1、在課堂教學中如何滲透數學思想方法在課堂教學中如何滲透在課堂教學中如何滲透 數學思想方法數學思想方法南京市第一中學何炳均南京市第一中學何炳均在課堂教學中如何滲透數學思想方法課程標準課程標準指出，要讓不同的指出，要讓不同的人在數學上得到不同的發展，其中最人在數學上得到不同的發展，其中最重要的就是學生數學思想方法的形成重要的就是學生數學思想方法的形成與發展。與發展。 “作為知識的數學出校門不到兩作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數學的精神、數學的思想、研中的是數學的精神、數學的思想、研究方法和著眼點等。這些都隨時隨地究方法和著眼點等。這些

2、都隨時隨地發生作用，使他們終生受益。發生作用，使他們終生受益。”（日（日本數學家米山國藏語）。本數學家米山國藏語）。 在課堂教學中如何滲透數學思想方法所謂數學思想，是指人們對數學理所謂數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，是對數學知識和論與內容的本質認識，是對數學知識和數學方法的進一步抽象和概括，它直接數學方法的進一步抽象和概括，它直接支配著數學的實踐活動，屬于對數學規支配著數學的實踐活動，屬于對數學規律的理性認識的范疇。律的理性認識的范疇。 所謂數學方法，所謂數學方法， 是指某一數學活動是指某一數學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可

3、操作性等特點。性、層次性和可操作性等特點。 一、對概念的理解一、對概念的理解在課堂教學中如何滲透數學思想方法數學思想是數學方法的靈魂，數學數學思想是數學方法的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，同一數學成果，當用它去解決的手段，同一數學成果，當用它去解決別的問題時，則稱為方法；當論及它在別的問題時，則稱為方法；當論及它在數學體系中的價值和意義時，則稱之為數學體系中的價值和意義時，則稱之為思想。思想。 在課堂教學中如何滲透數學思想方法二、數學教學應滲透的思想方法二、數學教學應滲透的思想方法中學數學中的主要思想：中學數學中的主要思想：1.分類討論思

4、想，分類討論思想，2.數形結合思想，數形結合思想，3.函數與方程思想，函數與方程思想，4.化歸與轉化思想。化歸與轉化思想。在課堂教學中如何滲透數學思想方法1、分類討論思想、分類討論思想 分類討論是根據教學對象的本質屬分類討論是根據教學對象的本質屬性將其劃分為不同種類，即根據教學對性將其劃分為不同種類，即根據教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數學發現的重要手段。在一類。分類是數學發現的重要手段。在教學中，如果對學過的知識恰當地進行教學中，如果對學過的知識恰當地進行分類，就可以使

5、大量紛繁的知識具有條分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。理性。在課堂教學中如何滲透數學思想方法 由數學概念引起的分類討論；由數學概念引起的分類討論； (2) 由數學定理、性質、公式的限制條件引起的分類討由數學定理、性質、公式的限制條件引起的分類討論；論； (3) 由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論；由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論； (4) 由數學式子的變形所需要的限制條件引起的分類討由數學式子的變形所需要的限制條件引起的分類討論；論； (5)對于含有參數的問題要對參數的允許值進行全面的分對于含有參數的問題要對參數的允許值進行全面的分類討論。等等類討論。等等 對分類討

6、論思想的考查對分類討論思想的考查, 是有沒有分類是有沒有分類的意識的意識,遇到應該分類的情況遇到應該分類的情況,是否想到要是否想到要分類分類.,有哪些情況需要分類呢？有哪些情況需要分類呢？在課堂教學中如何滲透數學思想方法例例1：如圖，在：如圖，在RtABC中中BAC=90，AB=AC=2，點，點D在在BC上運動（不能到點上運動（不能到點B、C），過），過D作作ADE=45，DE交交AC于于E求證：求證：ABDDCE；設設BD=x，AE=y，求，求y關于關于x的函數關系式，的函數關系式，并寫出自變量并寫出自變量x的取值范圍；的取值范圍；當當ADE為等腰三角形時，求為等腰三角形時，求AE的長的長A

7、BCDE42 2AE 或在課堂教學中如何滲透數學思想方法例例2:已知一次函數已知一次函數 與與x軸、軸、y軸分別交于軸分別交于A、B兩點，點兩點，點C在在x軸上，且軸上，且ACB=120； 求求BC的關系式；的關系式；3x33y xyABCO33 xy以點以點P為一個頂點的三角形與為一個頂點的三角形與ABC相相似，且與似，且與ABC有一個公共角和一條公有一個公共角和一條公共邊，求點共邊，求點P的坐標的坐標.12),(2,3),(1,3),( 3,0)33（3,-2 3在課堂教學中如何滲透數學思想方法2、數形結合思想、數形結合思想 華羅庚先生說過：華羅庚先生說過：“數與形是兩依倚數與形是兩依倚,

