的動點，將 CBE沿CE折疊，使點B落在矩形內點F處，下列結論正確的是 （寫出所有正確結論的序號）當E為線段AB中點時，AF/ CE當E為線段AB中點時，AF=9;5當A、F、C三點共線時，AE= 3；當A、F、C三點共線時， CEH AEF.HiS【UdyMR?IVIPPm上耨助孩子福建持續進步的字習力三、解答與計算題：16. (2018 湖北省宜昌 11分)在矩形 ABC由，AB=12, P是邊AB上一點，把 PBC沿直線PC折疊

9、，頂點B的對應點是點 G,過點B作BH CG垂足為E且在AD上，BE交PC于點F.(1)如圖1,若點E是AD的中點，求證： AE整 DEC(2)如圖2,求證：BP=BF當AD=2§且AEv DE時，求cos/PCB的值；當BP=9時，求 BE?EF的值.17. (2018 廣東 7分)如圖，矩形ABCD, AB> AD,把矩形沿對角線 AC所在直線折疊，使點B落在點E處,AE交CD于點F,連接DE(1)求證： AD總 CEDHisrdy.快樂字句|V|PT住比 耨助孩子福建持續進步的字引力18. （2018?江蘇鹽城？ 10分）如圖，在以線段 ab為直徑的 00上取一點，連接C

10、、EC .將沿AS翻折后得到（1）試說明點D在QO±（2）在線段的延長線上取一點 巨，使.山=JC*4E.求證：5上為®。的切線；（3）在（2）的條件下，分別延長線段 HE、匚力相交于點 F，若8c = 2 , AC = 4,求線段 無尸的長.【探究篇】19. （2018年江蘇省泰州市？ 12分）對給定的一張矩形紙片ABCDS行如下操作：先沿 CE折疊，使點B落在CD邊上（如圖），再沿 CH折疊，這時發現點 E恰好與點D重合（如圖）（1）根據以上操作和發現，求的值;（2）將該矩形紙片展開.如圖，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB相交于點 巳再將該矩形紙片展開.求證

11、：/HPC=90 ;P點，要求只有一條折痕，且點P在折痕上，請簡要說明折疊方法.（不需說明理由）不借助工具，利用圖探索一種新的折疊方法，找出與圖中位置相同的，助孩子洞建持續進步的學習力120.(2018年江蘇省宿遷)如圖，在邊長為1的正方形 ABC邛，動點E、F分別在邊ABCD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上(點M不與嵐A D重合)，點C落在點N處，MNW CD交于點巳設BE=x,(1)當AM=:時，求x的值；(2)隨著點M在邊AD上位置的變化， PDM勺周長是否發生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定 值；(3)設四邊形BEFC勺面積為S,求S與x

12、之間的函數表達式，并求出S的最小值.幾何圖形折疊問題【疑難點撥】1 .折疊（翻折）問題常常出現在三角形、四邊形、圓等平面幾何問題中，其實質是軸對稱性質的應用.解題的關鍵利用軸對稱的性質找到折疊前后不變量與變量，運用三角形的全等、相似及方程等知識建立有關線段、角之間的聯系.2 .折疊（翻折）意味著軸對稱，會生成相等的線段和角，這樣便于將條件集中.如果題目中有直角，則通常 將條件集中于較小的直角三角形，利用勾股定理求解.3 .矩形中的一次折疊通常利用折疊性質和平行線性質求角的度數，或者利用折疊性質以及勾股定理求線段長度.矩形中的兩次或多次折疊通常出現“一線三直角”的模型（如圖），從而構造相似三角形

13、，利用相似三角形求邊或者角的度數.4 .凡是在幾何圖形中出現“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量.1.常見的軸對稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓 .2.折疊的性質：折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等.【基礎篇】一、選擇題：1. . （2018?四川涼州？ 3分）如圖將矩形 ABCW對角線BM疊，使C落在C'處，BC'交AD于點E,則下到結 論不一定成立的是（）A. AD=BC B. / EBDh EDB C. AB& CBD D sin / ABE。ED【分析】主要根據折疊前后角和邊相等找到

