1、專題十圖形變換綜合題探究專題【考題研究】本專題主要包括圖形的變換和相似形.其中軸對稱圖形、平移、中心對稱圖形的識.別，相似三角形性質以填空和選擇題為主，主要是考查對圖形的識別和性質；圖形的折疊、平移、旋轉與幾何圖形面積相關的計算問題以填空題和解答題為主，主要是考查對幾何問題的綜合運用能力；而相似三角形的性質及判斷定的應用往往還會結合圓或者解直角三角形等問題一 并考查，主要是以解答題為主。【解題攻略】圖形的軸對稱、平移、旋轉是近年中考的新題型、 熱點題型，它主要考查學生的觀察與 實驗能力，探索與實踐能力，因此在解題時應注意以下方面：1.熟練掌握圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉的基本性 ,質和

2、基本方法。2.結合具體問題大膽嘗試，動手操作平移、 旋轉，探究發現其內在規律是解答操作題的基本方法。3.注重圖形與變換的創新題，弄清其本質，掌握其基本的解題方法，尤其是折疊與旋轉等。【解題類型及其思路】1 .變換中求角度注意平移性質：平移前后圖形全等，對應點連線平行且相等.2 .變換中求線段長時把握折疊的性質：折線是對稱軸、折線兩邊圖形全等、對應點連 線垂直對稱軸、對應邊平行或交點在對稱軸上.3 .變換中求坐標時注意旋轉性質：對應線段、對應角的大小不變，對應線段的夾角等 于旋轉角.4 .變換中求面積，注意前后圖形的變換性質及其位置等情況。【典例指引】類型一【圖形的平移】【典例指引111.兩個三

3、角板 ABC, DEF按如圖所示的位置擺放，點 B與點D重合，邊AB 與邊DE在同一條直線上(假設圖形中所有的點、線都在同一平面內),其中，ZC=/DEF=90°, ZABC= zF=30°, AC= DE= 4 cm.現固定三角板 DEF,將三角板 ABC沿射線 DE方向平 移，當點C落在邊EF上時停止運動.設三角板平移的距離為x (cm),兩個三角板重疊部分的面積為y (cm2).當點C落在邊EF上時，x=cm；(2)求y關于x的函數表達式，并寫出自變量 x的取值范圍；(3)設邊BC的中點為點M,邊DF的中點為點N,直接寫出在三角板平移過程中，點 點N之間距離的最小值.

4、【舉一反三】如圖，將兩塊全等的三角板拼在一起，其中"BC的邊BC在直線l上，AC，BC且AC=BC; AEFP的邊FP也在直線l上，邊 EF與邊AC重合，EF± FP且EF=FP.(1)在圖中，通過觀察、測量，猜想直接寫出AB與AP滿足的數量關系和位置關系，不要說明理由；(2)將三角板AEFP沿直線l向左平移到圖的位置時，EP交AC于點Q,連接AP、BQ.猜想寫出BQ與AP滿足的數量關系和位置關系，并說明理由.類型二【圖形的軸對稱-折疊】【典例指引2】將一個直角三角形紙片 /正。放置在平面直角坐標系中，點 口(斗0卜點點。是邊4天上的一點(點p不與點B重合)，沿著。尸折疊該

5、紙片，得點B的對應點三.(/如圖，當ABOP = 時，求點R'的坐標;(/如圖，當點B落在x軸上時，求點尸的坐標；(Z1SP少與坐標軸平行時，求點 引的坐標(直接寫出結果即可).國ES【舉一反三】如圖，在矩形 ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿 AE折疊，使點D落在CE .(2)若 CD=8, CF=4,求 CE 的值.DE類型三【圖形的旋轉】【典例指弓I 3如圖1,點。是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長 OD到點G, OC到點E,使OG=2OD, OE=2OC,然后以OG OE為鄰邊作正方形 OEFG,連接AG, DE.(1)求證：DEzAG;(2)正方形ABCD固定，將正

6、方形 OEFG繞點O逆時針旋轉a角(0°V a< 360°)得到正方 形OE'FG',如圖2.在旋轉過程中，當 QAG'是直角時，求a的度數；若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉過程中，求 AF長的最大值和此時 a的度數，直接寫 出結果不必說明理由.【舉一反三】(1)(問題發現)如圖1,在Rt"BC中，AB= AC= 2, zBAC= 90°,點D為BC的中點，以 CD為一邊作正方形CDEF點E恰好與點A重合，則線段 BE與AF的數量關系為(2)(拓展研究)在(1)的條件下，如果正方形 CDEF繞點C旋轉，連接BE, C耳AF

7、,線段BE與AF的數量關系有無變化？請僅就圖 2的情形給出證明；(3)(問題發現)當正方形CDEF>轉到B, E, F三點共線時候，直接寫出線段 AF的長.本資料由教學信息分享網()收集整理全網最具性價比的資源網類型四 【圖形的位似】【典例指弓I 4如圖，二次函數 y=x2-3x的圖象經過O (0, 0), A (4, 4), B (3, 0)三 點，以點O為位似中心，在 y軸的右側將ZOAB按相似比2： 1放大，得到QAB,二次函 數y=ax2+bx+c (awi)的圖象經過 O, A： B'三點.(1)畫出zOA'B',試求二次函數 y=ax2+bx+c (a