8、焉能分作兩邊飛。數缺形時少直觀焉能分作兩邊飛。數缺形時少直觀, 形形少數時難入微。少數時難入微。”，“切莫忘切莫忘,幾何代數幾何代數統一體統一體,永遠聯系永遠聯系,切莫分離。切莫分離。” 一般地，人們把代數稱為一般地，人們把代數稱為“數數”而把而把幾何稱為幾何稱為“形形”，數與形表面看是相互，數與形表面看是相互獨立，其實在一定條件下它們可以相互獨立，其實在一定條件下它們可以相互轉化，數量問題可以轉化為圖形問題，轉化，數量問題可以轉化為圖形問題，圖形問題也可以轉化為數量問題。圖形問題也可以轉化為數量問題。在課堂教學中如何滲透數學思想方法例例1：已知關于：已知關于x的不等式組的不等式組 的整數解共

9、有的整數解共有2個，則的個，則的a取值范圍是取值范圍是_020 xax-1a0-在課堂教學中如何滲透數學思想方法例例2：如圖，：如圖，C為線段為線段BD上一動點，分別上一動點，分別過點過點B、D作作ABBD，EDBD，連接，連接AC、EC已知已知AB=5，DE=1，BD=8；設；設CD=x (1)用含用含x的代數式表示的代數式表示AC+CE的長；的長； (2)請問點請問點C滿足什么條件時，滿足什么條件時，AC+CE的的值最小值最小?在課堂教學中如何滲透數學思想方法(3)根據根據(2)中的規律和結論，請構圖求出中的規律和結論，請構圖求出代數式的最小值代數式的最小值 224129xx3x212-x

10、最小值是最小值是13在課堂教學中如何滲透數學思想方法例例3：已知：已知 3x+4y=12，且，且x，y， 求求使使M(x,y)=x2+y2-12x-2y+37取得最大值與最取得最大值與最小值的點小值的點.約束條件約束條件: 3x+4y=12，且，且x，y，所，所表示的圖形是線段表示的圖形是線段AB，x的取值范圍是的取值范圍是，M(x,y)（x-6)2+(y-1)2.xyA(0,3)B(4,0)OQ(6,1)P(x,y)設設P(x,y)是線段是線段AB上的動上的動點點,Q(6,1)為定點，為定點，M(x,y)為為動點動點P與定點與定點Q之間距離的之間距離的平方，從圖上可以看出平方，從圖上可以看出

11、A（，），（，），B（，）（，）分別是使分別是使M(x,y)取得最大值取得最大值和最小值的點和最小值的點在課堂教學中如何滲透數學思想方法3、函數與方程思想、函數與方程思想就是用函數的觀點、方法研究問題，就是用函數的觀點、方法研究問題，將非函數問題轉化為函數問題，通過對將非函數問題轉化為函數問題，通過對函數的研究，使問題得以解決。通常是函數的研究，使問題得以解決。通常是這樣進行的：將問題轉化為函數問題，這樣進行的：將問題轉化為函數問題，建立函數關系，研究這個函數，得出相建立函數關系，研究這個函數，得出相應的結論。中學數學中，方程、數列、應的結論。中學數學中，方程、數列、不等式等問題都可利用函數思

12、想得以簡不等式等問題都可利用函數思想得以簡解；幾何量的變化問題也可以通過對函解；幾何量的變化問題也可以通過對函數值域的考察加以解決。數值域的考察加以解決。 在課堂教學中如何滲透數學思想方法DCABEF例例1：如圖：如圖,等腰梯形等腰梯形ABCD中，對角線中，對角線DB平分平分ADC，下底，下底AB比周長小比周長小a，梯形的，梯形的中位線中位線EF=b，求上底，求上底CD 解：易證解：易證AB=AD=BC，AB+CD=2EF因此，設因此，設CD=x，AB=y.則則byxayyx23abx 4 方程思想的實質就是方程思想的實質就是數學建模數學建模,解應用題解應用題是方程思想應用的最突出體現。是方程

13、思想應用的最突出體現。 在課堂教學中如何滲透數學思想方法 方程思想的實質就是方程思想的實質就是數學建模數學建模,解應用題解應用題是方程思想應用的最突出體現。是方程思想應用的最突出體現。 例例2：如圖，有長為：如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度（墻的最大可用長度a為為10m），圍成中間隔），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃設花圃的寬有一道籬笆的長方形花圃設花圃的寬AB為為x m，面積為，面積為S m2（1）求）求S與與x的函的函數關系式；數關系式；在課堂教學中如何滲透數學思想方法（2）如果要圍成面積為）如果要圍成面積為45 m2的花圃，的花圃，AB的的長是多