14、相等的邊之間的關系，即可選出正確答案.【解答】解：A、BC=BC , AD=BCAD=BC ,所以正確.B、/CBDhEDB /CBDNEBD，/ EBD= EDBI確._, _ AED、 sin /ABE4,BE ./ EBD=Z EDBBE=DE，_ AE.sin /ABE3.ED故選：C.助孩子胸建持續進步的學習力 |【點評】本題主要用排除法，證明A, B, D都正確，所以不正確的就是C,排除法也是數學中一種常用的解題方法.2. （2017山東煙臺）如圖1,將一圓形紙片向右、向上兩次對折后得到如圖 2所示的扇形AOB已知OA=6取OA的中點C,過點C作CDL OA交標于點1點F是標上一點

15、.若將扇形BODg0的折，點B恰好與點F重合， 用剪刀沿著線段 BD, DF, FA依次剪下，則剪下的紙片（形狀同陰影圖形）面積之和為（LA. 36 兀-108 B . 108-32 兀 C. 2兀 D.兀【考點】M0扇形面積的計算；P9:剪紙問題. 一, . 1 【分析】先求出/ ODCW BOD=30 ,作D已OB可得DE=OD=3先卞據S弓形bd=S扇形bod-泓bo球得弓形的面積,再利用折疊的性質求得所有陰影部分面積.【解答】解：如圖，: CDL 0A ./ DCOh AOB=90 ,- 0A=0D=0B=60C= 0A / ODCh BOD=30 ,作DHOW點E,則 DE= 0D=

16、3當 X6X 3=3兀-9,._e 30-e2 S 弓形 BD=S 扇形 BOD Sa BOD=360則剪下的紙片面積之和為12X （3兀-9） =36兀-108,故答案為：36兀-108 .故選A3. （2017浙江衢州）如圖，矩形紙片 ABCD43, AB=4, BC=6將 ABCgAC折疊，使點B落在點E處，CE交AD于點F,則DF的長等于（）耨助孩子福建持續進步的字引力B.CA苴D.5,7【考點】PB:翻折變換(折疊問題)；LB:矩形的性質.【分析】根據折疊的性質得到 AE=AB/E=/ B=90° ,易證RtAEHCDF即可得至U結論 EF=DF易得FC=FA設FA=x,則

17、FC=x, FD=6- x,在Rt CDF中利用勾股定理得到關于x的方程x2=42+ (6-x) 2,解方程求出x.【解答】解：二.矩形 ABCDg對角線AC對折，使 ABC落在 ACE的位置, .AE=AB /E=/B=90° ,又四邊形ABCM矩形，AB=CDAE=DC而/ AFE=Z DFC 在 AEFA CDF中，ZAFE-ZCFD/£=/灰， .AEF ACDF (AAS ,EF=DF 四邊形ABCM矩形，AD=BC=6 CD=AB=4 Rt AEF Rt CDFFC=FA設 FA=x,貝U FC=x, FD=6- x,2222 2213在 RtCDF中，cF=c

18、D+dF,即 x2=42+ (6 x) 2,解得 x=7 ,F田Intt 5貝U FD=6 x=.故選：B.HiSMdy,快樂學習！ VIPT住比相助孩子福建持續進步的字引力EDC已知EF二，則BC的長是（）2疊，使點B與點A重合，折痕現交于點 F.B.【分析】由折疊的性質可知/B=Z EAF=45C. 3D. 33A ：,所以可求出/ AFB=90 ,再直角三角形的性質可知ef=-ab,所以2AB=AC勺長可求，再利用勾股定理即可求出BC的長.4. （2018 山東青島 3分）如圖，三角形紙片 ABC AB=AC / BAC=90，點E為AB中點.沿過點 E的直線折【解答】解: 沿過點E的直