8、w。的表達式；(2)點P (m, n)在二次函數y=x2-3x的圖象上，mwQ直線OP與二次函數y=ax2+bx+c (aw。的圖象交于點 Q (異于點O).連接AP,若2AP> OQ,求m的取值范圍；當點Q在第一象限內，過點 Q作QQ'平行于x軸，與二次函數y=ax2+bx+c (aw。的圖 象交于另一點 Q；與二次函數y=x2-3x的圖象交于點 M, N (M在N的左側)，直線OQ' 與二次函數y=x2-3x的圖象交于點P'. /Q'PM/QBN,則線段 NQ的長度等于 .【舉一反三】如圖所示，網格紙中的每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點間連

9、線為邊的三角形稱為 格點三角形"，圖中的"BC是格點三角形.在建立平面直角坐標系 后，點B的坐標為(1, 1).把*BC向下平移5格后得到zAiBiCi,寫出點Ai, Bi, Ci的坐標，并畫出zAiBi。；(2)把&BC繞點O按順時針方向旋轉 i80。后得到 AB2Q,寫出點A2, B2, C2的坐標，并畫出 ZA2B2C2；(3)把/ABC以點O為位似中心放大得到 “3B3C3,使放大前后對應線段的比為i/Z寫出點A3, B3,。的坐標，并畫出 ZA3B3C3.r t -1- r i f t T-r t ii- rJ- + r-/中中t ii-rL Ji -J-

10、u L J 4.，J = iu Xyn nr- r i -r r n r t 1 m » 4-b- T-d wk + n-1二JL士士 -* Jpl J- J-l W .k Llr fr-LT F Tm二 « 4 III 4-11 -7 卜r1r.1 J.IL 1 I 4： I ti-i +卜f w - i F 中 啟上Tf .hL Jl一心_L L.L JL Ti ! i b in i i i I 1 -i- r 寸-r r i-r r -rT-I+T + + +I 士H七M，*H卜匕 ，F FT 甲，-H- 5 3 .J _ k_ jL_ k_ X J_ L JL -J

11、L- A. _【新題訓練】1 .在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為i,格點三角形(頂點是網格線的交點的三角形)ABC的頂點A, C的坐標分別為(-4, 5), ( - i, 3).(i)請在如圖所示的網格平面內作出平面直角坐標系；(2)寫出點B的坐標 ；(3)將"BC向右平移5個單位長度，向下平移 2個單位長度，畫出平移后的圖形"BC'(4)計算"BC的面積.(5)在x軸上存在一點 巳 使PA+PC最小，直接寫出點 P的坐標.一不二!二=* a-二*i= T= -=,-_-c=,;，=.=*二=-al_=i.2 .如圖(i),在平面直角坐標系中

12、，點A, B的坐標分別為(-i, 0), (3, 0),將線段AB先向上平移2個單位長度，再向右平移 1個單位長度，得到線段 CD,連接AC, BD,構 成平行四邊形 ABDC.（1）請寫出點C的坐標為，點D的坐標為,S四邊形ABDC（2）點Q在y軸上，且S/QAB= S四邊形ABDC,求出點Q的坐標；（3）如圖（2）,點P是線段BD上任意一個點（不與 B、D重合），連接PC PO,試探索ZDCR zCPQ zBOP之間的關系，并證明你的結論.3 .（問題情境）在綜合實踐課上，同學們以圖形的平移”為主題開展數學活動，如圖先將一張長為4,寬為3的矩形紙片沿對角線剪開，拼成如圖所示的四邊形ABCD

13、,AD 3, BD 4,則拼得的四邊形 ABCD的周長是（操作發現）將圖 中的4ABE沿著射線DB方向平移，連結 AD、BC、AF、一 1 ,tCE ,如圖.當4ABE的平移距離是一BE的長度時，求四邊形 AECF的周長.2（操作探究）將圖 中的4ABE繼續沿著射線 DB方向平移，其它條件不變，當四邊形ABCD是菱形時，將四邊形 ABCD沿對角線剪開，用得到的四個三角形拼成與其面積相等的矩形，直接寫出所有可能拼成的矩形周長4 .如圖，在6 6的正方形方格中，每個小正方形的邊長都為1,頂點都在網格線交點處的三角形，VABC是一個格點三角形.1在圖 中，請判斷VABC與VDEF是否相似，并說明理由

