1、第第13章控制系統的根軌跡分析章控制系統的根軌跡分析主要內容n控制系統的根軌跡分析n圖形化根軌跡法分析與設計13.1控制系統的根軌跡法分析控制系統的根軌跡法分析13.1.1 根軌跡及根軌跡法概述根軌跡及根軌跡法概述n以繪制根軌跡的基本規(guī)則為基礎的圖解以繪制根軌跡的基本規(guī)則為基礎的圖解法是獲得系統根軌跡是很實用的工程方法是獲得系統根軌跡是很實用的工程方法。通過根軌跡可以清楚地反映如下的法。通過根軌跡可以清楚地反映如下的信息：信息：n臨界穩(wěn)定時的開環(huán)增益；閉環(huán)特征臨界穩(wěn)定時的開環(huán)增益；閉環(huán)特征根進入復平面時的臨界增益；選定根進入復平面時的臨界增益；選定開環(huán)增益后，系統閉環(huán)特征根在根開環(huán)增益后，系統

2、閉環(huán)特征根在根平面上的分布情況；參數變化時，平面上的分布情況；參數變化時，系統閉環(huán)特征根在根平面上的變化系統閉環(huán)特征根在根平面上的變化趨勢等。趨勢等。13.1.2 MATLAB根軌跡分析的相關函數根軌跡分析的相關函數nMATLAB中提供了中提供了 rlocus()函數，函數，可以直接用于系統的根軌跡繪制。可以直接用于系統的根軌跡繪制。還允許用戶交互式地選取根軌跡上還允許用戶交互式地選取根軌跡上的值。其用法見表的值。其用法見表13.1。更詳細的。更詳細的用法可見幫助文檔用法可見幫助文檔 rlocus(G) rlocus(G1,G2,.)rlocus(G,k)r,k = rlocus(G)r =

3、rlocus(G,k) 繪制指定系統的根軌跡 繪制指定系統的根軌跡。多個系統繪于同一圖上 繪制指定系統的根軌跡。K為給定增益向量 返回根軌跡參數。r為復根位置矩陣。r有l(wèi)ength(k)列，每列對應增益的閉環(huán)根 返回指定增益k的根軌跡參數。r為復根位置矩陣。r有l(wèi)ength(k)列，每列對應增益的閉環(huán)根K,POLES = rlocfind(G)K,POLES= rlocfind(G,P) 交互式地選取根軌跡增益。產生一個十字光標，用此光標在根軌跡上單擊一個極點，同時給出該增益所有對應極點值 返回P所對應根軌跡增益K，及K所對應的全部極點值sgrid sgrid(z,wn) 在零極點圖或根軌跡圖

4、上繪制等阻尼線和等自然振蕩角頻率線。阻尼線間隔為0.1，范圍從0到1，自然振蕩角頻率間隔1rad/s，范圍從0到10 在零極點圖或根軌跡圖上繪制等阻尼線和等自然振蕩角頻率線。用戶指定阻尼系數值和自然振蕩角頻率值13.1.3MATLAB根軌跡分析實根軌跡分析實例例 n例例1：若單位反饋控制系統的開環(huán)傳：若單位反饋控制系統的開環(huán)傳遞函數為遞函數為 繪制系統的根軌跡。繪制系統的根軌跡。( )(1)(5)gkkG ss ss程序如下：程序如下： clf;num=1;den=conv(1 1 0,1 5);rlocus(num,den) %繪制根軌跡繪制根軌跡axis(-8 8 -8 8)figure(

5、2)r=rlocus(num,den); %返回根軌跡參數返回根軌跡參數plot(r, -) %繪制根軌跡，注意繪制根軌跡，注意r要用轉置要用轉置axis(-8 8 -8 8)gtext(x) %鼠標放置一個文本到圖上鼠標放置一個文本到圖上gtext(x) %鼠標確定文本的左下角位置鼠標確定文本的左下角位置gtext(x)-8-6-4-202468-8-6-4-202468Root LocusReal AxisImaginary Axis-8-6-4-202468-8-6-4-202468xxx(a) 直接繪制根軌跡直接繪制根軌跡 (b) 返回參數間接繪制根軌跡返回參數間接繪制根軌跡 圖圖13

6、.2 例例1系統根軌跡系統根軌跡n例例2：若單位負反饋控制系統的開環(huán)傳：若單位負反饋控制系統的開環(huán)傳遞函數為，繪制系統的根軌跡，并據根遞函數為，繪制系統的根軌跡，并據根軌跡判定系統的穩(wěn)定性。軌跡判定系統的穩(wěn)定性。)2)(1(3)(2sssssGnum=1 3;den=conv(1 1,1 20);G=tf(num,den);rlocus(G)figure(2) %新開一個圖形窗口新開一個圖形窗口Kg=4;G0=feedback(tf(Kg*num,den),1);step(G0)Root LocusReal AxisImaginary Axis-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.