19、線折疊，使點 B與點A重合,/ B=Z EAF=45 ,/ AFB=90° ,點E為AB中點,EF= 1 AB, EF=-,AB=AC=3故選：B.求出/ AFB=90是解題的【點評】本題考查了折疊的性質、等腰直角三角形的判斷和性質以及勾股定理的運用, 關鍵.5. （2017烏魯木齊）如圖，在矩形 ABC邛，點F在AD上，點E在BC上，把這個矩形沿 EF折疊后，使點D恰好落在BC邊上的G點處，若矩形面積為 4”且/AFG=60 , GE=2BG則折痕EF的長為（）【考點】PB:翻折變換（折疊問題）；LB:矩形的性質.【分析】由折疊的性質可知， DF=GF HE=CE GH=DC /

20、DFE4 GFE結合/ AFG=60即可彳#出/ GFE=60 ,進而 可得出 GEF為等邊三角形，在RtGHE中，通過解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出 GE=2EC DC號序 EC,再由GE=2BG吉合矩形面積為 4,行,即可求出EC的長度，根據 EF=GE=2ECP可求出結論.【解答】解：由折疊的性質可知， DF=GF HE=CE GH=DC / DFE=Z GFE . /GFE+/ DFE=180 - / AFG=120 , / GFE=60 . AF/ GE / AFG=60 , ./ FGE=Z AFG=60 , . GEF為等邊三角形，EF=GE / FGE=60 , /

21、 FGE+Z HGE=90 , / HGE=30 .在 RtAGHE, / HGE=30 ,GE=2HE=CEGH=/She= ce. GE=2BGBC=BG+GE+EC=4 EC 矩形ABCD勺面積為4代, 4EC?J1EC=4-J3,EC=1, EF=GE=2故選C.二、填空題：6. （2018 遼寧省盤錦市） 如圖，已知RtABC中，ZB=90° , Z A=60° , AC=2/X+4,點M N分別在線段 AC.AB 上，將 ANM直線MNf疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當 DCM；直角三角形時，折痕MN勺長為.C ,【解答】解：分兩種情況：如圖，當/ C

22、DM=90時， CD娓直角三角形,1/MDN=A=60° ,.在 RtABC中，Z B=90° , /A=60° , AC=2巧+4, .C=30° , AB=2 AcJ+，由折疊可得:1_ 1_1_2傷+4/ BDN=30 ,BN=S DN=2 AN,BN=3 AB= 3 , a AN=2BN= 3273+4/ DNB=60 , / ANMh DNM=60 ,/ AMN=60 ,AN=MN=-如圖，當/ CMD=90時， CD娓直角三角形,相助孩子福建持續進步的字習力SE由題可得：Z CDM=60 , ZA=Z MDN=60 , . . / BDN=6

23、0 , / BND=30 , . BD丑 DN= AN, BN=/ BD1AB=/3 + 2 , 1_ .AN=2, BN=氏 過 N 作 NHL AMT H,貝U/ ANH=30 , ，AH皂 AN=1, HN=/1,由折疊可得：/ AMN= DMN=45 ,.MNK等腰直角三角形，. HM=HN=3,MN=&.2折4故答案為：3或&.7. （2018 山東威海 8分）如圖，將矩形 ABCD（紙片）折疊，使點 B與AD邊上的點K重合，EG為折痕；點C 與AD邊上的點 K重合，FH為折痕.已知/ 1=67.5 ° , / 2=75° , EF= + 1,求B

24、C的長.【分析】 由題意知/ 3=180° -2/1=45°、7 4=180° - 2/2=30°、BE=KE KF=FC 作 KMLBC,設 KM=x 知 EM=xMF<Jx,根據EF的長求得x=1 ,再進一步求解可得.【解答】解：由題意，得：/3=180° -2/1=45° , / 4=180° - 2/2=30° , BE=KE KF=FC如圖，過點K作KML BC于點M設 KM=x 貝U EM=x MF=/jx,x+爐區=43+1,解得：x=1,EK=,、KF=2,BC=BE+EF+FC=EK+EF+

