1、2020年九年級數學上冊第24. 2點和圓、直線和圓的位置關系(講練)一、知識點1.點與圓的位置關系設點到圓心的距離為d.(l)d<r。點在G)0 內；(2)d=r o點在。0 上；(3)d>r。點在。0 外.2.直線和圓 的位置關系位置關系相離相切相交圖形CD公共點個數0個1個2個數量關系d>rd=rd<r3.切線的判定(1)與圓只有一個公共點的直線是圓的切線(定義法).(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切繆(3)經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.4.切線的性質(1)切線與圓只有一個公共點.(2)切線到圓心的距離等于圓的半徑.(3)切線垂直于經過切

2、點的半徑.5.切線長(1)定義：從圓外一點作圓的切線，這點與切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長.(2)切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線 平分兩條切線的夾角.6.三角形的外接圓圖形相關概念圓心的確定內、外心的性質省經過三角形各定點的 圓叫做三角形的外接 圓，外接圓的圓心叫 做三角形的外心，這 個三角形叫做圓的內 接三角形三角形三 條垂直平 分線的交 點到三角形的三個頂點的距離相等7.三角形的內切圓與三角形各邊都相切 的圓叫三角形的內切 圓，內切圓的圓心叫 做三角形的內心，這 個三角形叫圓的外切 三角形到三角形 三條角平 分線的交 點到三角形的三條邊的距

3、離相等二、標準例題:例h已知（DO的半徑0A長為 血，若0B=后，則可以得到的正確圖形可能是（）【答案】A【解析】解：.。0的半徑0A長為也，若0B=有，.OA<OB,點B在圓外，故選，A.總結：本題考查了點與圓的位置關系，解題的關鍵是根據數據判斷出點到直線的距離和圓的半役的大小關 系,難度不大.例2,己知AB是OO的直徑，弦CD與AB相交，NBAC = 40。.(1)如圖，若D為弧AB的中點，求NABC和/ABD的度數；如圖，若D為弧AB上一點，過點D作。的切線，與AB的延長線交于點尸，若DP/AC,求/OCD 的度數.圖2【答案】（l）NABC=50° ,"麗=

4、45=； （2） N0CD=25° .【解析】（1）如圖1,連接8,TAB為直徑，A ZACB=90° , ZABC=900 -ZBAC=50" ,TO為弧Z片的中點，/C歷=18/， 48 = 90。-OD=OBf(2)如圖2,連接8.;DP切GO干羨D.8,曾尸 即/。0尸=90。由。尸 |ZC 又/B/C = 40) /P = /BXC = 40° .,ZAOD是a°QP的一個外角，.ZAOD = ZP+ZODP = 3P .448=65。 OC = O4NBAC=4Q0 , NOC4=NBAC=4Q0 .二 ZOCD = ZACD-ZO

5、CA = 65°-40° = 25°總結，本題主要考查了切線的性質、圓周角定理，圓的切線垂直于過切點的半徑在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半：直徑所對的圓周角等于90。.熟練掌握相 關性質和定理是解題關鍵.例3,如圖，在4X4的網格圖中，A、B、C是三個格點，其中每個小正方形的邊長為1, AABC的外心可B. N點C. P點D. Q點【答案】D【解析】解：由圖可知，ZXABC是銳角三角形, ABC的外心只能在其內部, 由此排除A選項和B選項, 由勾股定理得，BP=CP=&KPA, .排除C選項, 故選:D.總結：本題

6、考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，熟練掌握三角形的外心的性質是解題的關鍵.例4：如圖，ZSABC的內切圓。與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F,且AB=5, BC=13, CA=12,則陰 影部分（即四邊形AE0F）的面積是（）A. 4B. 6. 25C. 7.5D. 9【答案】A【解析】VAB=5, BC=13, CA=12,A&+ACBC二，ABC為直角三角形,且NBAC=90° ,TOO為ABC內切圓，/. ZAru=ZAEU=yu",且 ae=&:.四邊形AEOf為正方形，設。的半徑為r,A0E=(F=r,，s內邊形AEOF=產，連接 AO,