14、少米？長是多少米？（3）能圍成面積比）能圍成面積比45 m2更大的花圃嗎？如果更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由請說明理由在課堂教學中如何滲透數學思想方法例例3：全國高考題：如果實數：全國高考題：如果實數x、y滿足滿足（x-2）2 + y2 =3，那么，那么 的最大值的最大值是是 yx22141yxxx 在課堂教學中如何滲透數學思想方法4、化歸與轉化思想、化歸與轉化思想 化歸與轉化思想是解決數學問題的一種重化歸與轉化思想是解決數學問題的一種重要思想方法。化歸的手段是多種多樣的要思想方法。化歸的手段是多種多樣的,其最其

15、最終目的是將未知的問題轉化為已知問題來解。終目的是將未知的問題轉化為已知問題來解。實現新問題向舊問題的轉化、復雜問題向簡實現新問題向舊問題的轉化、復雜問題向簡單問題轉化、未知問題向已知問題轉化、抽單問題轉化、未知問題向已知問題轉化、抽象問題向具體問題轉化等。如在加法的基礎象問題向具體問題轉化等。如在加法的基礎上，利用相反數的概念，化歸出減法法則，上，利用相反數的概念，化歸出減法法則，使加、減法統一起來，得到了代數和的概念；使加、減法統一起來，得到了代數和的概念；在乘法的基礎上，利用倒數的概念，化歸出在乘法的基礎上，利用倒數的概念，化歸出除法法則，使互逆的兩種運算得到統一。除法法則，使互逆的兩種

16、運算得到統一。 在課堂教學中如何滲透數學思想方法 例例1：已知：已知m,n(mn)滿足滿足, 求求的值的值.13, 1322nnmmnmmn分析：分析：m,n可以看成方程可以看成方程x2-3x-1=0的兩個的兩個實數根實數根.22() 23 2 ( 1 )111n m m nm nm nm n 在課堂教學中如何滲透數學思想方法例例2：已知：已知ABC中，中，AC5，BC12，ACB90，P是是AB邊上的動點（與點邊上的動點（與點A、B不重合）不重合）Q是是BC邊上的動點（與點邊上的動點（與點B、C不重合）不重合）（1）如圖，當）如圖，當PQAC，且，且Q為為BC的中點的中點時，求線段時，求線段

17、CP的長；的長； 在課堂教學中如何滲透數學思想方法（2）當）當PQ與與AC不平行時，不平行時，CPQ可能為可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明的長的取值范圍；若不可能，請說明理由理由 PQ20123CQ在課堂教學中如何滲透數學思想方法在課堂教學中如何滲透數學思想方法除以上四大主要數學思想外還有：除以上四大主要數學思想外還有： 整體思想整體思想 變換思想變換思想 類比思想類比思想統計思想統計思想特殊與一般思想特殊與一般思想歸納與猜想思想歸納與猜想思想在課堂教學中如何滲透數學思想方法例：例： 在平面內，旋轉變換是指某一圖形繞

18、一個在平面內，旋轉變換是指某一圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉一定的角度而得到定點按順時針或逆時針旋轉一定的角度而得到新位置圖形的一種變換新位置圖形的一種變換活動一：如圖活動一：如圖1，在，在RtABC中，中，D為斜邊為斜邊AB上上的一點，的一點，AD=2，BD=1，且四邊形，且四邊形DECF是正方是正方形，求陰影部分的面積形，求陰影部分的面積CABDEG圖圖F在課堂教學中如何滲透數學思想方法活動二：如圖，在四邊形活動二：如圖，在四邊形ABCD中，中，AB=AD，BAD=C=90，BC=5，CD=3，過點，過點A作作AEBC，垂足為點，垂足為點E，求，求AE的長的長ABCEDF圖圖在課堂教學

19、中如何滲透數學思想方法三、數學教學中滲透數學思想的原則三、數學教學中滲透數學思想的原則 1. 自覺性原則自覺性原則 2. 可行性原則可行性原則 3. 反復性原則反復性原則 4.系統性原則系統性原則在課堂教學中如何滲透數學思想方法四、滲透數學思想方法的過程設計四、滲透數學思想方法的過程設計數學思想方法的形成不可能一蹴而就，數學思想方法的形成不可能一蹴而就，往往需要多次反復、逐漸形成，一般往往需要多次反復、逐漸形成，一般要經歷要經歷多次孕育、初步形成、應用發多次孕育、初步形成、應用發展展三個階段。因此，教學中教師要精三個階段。因此，教學中教師要精心設計，多設置一些孕育點，在初步心設計，多設置一些孕