25、KF=3+寸:，二BC的長為3+/2+【點評】本題主要考查翻折變換，解題的關鍵是掌握翻折變換的性質：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.8. （2018 湖南省常德3分）如圖，將矩形ABC曲EF折疊，使點B落在AD邊上的點G處，點C落在點H處, 已知/ DGH=30 ,連接 BG 則/ AGB= 75°.AD田EFC【分析】由折疊的性質可知： GE=BEEGH= ABC=90 ,從而可證明/ EBG=/ EGB ,然后再根據/ EGH- / EGB= /EBC- / EBG即：/ GBCW BGH由平行線的性質可知/ AGBN GBC從而易證/ AGB=/ B

26、GH據此可得答案.【解答】解：由折疊的性質可知：GE=BE / EGHW ABC=90 ,EBGN EGB / EGH- / EGB4 EBC- / EBG 即：/ GBC=/ BGH又 AD/ BGAGBN GBC / AGBN BGH ./ AGB=Z AGH=75 ,2故答案為：75°【點評】本題主要考查翻折變換，解題的關鍵是熟練掌握翻折變換的性質：折疊前后圖形的形狀 和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.三、解答與計算題:9.（2018 廣東 7分）如圖，矩形ABCD43, AB> AD,把矩形沿對角線 AC所在直線折疊，使點 B落在點E處,(1)求證： AD總 C

27、ED【分析】（1）根據矩形的性質可得出AE交CD于點F,連接DEAD=BC AB=CD結合折疊的性質可得出 AD=CE AE=CD進而即可證出 ADEQCED (SSS ;（2）根據全等三角形的性質可得出/DEF之EDF利用等邊對等角可得出EF=DF由此即可證出 DEF是等腰三角形.【解答】證明：(1) .四邊形ABC虛矩形,AD=BC AB=CD由折疊的性質可得：BC=CE AB=AEAD=CE AE=CDAD=CE在 ADE 和 CED 中， 柩= CD，DE=ED. .AD段ACED(SSS .(2)由(1)得 AD中 CEDEF=DF. DEF是等腰三角形.DEA=Z EDC 即/ D

28、EF之 EDF,1)根據矩形的性(2)連接DE,交AF于點O.由菱形的T質可知 GFL DE,OG=OF=GF接下來，證明DOS ADF7,由相似三【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、翻折變換以及矩形的性質，解題的關鍵是:質結合折疊的性質找出 AD=CE AE=CD ( 2)利用全等三角形的性質找出/DEF=/ EDF10. (2018?山東棗莊？ 10分)如圖，將矩形 ABC曲AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG/ CD交AF于點G,連接DG(1)求證：四邊形EFDG是菱形；(2)探究線段EG GR AF之間的數量關系，并說明理由；(3)若 AG=6 EG=2/g,求 BE

29、 的長.4【分析】(1)先依據翻折的性質和平行線的性質證明/DGFh DFG從而得到 GD=DF接下來依據翻折的性質可證明 DG=GE=DF=EF角形的性質可證明 DF=FO?AF,于是可得到 GE AF、FG的數量關系；(3)過點G作GHL DC垂足為H.利用(2)的結論可求得FG=4,然后再 ADF中依據勾股定理可求得 AD的長, 然后再證明 FGHT FAD,利用相似三角形的性質可求得GH的長，最后依據 BE=AD- GH求解即可.【解答】解：（1）證明：.GEE/ DF,，/ EGF之 DFG.由翻折的性質可知：GD=GE DF=EF / DGF=EGFDGF=Z DFGGD=DFDG

30、=GE=DF=E F 四邊形EFD助菱形.（2）eG=2gf?af.理由：如圖1所示：連接DE交AF于點O.四邊形EFD助菱形，g GF± DE, OG=OF= GF. . / DOF=Z ADF=90 , / OFDh DFA . DOS ADF.DF_FOAF DF ,即 dF"=fc?af.1 FO= GF DF=EGEG2= GF?AF.(3)如圖2所示：過點G作GHL DC垂足為H.20= 2 FG （ FG+6）,整理得：F&6FG- 40=0.His【udyi?i%iviprm上耨助孩子胸建持續進步的字習力解得：FG=4 FG=- 10 （舍去）. D