7、 BO, CO,二 Sa.abc=Saaob+Saaoc+S/boc，-(AB + ACBC)r = -ABAC 22/- r=2,二,S 川邊形 aeof=N =4, 故選A.總結：本題考查了三角形的內切圓，勾股定理的逆定理，正方形判定與性質，面積法等，正確把握相關知識是解題的關健.三、練習百迫也D. 61 .邊長為1的正三角形的外接圓的半徑為1_A. 2B. 2c 3【答案】C【解析】如圖所示，連接OB, 0C,過0作ODJ_BJVBC=1,1:.BD= 2,ABC是正三角形，360PA ZB0C= 3 =120° ,V0B=0C,絲A ZB0D= 2 =60° ,BD

8、cos30P=z=也<5 3A Z0BD=30° ， 0B=故選c.2 .的半徑為5cm,力是線段8的中點，當小7cm時，點/與的位置關系是（）A.點力在06內 B.點力在。上C.點力在。外 D.不能確定【答案】A【解析】/0P=7cm, A是線段OP的中點，.二UA=3. bcm,小于圓的半徑bcm,.,點A在圓內.故選A.3 .如圖，四是00的直徑，4；是00的切線，力為切點，若NC = 40°,則D3的度數為（）A. 60'B. 50°C. 40°D. 30°【答案】B【解析】解：.fc是。的切線， ABA.AC 日&quo

9、t; = 40° ZzL5C=50°故選：B.4.己知OA與OB外切，G）C與。A、OB都內切，且AB=5, AC=6, BC=7,那么0c的半徑長是A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】C【解析】設。A的半徑為X, G)B的半徑為Y, G)C的半徑為Z.X + Y = 5Z-X = 6Z-F = 7Z = 9< X=3解得卜=2故選：C5.如圖，PA、PB分別與00相切干點A、B,若/P=50° ,則/C的值是()A. 50°B. 55。C. 60°D. 65。【答案】D【解析】解：連接0A、OB,V PAs PB與匱0分別相切于

10、點A、B,A0A1AP, 0B1PB,A Z0AP=Z0EP=90° ,又NP=50。，.二 ZA0B=360" -900 -90° -50° =130。,又V ZACB和/AOB分別是弧AB所對的圓周角和圓心角,1_ 1 ZC=2 ZA0B= 2 X 130° =65° .故選 D.6 .如圖，PA、PB為圓。的切線，切點分別為A、B, P0交AB于點C, P0的延長線交圓。于點D,下列結 論不一定成立的是（）A. PA=PBB. ZBPD= ZAPD C. AB1PDD. AB 平分 PD【答案】D【解析】VPA, PB是。的切線

11、，PA=PB,所以A成立；ZBPD=ZAPD,所以B成立：AAB1FD,所以C成立；VPA, PB是GO的切線，AAB1PD,且 AC=BC,只有當ADPB, BDPA時，AB平分PD,所以D不一定成立，故選D.7 .如圖，4.分別與O。相切于Z. 5兩點，點C為O。上一點，連接ZC.8C,若NP = 5O。,則乙K出的度數為（A. 60°；B. 75。；c 70。；D. 65?！敬鸢浮緿【解析】解：連接3. OS,V PA .網分別與相切于4. 6兩點， OALPA OBA.PB ，9 ZOAP = ZOBP =驕 ， ZOg=1800-ZP = 18(y>-50<&g

