1、連續六次摸到白球后的思考一、案例背景“可能性”（概率）是新課程中新增加的內容，“可能與一定”是學生學習“可能性”的第一節內容。通過教學要讓學生初步了解在現實世界中，有些事件在滿足相應條件后，一定會發生（或不可能發生），而有些事件則可能發生，也可能不發生。比如在一個盒子里放入兩個黃球，任意摸一次，一定能摸到黃球，不可能摸到白球；如果放入一個白球、一個黃球，任意摸一次，則可能摸到白球，也可能摸到黃球（即可能性）。在多次教學實踐中我感悟到，原有生活經驗使學生對“可能性”有了一定的認識，但學生的生活經驗反過來也會干擾對“可能性”的數學化理解。二、情境描述在一個不透明的盒子中，放入一個白球、一個黃球，任

2、意摸一次，結果會怎樣？這是我在執教“可能與一定”一課時提出的問題。學生的回答是：“可能摸到白球，也可能摸到黃球。”為了“確認是這樣”，我請一位學生摸一次，結果摸到的是白球。接著，我又請一位學生摸一次，摸之前我請學生們猜一猜這一次會摸到什么顏色的球，大部分學生認為應該是黃球了！結果這位學生摸到的還是白球。第三次請學生摸，再猜，這時更多的學生認為一定是黃球了。但第三位學生摸到的竟然還是白球！這時，教室里一片驚訝聲：“怎么會這樣？”“這怎么可能？”第四位學生再摸，白球！第五位，還是白球！第六位，依然是白球！我的額頭開始冒汗，心里也暗暗嘀咕：“怎么會這樣？”一個念頭禁不住從腦海中冒了出來：“這課要上砸

3、了！”到了第七位，那位胖胖的小男生終于“爭氣”地摸到了黃球。我終于舒了一口氣，提著的心總算放了下來。教學順利地轉入了下一個環節。三、課后反思“可能性”一課我已經上過好多次了，但這樣的情形還是第一次發生。連續六次摸到白球，怎么會這樣呢？課上，我茫然不知所措，課后，我們進行了反思，結果為自己額頭冒汗感到羞愧，更為沒有抓住教學中生成的好材料及時組織學生討論感到汗顏。第一次摸到了白球，第二次摸到的應該是黃球；連續兩次摸到的都是白球，那么第三次摸到的就一定是黃球了。對一個三年級的小學生而言，作出這樣的判斷一點兒都不奇怪。在后來一次聽課時，我也看到了類似的情形：這位教師組織摸球活動，也是放一個白球、一個黃

4、球，摸之前要求先猜可能會摸到什么顏色的球，并作好記錄。我正好坐在一個小男生的邊上，第一次他猜摸到黃球，而摸到的也正好是黃球，他興奮地舉了舉握緊的拳頭。猜第二次時他毫不猶豫地在白球一攔里打上了“”，我趕緊和他交流：師：這次你怎么猜是白球了？生：因為剛才這次摸到的是黃球，我想這次一定會摸到白球了。這位小男生迫不及待地進行第二次摸球，果然是白球！他又一次興奮地舉起了拳頭。那么，學生為什么會作出這樣肯定的判斷呢？顯然，這是因為學生對隨機現象發生可能性的模糊理解。對“可能摸到什么顏色的球”這個隨機事件而言，學生的生活經驗足夠支撐他們作出這樣的判斷：要么摸到白球，要么摸到黃球。而且學生還會直覺地意識到：摸

5、到兩種顏色球的可能性是相等的。但可能性相等是什么意思呢？很多學生是這樣理解的：如果摸兩次，那么一次摸到白球，另一次摸到黃球。我想，這就是學生作出上述判斷的原因所在。那么，可能性真可以這樣理解嗎？回答是否定的。數學上，對上述摸球這個隨機現象發生可能性的描述有兩種辦法，一是用數據來刻畫（即概率），摸到黃球或白球的可能性各為二分之一；二是用重復摸球的統計結果來描述（即頻率），摸一次，可能摸到什么球，這具有隨機性（無法事先確定），但如果重復不斷地摸，只要摸的次數“足夠多”，就可以發現摸到統計結果呈現一定的規律性，即摸到白球和摸到黃球的次數大致相等。通過以上闡述可以知道，下一次會摸到什么球，這是無法事先

6、確定的，也就是說，每一次摸球，摸到黃球或白球的可能性都存在。但一個人在作出判斷時，往往會有受到自我心理活動的影響，如當連續多次摸到白球時，就會產生下一次“應該摸到黃球了”的心理期望。可見，第一次摸到白球，第二次應該摸到黃球，這反映了學生的生活經驗和心理期望對隨機現象的理解產生的干擾。從數學角度分析，連續六次摸到白球（甚至更多）是完全可能發生的，這反映了隨機現象的可能發生結果的隨機性。事實上，連續六次摸到白球比一次摸到白球、另一次摸到黃球更有利于學生感悟隨機現象的本質。比如，聽課時那個小男孩摸球活動的結果已經給他理解可能性的含義帶來了負面影響。而在我的教學中，連續六次摸到白球（這是可遇而不可求的

7、）給教學生成了精彩的、富有價值的材料，但我沒有把它利用好，錯過了讓學生感悟隨機現象本質的絕佳機會。反思后，我們認為，在七次摸球過程中應及時組織討論和反思。如在連續三次摸到白球后，可以組織討論：怎么會連續三次摸到白球？你有什么想法？通過討論使學生感悟到每次摸球的結果在摸之前是無法確定的，連續多次摸到白球也是有可能發生的，前一次摸球的結果并不會對后一次產生影響，從而初步感悟隨機事件的發生和人的心理期望沒有任何關系，進一步理解隨機現象的本質。又如當第六位學生依然摸到白球時，可以再次組織討論：真的摸不到黃球嗎？從而使學生明確：盒子里有黃球，只要不停地摸下去，是一定能摸到黃球的（如果摸的次數足夠多，那么

8、摸到白球和摸到黃球的次數大致相等，當然，這已是后續學習的內容了）。在第七位學生摸到黃球后，可以引導學生反思，讓他們說說對“可能摸到白球，也可能摸到黃球”這句話的認識，從而使學生深刻地理解可能性的含義。我想，如果再有這樣一次機會，我就能夠這樣處理了，可是這種情況再次發生的可能性實在是太小了，但這絕對不是不可能發生的。上述教學同時引發了我們對教師自身數學素養思考。概率一直是高等數學領域的內容，小學教師在師范的學習中并沒有這樣的知識儲備。“可能性”作為新課程新增加的數學內容，對大部分教師而言都是比較陌生的。以其昏昏，使人昭昭，顯然要誤人子弟。“可能性”有關內容，我上過許多次，也聽過許多次，自己犯過不少錯誤，也看到不少老師犯的錯誤，感觸頗深。新