31、F=GE=VS, AF=10,ADK2-DF 2=4證. GhL DC AD± DCGH/ AD. . FGHT FAD.GH_FG GH 4瓶一研，即4赤=10.GH= 5 .ml訪=5【點評】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質、菱形的判定和性質、相似三角形的性質和判定、 勾股定理的應用，利用相似三角形的性質得到 DF=FO?AF是解題答問題（2）的關鍵，依據相似三角形的性質求得 GH的長是解答問題（3）的關鍵.【能力篇】一、選擇題：11. （2018 遼寧省阜新市）如圖，將等腰直角三角形ABC（/ B=90° ）沿EF折疊，使點A落在

32、BC邊的中點Ai處，BC=8,那么線段AE的長度為（）.A. 4B. 5C. 6D. 7【解答】解：由折疊的性質可得 AE=AE.ABC為等腰直角三角形，BC=8AB=8.,A為BC的中點，AB=4,設AE=AE=x,則BE=8- x,在RtABE中，由勾股定理可得 42+ （8-x） 2=x2,解得 x=5.故答案為：5.故選B12. （2018 四川省攀枝花 3分）如圖，在矩形 ABCD43, E是AB邊的中點，沿 EC對折矢I形ABCD使B點落 在點P處，折痕為EC連結AP并延長AP交CD于F點，連結CP并延長CP交AD于Q點.給出以下結論：相助孩子福建持續進步的字習力四邊形 AECF為

33、平行四邊形;/ PBA=Z APQ* FPC為等腰三角形； AP® EPC其中正確結論的個數為（）A. 1B. 2C. 3D. 4解：如圖，EC, BP交于點G; 點P是點B關于直線 EC的對稱點，EC垂直平分 BP,EP=EB，/ EBPI EPB 點 E 為 AB中點，AE=EB，AE=EP，/ PABW PBA . /PAB+/ PBA+Z APB=180 ,即/ PAB吆 PBA+Z APE吆 BPE=2 (/ PAB+/ PBA =180° , . . / PAB+Z PBA=90 , API BP,AF/ ECAE/ CF, 四邊形AECF是平行四邊形，故正確；

34、/ APB=90 , . APQy BPC=90 ,由折疊得： BC=PC / BPC4 PBC.四邊形 ABCD正方形,ABC4 ABP吆PBC=90 ,/ ABP之APQ故正確；. AF/ EC .1 / FPC土 PCEh BCE.一/PFC是鈍角，當 BPC是等邊三角形，即/ BCE=30時，才有/ FPC=/ FCP,如右圖， PCF不一定是等腰三 角形，故不正確； AF=EC AD=BC=P C/ADF土 EPC=90 ,. Rt EP(C FDA (HL.). /ADF=/ APB=90 , / FAD=/ ABP,當 BP=ADe BPC是等邊三角形時， APB FDA APB

35、 EPC 故不正確；其中正確結論有，2個.故選B.耨助孩子福建持續進步的字引力13. （2018 湖北省武漢 3分）如圖，在。O中，點C在優弧益上，將弧前沿BC折疊后剛好經過 AB的中點D.若O O的半徑為 近,AB=4,則BC的長是（）B.AB=22于是根據勾股定理可計算出OD=1再利用折疊的性質可判斷弧AC和弧CD所在的圓為等圓，則根據圓【分析】連接 OD AC DC OB OG彳CH AB于E, OF，CE于F,如圖，利用垂徑定理得到 ODL AB,貝U AD=BD=周角定理得到 T'=L：'D,所以AC=DC利用等腰三角形的性質得 AE=DE=1接著證明四邊形 ODE叨

36、正方形得到OF=EF=1然后方f算出 CF后得到CE=BE=3于是得至U BC=3 J2 .【解答】解：連接 OD AG DC OB OC彳CEL AB于E, OF± CE于F,如圖，D為AB的中點， ODL AB,AD=BD=-AB=2,在 RtAOBD, OD=J（T5）2 22 =1, 將弧 前沿BC折疊后剛好經過 AB的中點D. 弧AC和弧CD所在的圓為等圓，AC=C D,AC=DCAE=DE=1相助孩子福建持續進步的字習力易得四邊形ODEF為正方形,. OF=EF=1在RtOCF中，CF= 而三彳=2,CE=CF+EF=2+1= 3而 BE=BD+DE=2+1=3BC=31