14、；2在圖中，以O為位似中心，再畫一個格點三角形，使它與VABC的位似比為2： 13在圖中，請畫出所有滿足條件的格點三角形，它與VABC相似，且有一條公共邊和一個公共角.5 .已知：AD是 ABC的高，且BD CD.(1)如圖 1,求證： BAD CAD ；(2)如圖2,點E在AD上，連接BE,將 ABE沿BE折疊得到 A'BE , A'B與AC相交于點F ,若BE=BC,求 BFC的大小；(3)如圖3,在(2)的條件下，連接 EF ,過點C作CG EF ,交EF的延長線于點G,若BF 10, EG 6,求線段CF的長.6 .如圖，長方形 OABC在平面直角坐標系xOy的第一象限

15、內，點 A在x軸正半軸上，點C在y軸的正半軸上，點 D、E分別是OC、BC的中點， CDE 30，點E的坐標為2,a(1)求a的值及直線 DE的表達式;(2)現將長方形 OABC沿DE折疊，使頂點C落在平面內的點 C'處，過點C'作y軸的平行線分別交x軸和BC于點F , G .求C'的坐標;若點P為直線DE上一動點，連接PC ',當 PC 'D為等腰三角形，求點 P的坐標.(說明：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)7 .如圖1,四邊形ABCD的對角線AC, BD相交于點O, OB=OD, OC=OA+AB, AD=

16、m,BC=nzABC+"DB=zACB.(1)填空：/BAD與ZACB的數量關系為(2)(3)求m的值；n將“CD沿CD翻折，得到 ACD (如圖2),連接BA；與CD相交于點P.若CD=8 .如圖，直線：y= - "3x+4與x軸、y軸分別別交于點 M、點N,等邊/ABC的高為33,邊BC在x軸上，將 以BC沿著x軸的正方向平移，在平移過程中，得到“iBiCi,當點Bi與原點。重合時，解答下列問題:(1)點A1的坐標為.(2)求“iBiCi的邊AiCi所在直線的解析式；(3)若以P Ai,。、M為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出 P點坐標.9 .已知： "B

17、C和"DE均為等邊三角形，連接 BE, CD,點F, G, H分別為DE, BE, CD 中占(i)當"DE繞點A旋轉時，如圖i,則zFGH的形狀為,說明理由；(2)在 "DE旋轉的過程中，當 B, D, E三點共線時，如圖 2,若AB=3, AD=2,求線段FH的長；(3)在 "DE旋轉的過程中，若 AB=a, AD=b (a>b>0),則zFGH的周長是否存在最大值問題背景折紙是一種許多人熟悉的活動，將折紙的一邊二等分、四等分都是比較容易做到的，但將一邊三等分就不是那么容易了，近些年，經過人們的不懈努力，已經找到了多種將正方形折紙一邊三等

18、分的精確折法，最著名的是由日本學者芳賀和夫發現的三種折法，現在被數學界稱之為芳賀折紙三定理.其中，芳賀折紙第一定理的操作過程及內容如下(如圖i):操彳i:符正方形 ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合.再將正方形 ABCD展開，得到折痕EF；操彳2：再將正方形紙片的右下角向上翻折，使點 C與點E重合，邊BC翻折至B'E的位置，得到折痕 MN, B'E與AB交于點P.則P即為AB的三等分點，即 AP: PB=2: 1 .解決問題(1)在圖1中，若EF與MN交于點Q,連接CQ.求證：四邊形 EQCM是菱形；(2)請在圖1中證明AP: PB=2: l.發現感悟若E為正方形紙

19、片ABCD的邊AD上的任意一點，重復 問題背景”中操作2的折紙過程，請你思考并解決如下問題：(3)如圖2.若DE =2.則變=；AEBP(4)如圖3,若DE=3,則空=；AE BP(5)根據問題(2), (3), (4)給你的啟示，你能發現一個更加一般化的結論嗎？請把你的結論寫出來，不要求證明.11 .在平面直角坐標系中，四邊形 AOBC是矩形，點0(0,0),點A(5,0)，點B(0,3).以點A為中心，順時針旋轉矩形 AOBC,得到矩形ADEF，點O, B, C的對應點分別為D , E, F .圖圖(Z)如圖，當點D落在BC邊上時，求點D的坐標；(Z)如圖，當點D落在線段BE上時，AD與B

20、C交于點H .求證 AADB AAOB ;求點H的坐標.(Z)記K為矩形AOBC對角線的交點，S為KDE的面積，求S的取值范圍(直接寫 出結果即可).12 .已知O為直線MN上一點，OPJMN,在等腰RtZABO中，BAO 90 , ACzOP交OM于C, D為OB的中點，DEZDC交MN于E.如圖1,若點B在OP上，則AC OE(填 匚"或4")線段CA CQ CD滿足的等量關系式是;(2)將圖1中的等腰Rt"BO繞O點順時針旋轉(045 ),如圖2,那么 中的結論 是否成立？請說明理由;(3)將圖1中的等腰Rt"BO繞O點順時針旋轉()，請你在圖3中