12、t; = 13(y>-9ZACB = -ZAOB = -xl3(f =65°22 故選：D. C8.如圖，"BC內心為7,連接4并延長交的外接圓于D,則線段以與的關系是（）A. DI=DB B. DI>DB【答案】AC. DI<DBD.不確定【解析】連接81,如圖，4LBC內心為二/l=/2, Z5=Z6,vZ3=Zl,.Z3=Z2,vZ4=Z2+Z6=Z3+Z5,即 Z4=ZDBI,二 DI=DB,故選A.9.如圖，。的直徑止2,點在四的延長線上，比'與。相切于點G連接芯若/后30。，則切長為（）1 也拽A. 3b. 3C. 3d.招【答案】D【

13、解析】如圖所示，連接BC, 0C,AB是直徑,A ZBCA=90° ,又NA=30° ,.二 ZCBA=90° -30° =60° ,DC是切線，A ZBCD=ZA=30° , Z0CD=90° ,A ZD=ZCBA-ZBCD=60Q -30° =30° ,VAB=2,A0C=l,A0D=2, .CD=y/OD2-OC2 = <22 -I2 = 6故選D.，ZC= 106° ,則 ）。的10 .如圖，在ABC中，BC的垂直平分線交它的外接圓于D、E兩點,若NB=24°度數為.【答

14、案】82°【解析】解：TDE垂直平分BC,，DE為直徑，BE = CE設AABC的外接圓的圓心為0,連結0C、0A,如圖,V ZB=24" , ZC= 106° , /- ZBAC=18O0 -240 -106。=50° ，A ZE0C=ZBAC=50" ,V ZA0C=2ZE=48" ,A ZAOD=18O0 -ZC0E-ZA0C=180° -50° 48。=82° ,.二Z。的度數為820 .故答案為82。.11 .己知AABC的一邊長為10,另兩邊長分別是方程+2- 14/+48=0的兩個根若用一圓

15、形紙片將此三角 形完全覆蓋，則該圓形紙片的最小半徑是.【答案】5【解析】解：解方程x2-14x+48=0得:Xi=6, x:=8,即 aABC 的三邊長為 AC=6, BC=8, AB=10,"&=&+&=100, A&=100,AAB:=AC2+BC:, ZC=90°丁若用一圓形紙片將此三角形完全覆蓋，則該圓形紙片正好是AABC的外接圓，1:.AABC的外接圓的半徑是2 AB=5,故答案為：5.12.如圖，PA、PB是8的切線，As B為切點，Z0AB=38" ,貝叱P=° .【答案】76.【解析】解：是O。的切線,.P

16、A=PB,PALOA ZPAB=ZPBA.ZOAP = ZPBA = ZPAB =9(f-ZOAB = 52°一9,ZP = 180°-52°-52° = 76°.故答案為，76.13.如圖，正三角形儂的邊長為2,點出6在半徑為&的圓上，點C在圓內，將正三角形4%繞點/ 逆時針旋轉，當邊/C第一次與圓相切時，旋轉角為.【答案】75°【解析】解：如圖，分別連接宏、0B,：OA = OB =五,AB = 2 ,是等腰直角三角形，.OAB=45是等邊三角形，A ZSXC = 60°:.NCAQ = 1S .,Zb與圓相切，

17、二/。C = 75°,：當邊力C第一次與圓相切時，旋轉角為75故答案為x 75r.，的取值范圍是14,直線/與半徑為，的。°相交，且點°到直線的距離為3 ,【答案】/>6【解析】直愛1與半徑為r的0相交，且點0到直線1的距離*6,/- r>6.故答案為，r>5.15.己知 RIA的 中，NC=90".尺視作圖：作出RtA麗的外接圓（保留作圖痕跡，不寫作法）.【答案】答案見解析A【解析】解：如圖：1.作48的中垂線，交N8于點O.2.以°為圓心，"為半徑畫圓即可.16 .如圖，己知矩形皿是一空曠場地上的小屋示意圖，其中