20、育點，在初步形成階段選擇的例題和習題也要容易形成階段選擇的例題和習題也要容易些，在應用發展階段可選擇一些思維些，在應用發展階段可選擇一些思維要求相對高一些的例題和習題。要求相對高一些的例題和習題。 在課堂教學中如何滲透數學思想方法以數形結合思想為例說明如下以數形結合思想為例說明如下:(一一) 思想孕育思想孕育 1.有理數的意義有理數的意義 在學習數軸時，學生接觸到數與形的對應，在學習數軸時，學生接觸到數與形的對應，應讓學生掌握：應讓學生掌握：(1)任何一個有理數都可以用數軸上的點任何一個有理數都可以用數軸上的點表示，在數軸上會找到任何一個有理數表示，在數軸上會找到任何一個有理數對應的點；對應的

21、點；(2)由數軸上的有理點，讀出它所對應的由數軸上的有理點，讀出它所對應的有理數。有理數。在課堂教學中如何滲透數學思想方法2.絕對值絕對值通過對有理數在數軸上的對應點到原點通過對有理數在數軸上的對應點到原點的距離的觀察，引導出有理數絕對值的的距離的觀察，引導出有理數絕對值的概念，不僅體現了數形結合思想，而且概念，不僅體現了數形結合思想，而且符合學生從具體到抽象的認知規律。符合學生從具體到抽象的認知規律。3.有理數的大小比較有理數的大小比較有理數大小比較，可以由其在數軸上的有理數大小比較，可以由其在數軸上的位置來確定，即將位置來確定，即將“數數”的問題通過的問題通過“形形”來解決。來解決。在課堂

22、教學中如何滲透數學思想方法4.單項式乘法單項式乘法在推導單項式乘法、單項式與多項式乘在推導單項式乘法、單項式與多項式乘法、多項式乘法以及乘法公式時，借助法、多項式乘法以及乘法公式時，借助圖形表示學生更容易接受。圖形表示學生更容易接受。例如：例如：aa時，可以借助如圖的長方時，可以借助如圖的長方形面積來進行。形面積來進行。 3 a 2 a在課堂教學中如何滲透數學思想方法5.平面內點的位置與坐標平面內點的位置與坐標一個有序數對（坐標）可在直角坐標平一個有序數對（坐標）可在直角坐標平面內找到與之對應的點，反之，直角坐面內找到與之對應的點，反之，直角坐標平面內的任一點也可以讀出其坐標。標平面內的任一點

23、也可以讀出其坐標。這時數與形的對應由一維上升到了二維，這時數與形的對應由一維上升到了二維，但仍是思想孕育階段。但仍是思想孕育階段。 在課堂教學中如何滲透數學思想方法(二二) 初步形成初步形成 1.一元一次不等式組的解集一元一次不等式組的解集一元一次不等式的解集在數軸上表示仍一元一次不等式的解集在數軸上表示仍是孕育階段，而解不等式組時，是將幾是孕育階段，而解不等式組時，是將幾個不等式的解集表示在同一數軸上，這個不等式的解集表示在同一數軸上，這樣比較形象、直觀地求出這些解的公共樣比較形象、直觀地求出這些解的公共部分，即不等式組的解集。部分，即不等式組的解集。在課堂教學中如何滲透數學思想方法2.用圖

24、象法解二元一次方程組用圖象法解二元一次方程組例如：用圖象法解方程組例如：用圖象法解方程組 。只要在坐標系中分別畫出兩個方程對應只要在坐標系中分別畫出兩個方程對應一次函數的圖象（直線），交點坐標就一次函數的圖象（直線），交點坐標就是方程組的解。是方程組的解。2226xyxyOxyy=2x-6112yx 在課堂教學中如何滲透數學思想方法3.一次函數的圖象與性質一次函數的圖象與性質 通過多次孕育，學生對數形結合思想通過多次孕育，學生對數形結合思想已經有了一定的認識，在學習一次函數的已經有了一定的認識，在學習一次函數的性質時，可以先讓學生動手畫出圖象，然性質時，可以先讓學生動手畫出圖象，然后觀察圖象，總結函數圖象的性質。后觀察圖象，總結函數圖象的性質。 至此，學生已經初步領略到數形結合至此，學生已經初步領略到數形結合思想是解決數學問題的重要思想方法，教思想是解決數學問題的重要思想方法，教師應因勢利導地選擇訓練題對學生進行訓師應因勢利導地選擇訓練題對學生進行訓練，推動數形結