37、.故選：B.【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系.也考查了圓周角定理和垂徑定理.二、填空題：14. （2018 遼寧省葫蘆島市） 如圖，在矩形 ABCM,點E是CD的中點，將 BCE沿BE折疊后得到 BERDG 1 AD 且點F在矩形ABCM內部，將BF延長交AD于點G.若GA =T ,則AB =.點E是CD的中點,EC=DE將 BCE沿 BE折疊后得到 BEF、且點 F 在矩形 ABCM內部，EF=DE / BFE=90 .在 RtAEDGD RtAEFG中E=GE、DE=RtAED(G RtAEFG (HL.

38、) ,FG=DG耨助孩子胸建持續進步的字習力DGllf AD 3a, GA=T，設 DG=FG=a貝U AG=7a 故 AD=BC=8a貝U BG=BF+FG=9a，ABga) -(%) =4k/2a,故AB =W2 0=匹故答案為：也.15. （2018 四川宜賓 3分）如圖，在矩形 ABCD43, AB=3 CB=2,點E為線段AB上的動點，將 CBE沿CE折疊，使點B落在矩形內點F處，下列結論正確的是（寫出所有正確結論的序號）當E為線段AB中點時，AF/ CE9當E為線段AB中點時，AF=;513-2標當A、F、C三點共線時，AE= §當A、F、C三點共線時， CEH AEF.

39、【考點】PB:翻折變換（折疊問題）；KB:全等三角形的判定；LB:矩形的性質.【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題；【解答】解：如圖 1中，當AE=EB寸，相助孩子福建持續進步的字習力，/ EAF=/ EFA / CEF=Z CEB / BEU EAF+/ EFA / BEC土 EAF,AF/ EC,故正確，作 EML AF,貝U AM=FM / AME=/ B=90° , / EAMW CEB . CEK EAMEB ECg=皿，53_ 2_2 TAM = 2 , . AM=I/9AF=2AM=-,故正確，5如圖2中，當A、F、C共線時，設AE=x貝U EB=EF=3- x, A

40、F= 屈-2,在 RtAEF中， A=AF'+EF2,x2=(V13-2) 2+ (3-x)：x= 飛 , . AE= 3,故正確，如果， CEM AEF則/ EAF=/ ECF=/ ECB=30 ,顯然不符合題意，故錯誤，故答案為.【點評】本題考查翻折變換、全等三角形的性質、勾股定理、矩形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解 題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.耨助孩子胸建持續進步的字引力三、解答與計算題：16. (2018 湖北省宜昌 11分)在矩形ABC由，AB=12, P是邊AB上一點，把 PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點 G,過點B作BH

41、 CG垂足為E且在AD上，BE交PC于點F.(1)如圖1,若點E是AD的中點，求證： AE整 DEC(2)如圖2,求證：BP=BF當AD=2§且AEv DE時，求cos/PCB的值；當BP=9時，求 BE?EF的值.【分析】(1)先判斷出/ A=Z D=90° , AB=DG1判斷出AE=DE即可得出結論；(2)利用折疊的性質，得出/PGC=PBC=90 , / BPC=GPC進而判斷出/ GPFW PFB即可得出結論；判斷出 AB& DEC得出比例式建立方程求解即可得出AE=9, DE=16,再判斷出 ECM GCP進而求出PC即可得出結論；判斷出 GEM EAE

42、即可得出結論.【解答】解：(1)在矩形 ABCM, / A=Z D=90° , AB=DCE是AD中點，AE=DEirAB=DC在ABE和ADCE中，'/紀ND二90", I AE=DE .ABE DCE(SAS ;(2)在矩形 ABCD / ABC=90 , BPC沿PC折疊得至1 GPC / PGC之 PBC=90 , / BPCh GPC BEX CGBE/ PG/ GPF=Z PFB,耨助孩子福建持續進步的字習力/ BPF=Z BFP,. BP=BF當AD=25時， / BEC=90 , ./AEB+/CED=90 , . /AEB+/ ABE=90 , .