21、畫出圖形，并直接寫出線段CA、CO CD滿足的等量關系式AB - /C ,點 D上，AD =AE，連接。，點M ,產出】分別為DE , DC , BC的中點.13 .如圖1,在瓦，如C中，工”95(1)觀察猜想圖1中，線段與X的數量關系是 ,位置關系是 (2)探究證明把AIDE繞點T逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接 W , CE ,判斷aF.UV的 形狀，并說明理由；(3)拓展延伸把工山E繞點T在平面內自由旋轉，若AD=4 , .45 = 10 ,請直接寫出APA6面積的 最大值.14 .已知 皿AN=135°,正方形 ABCD繞點A旋轉.(1)當正方形 ABCD旋轉到zdMAN的外

22、部(頂點 A除外)時，AM, AN分別與正方形ABCD的邊CB, CD的延長線交于點 M, N,連接MN.如圖1,若BM=DN,則線段 MN與BM+DN之間的數量關系是 ；如圖2,若BM為N,請判斷中的數量關系是否仍成立？若成立，請給予證明；若不 成立，請說明理由；(2)如圖3,當正方形ABCD旋轉至IJ皿AN的內部(頂點 A除外)時，AM, AN分別與直 線BD交于點M, N,探究：以線段 BM, MN, DN的長度為三邊長的三角形是何種三角 形，并說明理由.15 .已知：如圖，是由一個等邊ZABE和一個矩形BCDE拼成的一個圖形，其點 B, C, D的坐標分別為(1, 2), (1, 1)

23、, (3, 1).(1)直接寫出E點和A點的坐標；(2)試以點B為位似中心，作出位似圖形A1B1C1D1E1,使所作的圖形與原圖形的位似比為 3/1;(3)直接寫出圖形 A1B1GD1E1的面積.16 .如圖1,將長為10的線段OA繞點。旋轉90得到OB,點A的運動軌跡為 Ab，P是半徑OB上一動點，Q是AB上的一動點，連接 PQ.發現：zPOQ=時，PQ有最大值，最大值為 ;思考：(1)如圖2,若P是OB中點，且QPQB于點 巳 求Bq的長；(2)如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點B的對應點B'恰好落在OA的延長線上, 求陰影部分面積；探究：如圖4,將扇形OAB沿PQ折疊，使折

24、疊后的弧 QB'恰好與半徑OA相切，切點為C,若OP=6,求點O到折痕PQ的距離.17 .(本小題10分) 將一個直角三角形紙片 ABO,放置在平面直角坐標系中，點A(J3, 0),點B (0, 1),點O (0, 0).過邊OA上的動點M (點M不與點O, A重合)作MN"B于點N,沿著MN折疊該紙片，得頂點 A的對應點A'.設OM =m,折疊后的"MN與四邊形OMNB重疊部分的面積為 S.圖(Z)如圖，當點A與頂點B重合時，求點M的坐標;(Z)如圖，當點A落在第二象限時，AM與OB相交于點C,試用含m的式子表示S;(4當S=近時，求點M的坐標(直接寫出結

25、果即可)2418 .如圖 1, 一副直角三角板滿足 AB=BC, AC=DE, "BC=ZDEF=90°, zEDF=30操作：將三角板 DEF的直角頂點E放置于三角板 ABC的斜邊AC上，再將三角板 DEF繞點E旋轉，并使邊 DE與邊AB交于點巳邊EF與邊BC于點Q.探究一：在旋轉過程中，CE .(1)如圖2,當 一 1時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系？并給出證明；EACE(2)如圖3,當 2時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系？并說明理由；EACF(3)根據你對(1)、(2)的探究結果，試寫出當 m時，EP與EQ滿足的數量關系式EA為,其中m的取值范圍是 .(直接寫出結論，

26、不必證明)CE探允二：右 2且AC=30cm,連接PQ,設ZEPQ的面積為S (cm2),在旋轉過程中：EA(1) S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由.(2)隨著S取不同的值，對應zEPQ的個數有哪些變化，求出相應 S的值或取值范圍.專題十圖形變換綜合題探究專題【考題研究】本專題主要包括圖形的變換和相似形.其中軸對稱圖形、 平移、中心對稱圖形的識.別，相似三角形性質以填空和選擇題為主，主要是考查對圖形的識別和性質；圖形的折疊、平移、旋轉與幾何圖形面積相關的計算問題以填空題和解答題為主，主要是考查對幾何問題的綜合運用能力；而相似三角形的性質及判斷定的應用往往

27、還會結合圓或者解直角三角形等問題一并 考查，主要是以解答題為主。【解題攻略】圖形的軸對稱、平移、旋轉是近年中考的新題型、熱點題型，它主要考查學生的觀察與實驗能力，探索與實踐能力，因此在解題時應注意以下方面：1.熟練掌握圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉的基本性質和基本方法。2.結合具體問題大膽嘗試， 動手操作平移、旋轉, 探究發現其內在規律是解答操作題的基本方法。 3.注重圖形與變換的創新題， 弄清其本質， 掌握其基本的解題方法，尤其是折疊與旋轉等。【解題類型及其思路】1 .變換中求角度注意平移性質：平移前后圖形全等，對應點連線平行且相等.2 .變換中求線段長時把握折疊的性質：折線是對稱軸、

