1、二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 第三節不定積分機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 一、定積分的換元法一、定積分的換元法 換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和 分部積分法 第五章 一、定積分的換元法一、定積分的換元法 定理定理1. 設函數設函數, ,)(baCxf單值函數)(tx滿足滿足: :1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t證證: 所證等式兩邊被積函數都延續所證等式兩邊被積函數都延續, 因此積分都存在 ,且它們的原函數也存在 .,)()(的一個原函數是設xfxF是的原函數 , 因此有那么bax

2、xfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 那么闡明闡明: :1) 當 , 即區間換為，時,定理 1 仍成立 .2) 必需留意換元必換限 , 原函數中的變量不用代回 .3) 換元公式也可反過來運用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不換限tfd)(t)(t機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 tfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t例例1. 計算計算).0(d022axxaa解解: 令令,sintax 那么,dcosdttax ;0,0tx時當.,2tax時 原式 =2attad)2co

3、s1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 且例例2. 計算計算.d12240 xxx解解: 令令, 12 xt那么,dd,212ttxtx,0時當 x,4時x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 且 例例3., ,)(aaCxf設證證:(1) 假設, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 假設, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(

4、0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時)()(xfxf時)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 tx令二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 定理定理2. , ,)(, )(1baCxvxu設那么)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(證證:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 上積分兩端在,ba例例4. 計算計算

5、.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 20dcosttn20dcosxxn例例5. 證明證明20dsinxxInn證證: 令令20dcosxxn,22143231nnnn n 為偶數,3254231nnnn n 為奇數,2xt那么20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 那么,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn0機動 目錄

6、 上頁 下頁 前往 終了 2022dcossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得遞推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所證結論成立 .0I1I機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 22mI2232mm42mI214312mI1222mm32mI3254內容小結內容小結 根本積分法換元積分法分部積分法換元必換限配元不換限邊積邊代限機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 思索與練習思索與練習1.提示提示: 令令, txu_d)(sindd01

7、00ttxxx那么ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin2. 設設,0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 對知等式兩邊求導,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)()(1fuufefeeuu1131d31思索思索: 假設改題為xttfxlnd)(313?)(ef提示提示: 兩邊求導兩邊求導, 得得331)(xxfexxfef1d)()(機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 得3. 設設,

8、1 ,0)(連續在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部積分分部積分)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 作業作業P249 1 (4) , (10) , (16) ; 6 ; 11 (4), (9), (10) 習題課 目錄 上頁 下頁 前往 終了 備用題備用題1. 證明證明 證：2dsin)(xxxxxf是以 為周期的函數.2dsin)(xxuuxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以 為周期的周期函數.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 解：解：2.右端,)(上有連續的二階導數在設baxf)(af且試證 babaxxfbxaxxxfd