7、5-10-8-6-4-20246810System: GGain: 4.02Pole: -0.247 + 2.18iDamping: 0.113Overshoot (%): 70Frequency (rad/sec): 2.19System: GGain: 45.1Pole: -0.0575 - 6.84iDamping: 0.0084Overshoot (%): 97.4Frequency (rad/sec): 6.84圖圖13.3 例例2系統根軌跡系統根軌跡 分析：由根軌跡圖分析：由根軌跡圖13.3，對于任意的，對于任意的Kg ，根軌跡均在根軌跡均在s左半平面。系統都是穩(wěn)定的。左半平面。系

8、統都是穩(wěn)定的。 可取增益可取增益Kg=4和和Kg=45并通過時域分并通過時域分析驗證。下圖分別給出了析驗證。下圖分別給出了Kg=4時和時和Kg=45時系統的單位階躍響應曲線。可時系統的單位階躍響應曲線。可見，在見，在Kg=45時因為極點距虛軸很近，時因為極點距虛軸很近，振蕩已經很大。振蕩已經很大。4gK Step ResponseTime (sec)Amplitude051015202500.20.40.60.811.21.41.61.8System: G0Peak amplitude: 1.64Overshoot (%): 64.4At time (sec): 1.4401234567891

9、000.20.40.60.811.21.41.61.82Step ResponseTime (sec)Amplitude(a) 時系統時域響應曲線時系統時域響應曲線 (b) 時系統時域響應曲線時系統時域響應曲線圖圖13.4 例例2系統時域響應曲系統時域響應曲線線n例例3：若單位負反饋控制系統的開環(huán)：若單位負反饋控制系統的開環(huán)傳遞函數為傳遞函數為 (0.5)( )(1)(2)(5)gkksG ss sss繪制系統的根軌跡，確定當系統繪制系統的根軌跡，確定當系統穩(wěn)定時，參數的取值范圍。穩(wěn)定時，參數的取值范圍。clear;num=1 0.5;den=conv(1 3 2,1 5 0);G=tf(nu

10、m,den);K=0:0.05:200;rlocus(G,K)K,POLES= rlocfind(G)figure(2)Kg=95;t=0:0.05:10;G0=feedback(tf(Kg*num,den),1);step(G0,t)Root LocusReal AxisImaginary Axis-16-14-12-10-8-6-4-2024-15-10-5051015圖圖13.5 例例3系統根軌跡系統根軌跡Select a point in the graphics windowselected_point = -0.0071 + 3.6335iK = 95.5190POLES = -7

11、.4965 -0.0107 + 3.6353i -0.0107 - 3.6353i -0.4821 01234567891000.20.40.60.811.21.41.61.82Step ResponseTime (sec)Amplitude圖圖13.6 例例3系統時的階躍響系統時的階躍響應應分析：由根軌跡圖分析：由根軌跡圖13.5，結合臨界穩(wěn)定值可知，系統穩(wěn)定時，結合臨界穩(wěn)定值可知，系統穩(wěn)定時，臨界穩(wěn)定時的階躍響應曲線如圖臨界穩(wěn)定時的階躍響應曲線如圖13.6。例例4:若單位反饋控制系統的開環(huán)傳遞函數為若單位反饋控制系統的開環(huán)傳遞函數為 ( )(2)gkKG ss s繪制系統的根軌跡，并觀察當

12、時的值。繪繪制系統的根軌跡，并觀察當時的值。繪制時的系統單位階躍響應曲線。制時的系統單位階躍響應曲線。clear;num=1;den=1 2 0;G=tf(num,den);rlocus(G)sgrid(0.707,) %畫等阻尼系數線畫等阻尼系數線K,POLES=rlocfind(G)運行結果：運行結果：Root LocusReal AxisImaginary Axis-2.5-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5System: GGain: 1.97Pole: -1 + 0.983iDamping: 0.713Overshoot (%): 4.09Freque