28、折線兩邊圖形全等、對應點連線垂 直對稱軸、對應邊平行或交點在對稱軸上.3 .變換中求坐標時注意旋轉性質：對應線段、對應角的大小不變，對應線段的夾角等于旋 轉角.4 .變換中求面積，注意前后圖形的變換性質及其位置等情況。【典例指引】類型一【圖形的平移】【典例指引111.兩個三角板 ABC, DEF按如圖所示的位置擺放，點B與點D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上(假設圖形中所有的點、線都在同一平面內)，其中，/ C= Z DEF= 90°, /ABC= Z F= 30°, AC= DE= 4 cm.現固定三角板 DEF,將三角板 ABC沿射線DE方向 平移，當點C落在邊EF上

29、時停止運動.設三角板平移的距離為 x (cm),兩個三角板重疊部 分的面積為y (cm2).當點C落在邊EF上時，x=cm；(2)求y關于x的函數表達式，并寫出自變量 x的取值范圍；(3)設邊BC的中點為點M,邊DF的中點為點N,直接寫出在三角板平移過程中，點M與點N之間距離的最小值.【答案】(1)10;(2)見解析;【解析】分析：(1)由銳角三角函數，得到 BG的長，進而得出 GE的長，又矩形的性質可求解；(2)分類討論：當04V4時，根據三角形的面積公式可得答案；當44V8時，當8 x 10時，根據面積的和差求解；(3)根據點與直線上所有點的連線中垂線段最短，可得M在線段NG上，根據三角形

30、的中位線，可得NG的長，根據銳角三角函數，可得 MG的長，然后根據線段的和差求解詳解：(1)如圖：作CG± AB于G點.在 RtAABC 中，由 AC=4, /ABC=30,得=4 5/3 .ACBC= o tan 30o在 RtABCG中，BG=BC?coS30° =6四邊形CGEH是矩形,CH=GE=BG+BE=6+4=10cm,故答案為：10 .(2)當0 x 4時，如解圖. /GDB= 60°, / GBD= 30°, .DB=x, DG= x, BG= x,重疊部分的面積y=：DG BG=x>'x=4 x 8時,如解圖0 .4BD

31、= x, DG= xBG='?x, BE= x-4,EH=(x 4)重疊部分的面積 y=Szwg SBEH= DG BG BE EH, 即 y=lXxg'x ( (x 4) xj (x 4),化簡彳導:y-3x2 土3x 8-12433當8 x 10時，如解圖AC= 4, BC= 4fi, BD=x, BE= x- 4,EG= (x 4)重疊部分的面積 y=szabc Sabeg= AC BC BE EG, 即 y=?X 45- (x 4)M： (x 4),化簡彳導:y16 33.3 2x (0 x 4) 83 24.38.3“ Q、綜上所述，yx x (4 x 8)24333

32、 2 4-316,3 ox x 8 x 10633(3),3【名師點睛】此題主要考查了幾何變換綜合，利用銳角三角函數和矩形的性質，利用三角形的面積，面積的和差，分類討論是解題關鍵，以防遺漏，利用垂線段最短，三角形的中位線定理，銳角三角函數解答即可.【舉一反三】如圖，將兩塊全等的三角板拼在一起，其中AABC的邊BC在直線l上，ACXBC且AC=BC; 4EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，EF± FP且EF=FP.(1)在圖中，通過觀察、測量，猜想直接寫出AB與AP滿足的數量關系和位置關系，不要說明理由；(2)將三角板AEFP沿直線l向左平移到圖的位置時，EP交AC于點Q,

33、連接AP、BQ.猜想寫出BQ與AP滿足的數量關系和位置關系，并說明理由.JLfE)| E J圖圖【答案】(1) AB=AP且AB，AP, (2) BQ與AP所滿足的數量關系是 AP=BQ,位置關系是 APXBQ【解析】分析：(1)根據等腰直角三角形性質得出AB=AP, / BAC=/PAC=45°,求出/ BAP=90°即可;(2)求出 CQ=CP,根據 SAS證BC®AACP),推出 AP=BQ, / CBQ=/PAG 根據三角形內角和定理求出/ CBQ+ZBQC=90°,推出/ PAG/AQG=90°,求出/ AGQ=90°即可.

34、詳解：(1) AB=AP且AB,AP。理由如下：AC± BC且AC=BC,. ABC為等腰直角三角形，1 ./ BAC=/ABC=2 (180°-/ACB =45°.又ABC與EFP全等，同理可證/ PEF=45 °,./BAP=45° +45° =9Q°，AB=AP 且 AB, AP.(2) BQ與AP所滿足的數量關系是 AP=BQ,位置關系是 API BQ,理由如下: 延長 BQ 交 AP 于 G,由(1)知，/ EPF=45°, Z ACP=90°,/ PQC=45° 2 QPC, CQ=