43、/ CEDNABE, / A=Z D=90° , AB& DEC；M DEAE -CD，設 AE=x,DE=25- x,至工一 ，支 12x=9 或 x=16, AEv DE,AE=9, DE=1QCE=20, BE=15, 由折疊得，BP=PGBP=BF=PG BE/ PG . ECD AGCP，更旦PG CG'設 BP=BF=PG=y.15-y 2l"y -25, 25,r25 BP一， J2/10在 Rt PBC中,PC=, cos / PCB窩耨助孩子福建持續進步的字習力如圖，連接FG/ GEF之 BAE=90 , BF/ PG BF=PG，？BPG

44、F 菱形，BP/ GF, ./ GFE=Z ABE, .GEM EAB,，匣理,GF BEBE?EF=AB>GF=12X 9=108.【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，折疊的性質，利用方程的思想解決問題是解本題的關鍵.17. （2018 廣東 7分）如圖，矩形ABC而，AB> AD,把矩形沿對角線 AC所在直線折疊，使點B落在點E處,AE交CD于點F,連接DE（1）求證： AD總 CED【分析】（1）根據矩形的性質可得出 AD=BC AB=CD結合折疊的性質可得出 AD=CE AE=CD進而即可證出 ADE QCED

45、（SSS ;（2）根據全等三角形的性質可得出/DEF=/ EDF利用等邊對等角可得出 EF=DF由此即可證出 DEF是等腰三角形.【解答】證明：（1）二.四邊形ABC虛矩形，AD=BC AB=CD由折疊的性質可得：BC=CE AB=AEAD=CE AE=CD相助孩子福建持續進步的字習力 rAD=CE在 ADEA CED中，4 隨二CD，lDE=EL.AD段 CCED (SSS .(2)由(1)得 ADE CED，/ DEA之 EDC 即/ DEF之 EDF,EF=DF. DEF是等腰三角形.【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、翻折變換以及矩形的性質，解題的關鍵是：(1)根據矩形的性質結合

46、折疊的性質找出 AD=CE AE=CD ( 2)利用全等三角形的性質找出/DEF=/ EDF18. (2018?江蘇鹽城？ 10分)如圖，在以線段為直徑的上取一點，連接C、EC .將4LBC沿AS翻折后得到(1)試說明點。在Q0±；(2)在線段的延長線上取一點 巨，使.iBlHCdT.求證：5石為。的切線；(3)在(2)的條件下，分別延長線段 HE、C5相交于點F,若BC = 2, AC = 4-,求線段 萬萬的長.【答案】(1)解：連接OC OD由翻折可得OD=OCHis【u0yift%iviprm上，助孩子福建持續進步的字引力|OC是。O的半徑,.點D在OO上。(2)證明：二.點

47、 D在。上，/ ADB=90 , 由翻折可得AC=AD aB"=ac- ae,2_ .AB=AD, AE,jo j r尊=嗡，又. / BAE4 DAB-iJj -dLfif .ABE幺 ADB，/ABE=/ ADB=90 ,.OB是半徑,BE為的。O切線。(3)解：設 EF=x, . Ad=AC2+BC=AC AE, . AE=5, DE=AE-AD=5-4=1, . /BDF=/ 0=90° , / BFDW AFQ . BDF幺 ACF,.BF ED BF 2/=廿 W = 1nr，“ 升X貝U BF= f-,在RtBDF中，由勾股定理得 B+dFBF2 ,則 22+