13、ncy (rad/sec): 1.40.7070.707圖圖13.7 例例4系統根軌跡系統根軌跡Select a point in the graphics windowselected_point = -0.9964 + 0.9829iK = 1.9661POLES = -1.0000 + 0.9829i -1.0000 - 0.9829i繪制時系統的單位階躍響應曲線：繪制時系統的單位階躍響應曲線：figure(2)Kg=1.97;t=0:0.05:10;G0=feedback(tf(Kg*num,den),1);step(G0)Step ResponseTime (sec)Amplitud

14、e012345600.20.40.60.811.21.4System: G0Peak amplitude: 1.04Overshoot (%): 4.12At time (sec): 3.18圖圖13.8 例例4當時系統的單位階躍響應曲當時系統的單位階躍響應曲線線13.2圖形化根軌跡法分析與設計nMATLAB圖形化根軌跡法分析與設計工具rltool是對SISO系統進行分析設計的。既可以分析系統根軌跡，又能對系統進行設計。其方便性在于設計零極點過程中，能夠不斷觀察系統的響應曲線，看其是否滿足控制性能要求，以此來達到提高系統控制性能的目的。13.2.1圖形化根軌跡法分析圖形化根軌跡法分析與設計工具

15、與設計工具rltooln用戶在命令窗口輸入用戶在命令窗口輸入rltool命令即可打開圖命令即可打開圖形化根軌跡法分析與設計工具，如圖形化根軌跡法分析與設計工具，如圖13.9。圖圖13.9 rltool初始界面初始界面n也可以指定命令參數，其具體用法如表13.2：rltool(Gk)指定開環(huán)傳遞函數指定開環(huán)傳遞函數 rltool(Gk,Gc) 指定待校正傳遞函數和校正環(huán)節(jié)指定待校正傳遞函數和校正環(huán)節(jié)rltool(Gk,Gc,LocationFlag,FeedbackSign) 指定待校正傳遞函數和校正環(huán)節(jié)，并指定校正環(huán)節(jié)指定待校正傳遞函數和校正環(huán)節(jié)，并指定校正環(huán)節(jié)的位置和反饋類型的位置和反饋類型

16、LocationFlag = forward: 位于前向通道位于前向通道LocationFlag = feedback: 位于反饋通道位于反饋通道FeedbackSign = -1: 負反饋負反饋FeedbackSign = 1: 正反饋正反饋 圖圖13.10 rltool工具工具Control Architecture窗口窗口 用戶可以用戶可以通過通過Control Architecture窗口窗口進行系統進行系統模型的修模型的修改，如圖改，如圖13.10。圖圖13.11 rltool工具工具System Data窗口窗口 也可通過也可通過System Data窗窗口為不同口為不同環(huán)節(jié)導入環(huán)

17、節(jié)導入已有模型，已有模型，如圖如圖13.11。圖圖13.12 rltool工具工具Compensator Editor窗口窗口 可以通過可以通過Compensator Editor的的快捷菜單快捷菜單進行校正進行校正環(huán)節(jié)參數環(huán)節(jié)參數的修改，的修改，如增加或如增加或刪除零極刪除零極點、增加點、增加超前或滯超前或滯后校正環(huán)后校正環(huán)節(jié)等，如節(jié)等，如圖圖13.12 圖圖13.13 rltool工具工具Analysis Plots窗口窗口通過通過Analysis Plots配配置要顯示置要顯示的不同圖的不同圖形及其位形及其位置，如圖置，如圖13.13。13.3.2基于圖形化工具rltool的系 統分析與

18、設計實例n例：系統開環(huán)傳遞函數例：系統開環(huán)傳遞函數 ，用根軌，用根軌 跡設計器查看系統增加開環(huán)零點或開環(huán)極點后對系統跡設計器查看系統增加開環(huán)零點或開環(huán)極點后對系統的性能。的性能。1.打開工具。在打開工具。在MATLAB命令窗口輸入，結果如圖命令窗口輸入，結果如圖13.14： G=tf(1,1 1 0) rltool(G)2( )gkkG sss圖圖13.14 rltool工具工具Design Task窗口，也可以在窗口，也可以在GraphicalTuning頁用頁用Show Design Plot打開打開 選擇選擇Analysis PlotsPlot Type: Step，Show Analysis Plot,顯示選定點的單位階躍響應曲線。顯示選定點的單位階躍響應曲線。如圖如圖13.15所示，此時，鼠標在根軌跡上移動時，所示，此時，鼠標在根軌跡上移動時，對應增益的系統時域響應曲線實時變化。對應增益的系統時域