35、CP. . Z ACB=Z ACP=90 °, AC=BC, 在 ABCQ和 AACP中，BC ACBCQ ACPCQ CP.BCg AACP (SAS,AP=BQ, /CBQ=/PAC . Z ACB=90 °,Z CBC+Z BQC=90 °. / CQB=Z AQG,/ AQG+ / PAC=90 °,AGQ=180° - 90° =90； . . API BQ.B點睛：本題考查了等腰直角三角形性質和全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點，主要考查了學生的推理能力和猜想能力，題目比較好.類型二【圖形的軸對稱-折疊】【

36、典例指引2】將一個直角三角形紙片 qao放置在平面直角坐標系中，點 乂（斗口卜點 月£0閨，點。9。沖是邊4方上的一點（點P不與點肌B重合），沿著。尸折疊該紙片，得點B 的對應點-.（I ）如圖，當Z.BOP = 3臚時，求點R1的坐標;（n）如圖，當點R落在北軸上時，求點p的坐標;（出）當,與坐標軸平行時，求點 B-的坐標（直接寫出結果即可）.（I ）點B的坐標為（2例,2） ； （ n ）點P的坐標為（12，£ ）;（出）點B'的坐標為（16 512 八)或5【解析】（I）如圖，過B作BCax軸于C,由B點坐標可得 OB的長，根據折疊的性質可得/BOF=/POB

37、' =30° OB=OB；即可求出/ BOC=30°,利用/ BOC的正弦和余弦值求出BC和OC的長即可得點B'的坐標；（n ）過P作PDx軸，由折疊性質可知/ BOF=ZBOP=45 °,可得PD=OD, DA=3-OD,利用/ OAB的正切值即可求出 PD的值，進而可得點 P的坐標；（出）分兩種情況討論：當 PB' X軸時，過B作BE，x軸于E,根據平行線的性質 和折疊的性質可得/ B'OE=/OBA,利用/ BOE的正弦和余弦求出 BE和OE的長即可得點 B'的坐標；當PB' y/軸時，PB工x軸，設PB

38、9;交x軸于F,根據折疊性質可得/ B'2 OBA,利用/ B的正弦和余弦即可求出OF和BF的長，即可得點 B'的坐標.【詳解】（I）如圖，過B作BCa x軸于C,- A （3, 0）, B （0, 4）,.OB=4, OA=3, 沿著1c曲疊該紙片，得點號的對應點b，.BOP=Z POB' =30° OB' OB=4, ./ B OC=30°,BC=OB：sin30° =2 OC= OB： cos30° 第， 點B的坐標為（25 2）（陰如圖，過點P作PD）±x軸于D,OPB是OPB沿OP折疊得到，點 竄落在天

39、軸上, ./ BOP=Z BOP=45° ,PD=OD,AD=OA-OD=3-OD,1. tan / PAD=PI>下口 。¥ 4.金¥0sA 鵬PD=ODZ，點P的坐標為（，）Aim .一（出）如圖，當 PB'必軸時，過 B作B'E，x軸于E, . OPB'是OPB沿OP折疊得到，/PBO=/OBA, 0 B=OB=4,- 0A=3, OB=5, . AB=5,. PB' X 軸, ./ PBO=Z BOE, ./ BOE=Z OBA,.sin/BOE=sin/OBA=qt=_ , cos/ BOE=oc=,AB 白AB S

40、.BE=OB：sinZ BOE=、，OE=OB：cosZ BOE=.點B的坐標為(1、).如圖，當PB' y軸時，則PB±x軸，設PB'交x軸于F,/ B' £ OBA,. .sin/B）, cosZ Bz =,.n/B 亙， £BF=OB cosZ B1 =點B在第四象限, .點B的坐標為（，-）1£ 空 35綜上所述：點B坐標為（絲，或£.5 SS 5【名師點睛】本題考查折疊的性質、平行線的性質及銳角三角函數的定義，正確得出折疊后的對應邊和對應角并熟練掌握三角函數的定義是解題關鍵【舉一反三】如圖，在矩形 ABCD中，

41、點E在邊CD上，將該矩形沿 AE折疊，使點D落在CE（2）若CD=8, CF=4,求 的值.DE【答案】（1）證明見試題解析；（2）-.5【解析】（1）由折疊的性質，可以得到DG=FG, ED=EF, / 1=/2,由FG/ CD,可彳導/ 1 =Z3,再證明FG=FE,即可得到四邊形 DEFG為菱形； CE（2）在RtAEFC中，用勾股定理列方程即可 CD、CE,從而求出的值.DE【詳解】解：（1）證明：由折疊的性質可知：DG=FG, ED=EF, / 1 = /2, . FG/ CD,2=/ 3,FG=FE. DG=GF=EF=DE,四邊形DEFG為菱形；(2)設DE=x,根據折疊的性質，