48、 (1+x) 2=( H*)2 ,S解得 xi= q,x2=-i (舍去)，皿 5貝U EF=-【考點】點與圓的位置關系，切線的判定，相似三角形的判定與性質【解析】【分析】(1)要證明點D在。上，則需要證明點D到圓心的距離ODM等于半徑，由折疊易知OD=O0(2)證明BE為的。O切線，由切線判定定理可得需要證明/ABE=90 ;易知/ ADB=90 ,由公共角/ BAE4 DAB2貝U需要 ABE£ ADB由AB=AC-AE和AC=Ag證明；(3)易知/ BDF之ADB=90 ,貝|4 BDF是一個直角二角形，由勾股定理可得 BD2+DGBF2 ,而BD=BC=2 DF=DE+EF

49、EF就是要求的，不妨先設 EF=x,看能否求出 DE或都BF,求不出的話可用 x表示出來，再代入 84+口之8點解得即可。 【探究篇】19. (2018年江蘇省泰州市？ 12分)對給定的一張矩形紙片 ABCDS行如下操作：先沿 CE折疊，使點B落在0D邊上(如圖)，再沿 CH折疊，這時發現點 E恰好與點D重合(如圖)(1)根據以上操作和發現，求 嗝的值；(2)將該矩形紙片展開.如圖，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB相交于點 巳再將該矩形紙片展開.求證：/HPC=90 ;|耨助孩子能建持續進步的干習力 |不借助工具，利用圖探索一種新的折疊方法，找出與圖中位置相同的p點，要求只有一條折

50、痕，且點 p在折痕上，請簡要說明折疊方法.（不需說明理由）【分析】（1）依據 BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=BC由圖，可得 CE=CD而AD=BC即可得至1JCD=,2AD 即 =,運 AU（2）由翻折可得，PH=PC即Phf=PC,依據勾股定理可得 AFf+AP2=BP2+BC,進而得出AP=BC再卞據PH=CP /A=/ B=90° ,即可得到 RtAAPH RtABCF3 (HL.),進而得到/ CPH=90 ;由AP=BC=AD可得 AD幅等腰直角三角形，PD平分/ ADC故沿著過D的直線翻折，使點 A落在CD邊上,此時折痕與 AB的交點即為 P;由/ BCE4 PC

51、H=45 ,可得/ BCP=Z ECH由/ DCEhPCH=45 ,可得/ PCE=DCH1）由圖，可得/ BCD=45 ,進而彳#到CP平分/ BCE故沿著過點 C的直線折疊，使點 B落在CE上，此時，折痕與 AB的交點即為P.【解答】解:. BCE是等腰直角三角形,=cos45EC,即 CE=#gBC,由圖，可得 CE=CD而AD=BC CD=J?AD,(2)設 AD=BC=a 貝U AB=CD=2a, BE=a,AE=(眄 1) a,如圖，連接 EH,貝U/ CEHh CDH=90 ,/ BEC=45 , / A=90° ,，/AEH=45 =Z AHE . AH=AE=(/T

52、) a,|耨助孩子福建持續進步的字引力設 AP=x,貝1J BP=,竽x,由翻折可得,PH=PC 即 Phj=PC2, 222 _ 2 . AH+AP=BP+bC即(Q- 1)a 2+x2= ( . 2a-x) 2+a2,解得x=a,即AP=BC又 PH=CP / A=Z B=90° ,.APa Rt BCP (HL),/ APH=Z BCP又 RtBCP中，/ BCP+Z BPC=90 , / APH+/ BPC=90 ,/ CPH=90 ;折法：如圖，由 AP=BC=AD可得 ADP是等腰直角三角形，PD平分/ ADC 故沿著過D的直線翻折，使點 A落在CD邊上，此時折痕與 AB

53、的交點即為P;品畫；蘇折法：如圖，由/ BCEW PCH=45 ,可得/ BCPh ECH由/DCENPCH=45 ,可得/ PCE4 DCH又. / DCH= ECH / BCP士 PCE 即 CP平分 / BCE故沿著過點C的直線折疊，使點 B落在CE上，此時，折痕與 AB的交點即為P.'¥ 比"；:D【點評】本題屬于折疊問題，主要考查了等腰直角三角形的性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質的綜合運用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊和對應角相等.解題時常 常設要求的線段長為 x,然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案.20. (2018年江蘇省宿遷)如圖，在邊長