18、然 也=2： 1.拴住小狗的繩子一端固定 在點力處，請根據下面條件分別畫出小狗在小屋外最大活動區域,(小狗的大小不計)(1)若拴小狗的繩子長度與4?邊長相等，請在圖1中畫出小狗在屋外可以活動的最大區域；(2)若拴小狗的繩子長度與四邊長相等，請在圖2中畫出小狗在屋外可以活動的最大區域.D.|CB4【答案】(1)見解析；(2)見解析.【解析】解，(1)圖1中，小狗在屋外可以活動的最大區域如圖所示,(2)圖2中，小狗在屋外可以活動的最大區域如圖所示.17 .如圖，己知過點P的直線AB交于A, B兩點，P0與00交于點C,且PA=AB=6cm, P0= 12cm.求00的半徑；【答案】00的半徑為6亞

19、cm.【解析】如圖所示，過點0作ODJLAB于點D,貝fJBD=AD=3 cm,二 PD=PA+AD= 6+3=9 (cm),在 RtZPOD 中，0D= VPO-PD2 = V122 -91 cmVbD2 +OD2 = J32 +(3>/7 V =6y/2在 RtZWBD 中，0B=yl / cm,00的半徑為60cm.18 .如圖，為的直徑，C為。上一點，。為數的中點,過點。作直統ZC的垂線，垂足為E,連接8.(1)求證：4="O8；(2)。厄與O0有怎樣的位置關系？請說明理由.【答案】(D見解析；(2。笈與相切，理由見解析.【解析】(1)連接"，QD為5?的中點

20、，:.CD=BD,:.ZBOD = -ZBOC 2,-ZBAC = -ZBOC 2,:.ZA=ZDOBt小形與。°相切，理由如下：-ZA=ZDOBj.AEUODA Z0DE+ZE=180° ,v DE LAE,A ZE=90° ,A Z0DE=90° ,s.ODVDE 又TOD是半徑，二。芯與0°相切.19 .如圖，初是°。的直徑，弦8°與功相交于點區，/尸與。相切于點4,交加的延長線于點F ZF = 30°,Z&4C = 120P,BC=8(1)求。8的度數；(2)求的長度.C/一86A C- .【答案】

21、解，(1)ZADB=3(f (2)3【解析】解，(1) “"與。相切于點力,.AFA.OA .切?是。的直徑，二 ZBAD=9Q°,ZB/C=200,.ZDAC=3Q°,/. ZDBC= ZDA C=3(f,v ZF=30°,.ZF=ZDBaAFII BC,/. OA ± BC,ZSCM=90<,-30o=60<,二 ZADB= ZAOB=3(T；2; OA IBC ,BB=CE=-BC=4 2:AB=AaA 力如是等邊三角形,，AB= OB, ZOBE=3(f 9.OE=OB, BE=-j3OE=4,4-.二 0E= 3,8-工

22、AC=AB=0B=20E= 3 .20.如圖，AB是00的直徑，AC與。0交于點F,弦AD平分N3dC, DEVAC 垂足為E.(1)試判斷直線DE與00的位置關系，并說明理由；(2)若。的半徑為2, 4ZC=6O°,求線段EF的長.【答案】(1)直線DE與00相切；(2) EF = 1.【解析】(1)直線DE與。相切，TAD平分me, ZOAD=ZCAD 9：OA=OD ZOAD = ZODA.ZODA =ZCAD . OD H ACV DEI AC,即 4ED = 90°.:.ZODE 由、即 DE_LOD.DE是。的切線；(2)過0作OG,Z尸于g,-AF = 2AG ? ZBAC=S OA=2 ， ，AG = -OA=2,斤=2, AF = OD J四邊形AO歷是菱形，7 DF/OA DF = OA=29，" ZEFD = ZBAC=60EF = -DF = 221.如圖，五邊形SCDE內接于O。，CV與。相切于點C,交48延長線于點尸.(1)若4E = DC,ZE = ZBCD 求證：DE = BC.(2)若08 = 2,"" =皿= O/,，F = 45。，求c尸的長.【答案】(1)見