1、2 2 Cauchy-Goursat基本定理基本定理分析分析1的積分例子的積分例子:dzzfdzzfdzzfCzzfBACC )()()(,)(1即即，與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)即即，的的積積分分值值相相同同，它它沿沿連連接接起起點(diǎn)點(diǎn)及及終終點(diǎn)點(diǎn)的的在在全全平平面面解解析析中中例例解解析析。的的非非單單連連通通區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)處處處處但但在在除除去去即即，不不解解析析的的點(diǎn)點(diǎn)為為奇奇點(diǎn)點(diǎn)中中例例00002120zzzzidzzzrzz .,)(3有有關(guān)關(guān)的的值值與與積積分分路路徑徑在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處不不解解析析中中例例CdzzzzfC 由此猜想由此猜想：復(fù)積分的值與路徑無關(guān)或沿閉路的：復(fù)積分的

2、值與路徑無關(guān)或沿閉路的積分值積分值0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通有關(guān)。析區(qū)域的單連通有關(guān)。先將條件加強(qiáng)些，作初步的探討先將條件加強(qiáng)些，作初步的探討)( ,)(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在且且內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通設(shè)設(shè)DzfDivuzf yxyxyxyxuvvuRCDvvuuvu 方方程程并并滿滿足足都都是是連連續(xù)續(xù)的的內(nèi)內(nèi)在在以以及及它它們們的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)和和, CCcudyvdxivdyudxdzzfDC)(,，對對又又 DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)(公公式式由由 cdzzf0)(y

3、yxxiuvivuzf )( .)( ,1900這一條件去掉了這一條件去掉了連續(xù)連續(xù)將將且且定理的新證明定理的新證明給出了給出了年年zfCanchyGoursat0)()(1825 cdzzfzfDCauchy內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析的的單單連連通通給給出出了了年年.,)( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且在在當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)解解析析的的定定義義為為Dzf .1851簡簡單單證證明明定定理理的的上上述述給給出出了了年年CauchyRiemannCauchy 定理定理)( :, 內(nèi)內(nèi)在在改改為為從從此此解解析析函函數(shù)數(shù)的的定定義義修修定定理理這這就就產(chǎn)產(chǎn)生生了了著著名名的的DzfGoursatCanchy定理仍成立.定理仍

4、成立.連續(xù),連續(xù),在在內(nèi)解析內(nèi)解析在在的邊界的邊界為為若若上上BCBzfBzfBC )(,)(,)2(. 0)(,)( CdzzfBCBzzf內(nèi)任一條閉曲線內(nèi)任一條閉曲線為為內(nèi)解析內(nèi)解析平面上單連通區(qū)域平面上單連通區(qū)域在在設(shè)設(shè)Cauchy-Goursat定理：定理：.,)(,)1(定理仍成立定理仍成立解析解析上上在在的邊界的邊界為為若若BCBzfBC A BC也稱也稱Cauchy定理定理(3)定理中曲線定理中曲線C不必是簡單的！如下圖。不必是簡單的！如下圖。BBC推論推論 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對任意內(nèi)解析，則對任意兩點(diǎn)兩點(diǎn)z0, z1B, 積分積分c f (z)dz不依賴于連接起點(diǎn)不依賴于連接起點(diǎn)z0與終點(diǎn)與終點(diǎn)z1的曲線，即積分與路徑無