1、1第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分一、積分的定義與性質(zhì)二、柯西定理及牛頓萊布尼茨公式三、柯西積分公式四、高階導(dǎo)數(shù)公式2( )CCCf z dzudxvdyivdxudy Cidydxivu)(記憶記憶.)(limd)(1knkknCzfzzf ttztzfzzfCd)()(d)(一、積分的定義與性質(zhì)1. 積分的定義與計(jì)算3例例1 解解 . 43 : ,d 的直線(xiàn)段的直線(xiàn)段從原點(diǎn)到點(diǎn)從原點(diǎn)到點(diǎn)計(jì)算計(jì)算iCzzC 直線(xiàn)方程為直線(xiàn)方程為, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)4

2、3(2i 4 nCCCCndzzfdzzfCCCC)()()()42121分分段段光光滑滑曲曲線(xiàn)線(xiàn).)()()()(,)5估估值值定定理理上上滿(mǎn)滿(mǎn)足足在在函函數(shù)數(shù)的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為設(shè)設(shè) MLdszfdzzfMzfCzfLCCC CCdzzfdzzf)()() 1 CCdzzfkdzzkf)()()2 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()()3由積分定義得：由積分定義得：2、積分的性質(zhì)、積分的性質(zhì)5B柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的積分為零的積分為零內(nèi)的任何一條封閉曲線(xiàn)內(nèi)的任何一條封閉曲線(xiàn)沿沿那末函數(shù)那末函數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析

3、在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)C二、柯西定理及牛頓萊布尼茨公式6例例2 2解解 1.d321 zzz計(jì)算積分計(jì)算積分 , 1 321 內(nèi)解析內(nèi)解析在在函數(shù)函數(shù) zz根據(jù)柯西古薩定理根據(jù)柯西古薩定理, 有有 1. 0d321zzz71212( ),f zz zz z1212設(shè)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，為D內(nèi)任意兩點(diǎn)，C ,C 為連接的兩條路徑,C ,C包含定理3.3于D,則12( )d( )dCCf zzf zz即積分與路徑無(wú)關(guān)。8DC1C1DAA BB 1( )f zDDCC111定理3.4設(shè)C,C 為兩條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn),C 位于C的內(nèi)部,在C,C圍成的二連通區(qū)域D內(nèi)解析，在上連續(xù),則1( )d

4、( )dCCf zzf zz多連通區(qū)域上的柯西積分定理：9推論：推論： 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區(qū)域全含于為邊界的區(qū)域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)是在是在內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)多連通域多連通域?yàn)闉樵O(shè)設(shè) , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在如果如果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC10例例3 3解解 . 1 ,d12 2曲線(xiàn)曲線(xiàn)在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉在內(nèi)的任

5、何正向簡(jiǎn)單閉為包含圓周為包含圓周計(jì)算積分計(jì)算積分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)在復(fù)平面在復(fù)平面因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)依題意知依題意知, xyo 1 也包含這兩個(gè)奇點(diǎn)，也包含這兩個(gè)奇點(diǎn)， 11, 21CC 和和不相交的正向圓周不相交的正向圓周內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn) , 1 2 zC 只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn)1C2C根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 12定理

6、定理 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，內(nèi)解析， F(z)是是f (z)的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則),()()()(100110BzzzFzFdzzfzz A 此公式類(lèi)似于微積分學(xué)中的牛頓萊布尼茲公式此公式類(lèi)似于微積分學(xué)中的牛頓萊布尼茲公式.A 但是要求函數(shù)是但是要求函數(shù)是解析解析的的,比以前的比以前的連續(xù)連續(xù)條件要強(qiáng)條件要強(qiáng)13111eeee1e1.22ii 0cos d .izzz例4 計(jì)算00cos dsincosiizzzzzz解：sincos1iii14三、柯西積分公式三、柯西積分公式定理定理 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )

7、( 000那末那末內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)為為于于它的內(nèi)部完全含它的內(nèi)部完全含閉曲線(xiàn)閉曲線(xiàn)內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單為為內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)D 0zC15例例5 5解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求積分求積分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有兩個(gè)奇點(diǎn)有兩個(gè)奇點(diǎn)函數(shù)函數(shù), 23)1( z 2, z僅包含奇點(diǎn)僅包含奇點(diǎn),1)( 3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231! 12 zzi;83 i 1631)2( z , 0 2 內(nèi)內(nèi)都含在都含在和和兩個(gè)奇點(diǎn)兩個(gè)奇點(diǎn)Czz 2, 0

8、21和和分別包含分別包含和和作簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)作簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)CC , 21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式, Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz17 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0 18定理定理. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的內(nèi)部全含于而且它的內(nèi)部全含于線(xiàn)線(xiàn)任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲的的內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞的解析區(qū)域的解析區(qū)域?yàn)樵诤瘮?shù)為在函數(shù)其中其中導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為階階它的它的的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù) 四、高階導(dǎo)數(shù)公式19例例6 6.d)1(1 212 izzzz計(jì)算積分