42、EF=DE=x, EC=8 - x,在 RtAEFC, FC 2 EC2 EF 2,即 42(8 x)2 x2 ,解得：x=5, CE=8-x=3,CE 3-=.DE 5SF C考點：1 .翻折變換(折疊問題)；2.勾股定理；3.菱形的判定與性質；4.矩形的性質；5.綜合題.類型三【圖形的旋轉】【典例指弓I 3如圖1,點。是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長 OD到點G, OC到點E,使OG=2OD, OE=2OC,然后以 OS OE為鄰邊作正方形 OEFG 連接AG, DE.成圖1E圖2(1)求證：DE, AG；(2)正方形ABCD固定，將正方形 OEFG繞點O逆時針旋轉 a角(0。 “

43、V 360。)得到正方形OE'FG',如圖2.在旋轉過程中，當/ OAG'是直角時，求”的度數；若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉過程中，求 AF長的最大值和此時 a的度數，直接寫出結果不必說明理由.【答案】（1）見解析；（2）30。或150。，AF的長最大值為2Y2,此時2315°.【解析】（1）延長ED交AG于點H,易證祥O8 DOE,得到/ AGO=/DEO,然后運用等量代換證明/ AHE=90。即可；（2）在旋轉過程中，/ OAG成為直角有兩種情況：”由0。增大到90。過程中，當/OAG' =9時，燈30°, a由90°增大

44、到180°過程中，當/ OAG' =9時，爐150°；當旋轉到A、O、F在一條直線上時，AF的長最大，AF'AO+OF'42+2,此時a=315 °.2【詳解】（1）如圖1,延長ED交AG于點H, 點O是正方形ABCD兩對角線的交點，OA=OD, OA± OD,OG=OE,在AAOG和ADOE中，OA ODAOG DOE 90 ,OG OE. AO8 DOE,/ AGO=Z DEO, . / AGO+Z GAO=90°, ./ GAO+Z DEO=90°, ./ AHE=90°,即 DE, AG；(2

45、)在旋轉過程中，/OAG成為直角有兩種情況:(I )a由0°增大到90°過程中，當/ OAG' =9時,11OA=OD= - OG= - OG； 22OA 1在 Rt4AG'中，sin/AG'O=±_=_ ,OG 2 ./ AGO=30 OAXODAXAG；.OD/AG/ ,DOG，AGO=30 即 of30°F在一條直線上時AF'的長最大,(n ) a由90增大到180過程中,當Z OAG' =9時,同理可求/ BOG' =3Q°a=180° -30 =150 .綜上所述，當/OAG&

46、#39; =9W，a=30或150°如圖3,當旋轉到A.O、正方形ABCD的邊長為1,OA=OD=OC=OB=OG=2OD,. OG' OG=、2 , .OF' = 2 .AF，AO+OF，2+22/ COE =45° 此時 a=315°【名師點睛】 本題考查的是正方形的性質、旋轉變換的性質以及銳角三角函數的定義，掌握正方形的四 條邊相等、四個角相等，旋轉變換的性質是解題的關鍵，注意特殊角的三角函數值的應 用.【舉一反三】（1）（問題發現） 如圖1,在Rt4ABC中，AB=AC= 2, / BAC= 90°,點D為BC的中點，以 CD為一

47、邊作正方形CDEF點E恰好與點A重合，則線段 BE與AF的數量關系為（2）（拓展研究）在（1）的條件下，如果正方形 CDEF繞點C旋轉，連接BE, CE, AF,線段BE與AF的數量關系有無變化？請僅就圖 2的情形給出證明；（3）（問題發現）當正方形CDEF旋轉到B, E, F三點共線時候，直接寫出線段AF的長.【答案】（1） BE=>/2AF; （2）無變化；（3） 43 T 或 43+1.【解析】（1）先利用等腰直角三角形的性質得出AD= J2 ,再得出BE=AB=2,即可得出結論；（2）先利用三角函數得出 CA 巨,同理得出CF 叵,夾角相等即可得出ZCFACB 2CE 2BCE進

48、而得出結論；（3）分兩種情況計算，當點 E在線段BF上時，如圖2,先利用勾股定理求出EF=CF=AD= 近,BF=6 ,即可得出BE=J6 - J2 ,借助(2)得出的結論，當點E在線段BF的延 長線上，同前一種情況一樣即可得出結論.【詳解】解：(1)在RtAABC中，AB=AC=2,根據勾股定理得，BC=、, 2 AB=2 . 2，點D為BC的中點，AD=1bC=72， 四邊形 CDEF是正方形，AF=EF=AD=、2, , BE=AB=2, , BE=72AF,故答案為BE=、2 AF;(2)無變化；如圖 2,在 RtAABC中，AB=AC=2, / ABO / ACB=45°,

49、sin / ABC= CA 立,CB 2 ',、_ _ 1_。在正方形 CDEF中，/ FEC=- ZFED=45 ,在 Rt4CEF中，sin/FEGCFCE CF CACE CB ' / FCE=Z ACB=45°, /. / FCE / ACE=/ ACB / AC耳 /. / FCA=Z EC玲BE CB .一- .ACD BCE 1 =、2，1- BE= . 2 AF, 線段BE與AF的數量關系無變化；(3)當點E在線段AF上時，如圖2,由（1）知，CF=EF=CD= , 2 ,在 Rt4BCF 中，CF=72，BC=2 72，根據勾股定理得，BF=而，.二

50、BE=BF- EF=76 - 近,由(2)知，BE= 72 AF,AF= V3 - 1,當點E在線段BF的延長線上時，如圖 3,在 RtAABC 中，AB=AC=2, /. Z ABC=Z ACB=45°sinZ ABC=CA _ZCB 21。在正萬形 CDEF中，Z FEC=- ZFED=45 ,2在 RtCEF中，sin/FEGCL 正CE 2 'CFCECACB，. / FCE=Z ACB=45°, /. Z FCB/ACB=/FCB+/FC耳 /. Z FCA=/ECEBE CB -.acdabce =72，be=/2af,由（1）知，CF=EF=CD=在

51、RtABCF 中，CF= J2 , BC=2 72，根據勾股定理得，BF=J6 ,BE=BF+EF= J6+J2，由（2）知,BE=J2 AF,AF= J3+1.即：當正方形CDEF旋轉到B, E, F三點共線時候，線段 AF的長為 四-1或J3+1.類型四【圖形的位似】【典例指弓I 4如圖，二次函數 y=x2-3x的圖象經過 O (0, 0), A (4, 4), B (3, 0)三點，以點O為位似中心，在 y軸的右側將AOAB按相似比2： 1放大，得到 9AB；二次函 數y=ax2+bx+c (aw。的圖象經過 O, A： B'三點.(1)畫出OAB',試求二次函數 y=a

52、x2+bx+c (aO的表達式；(2)點P (m, n)在二次函數y=x2-3x的圖象上，mwQ直線OP與二次函數y=ax2+bx+c (aw。的圖象交于點 Q (異于點O).連接AP,若2AP> OQ,求m的取值范圍；當點Q在第一象限內，過點 Q作QQ平行于x軸，與二次函數 y=ax2+bx+c (awQ的圖象交于另一點Q',與二次函數y=x2-3x的圖象交于點 M, N (M在N的左側)，直線OQ與二次函數y=x2-3x的圖象交于點 P'. Q'P'MsqbN,則線段NQ的長度等于 (1)二次函數的解析式為 y= lx2-3x; (2)1 - J5 v

53、 m v 1 +J5 且mw&62【解析】(1)根據位似的性質得出A' (8, 8), B'(6,0),將O (0,0),A' (8,8),B'(6, 0)代入y=ax2+bx+c,利用待定系數法進行求解即可得；(2)如圖1 ,由P ( m, n)在二次函數 y=x2 - 3x的圖象上，可得 P ( m , m2- 3m),根 據待定系數法易求得 OP的解析是為y= (m-3) x,繼而可求得 Q (2m, 2m2-6m),過點 P作PCx軸于點C,過點Q作QDx軸于點D,證明ZOCP AODQ,可得OQ=2OP,然 后根據2AP>OQ,可得AP&

54、gt;OP,從而可得關于 m的不等式，解不等式即可得；如圖 2, P (m, m2-3m), Q (2m, 2m2-6m),根據點 Q在第一象PM,可得 m>3,1 2 oy - x 3xQQ'的表達式是y=2m2- 6m,解萬程組 2,可得點Q (6-2m, 2m2-6m),2y 2m 6m繼而可得OQ'的解析式為y= - mx,從而求得點 P'(3-m, m2-3m),由QQ與y=x2-3x交 于點M、N,求出點M、N的坐標，再根據 Q'P'MsAQBN,根據相似三角形的性質可得 關于的方程，解方程求出m的值即可得答案.【詳解】(1)如圖1,由

55、以點O為位似中心，在y軸的右側將4OAB按相似比2： 1放大，"A' OB' 1得OA OB 2- A (4, 4), B (3, 0),.A，(8, 8), B/ (6, 0),將 O (0, 0), A' (8, 8), B' (6, 0)代入 y=ax2+bx+c,得36a 6b c 0,解得64a 8b c 8，二次函數的解析式為y= - x - 3x；(2)如圖1 , P (m, n)在二次函數y=x2-3x的圖象上，n=m2- 3m,1. P (m , m2 - 3m),設直線OP的解析式為y=kx,將點P (m, m2-3m)代入函數解析

56、式,得 mk=m2 - 3m ,k=m 3,.OP的解析是為y= (m-3) x,1c 、一，(不符合題意舍去)2m2m 6m OP與 y/x2 - 3x交于 Q點，y -x2 3x2Q (2m, 2m2- 6m),過點P作PCX x軸于點C,過點Q作QD)± x軸于點D,則 OC=|m|, PC=|m2- 3m| , OD=|2 m| , QD=|2 m2-6m| ,.OD OQ 2OC OP ' . OCM AODQ, . OQ=2OP,. 2AP> OQ, .2AP> 2OP,即 AP>OP,J m 4 2 m2 3m 4 Jm2 m2 3m，化簡，得 m2- 2m - 4< 0,解得 1 - J5 V mv 1 +J5