1、曲線(xiàn)擬合工具箱曲線(xiàn)擬合定義曲線(xiàn)擬合定義在實(shí)際工程應(yīng)用和科學(xué)實(shí)踐中，經(jīng)常需要尋求在實(shí)際工程應(yīng)用和科學(xué)實(shí)踐中，經(jīng)常需要尋求兩個(gè)或多個(gè)變量間的關(guān)系，而實(shí)際去只能兩個(gè)或多個(gè)變量間的關(guān)系，而實(shí)際去只能通過(guò)觀(guān)測(cè)得到一些離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)。針對(duì)這些分通過(guò)觀(guān)測(cè)得到一些離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)。針對(duì)這些分散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，運(yùn)用某種你和方法生成一條連續(xù)散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，運(yùn)用某種你和方法生成一條連續(xù)的曲線(xiàn)，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為曲線(xiàn)擬合。的曲線(xiàn)，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為曲線(xiàn)擬合。曲線(xiàn)擬合可分為：曲線(xiàn)擬合可分為： （1參數(shù)擬合參數(shù)擬合 - 最小二乘法最小二乘法 （2非參數(shù)擬合非參數(shù)擬合 - 插值法插值法一、數(shù)據(jù)預(yù)處理一、數(shù)據(jù)預(yù)處理在曲線(xiàn)擬合之前必須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行與處理，去

2、在曲線(xiàn)擬合之前必須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行與處理，去除界外值、不定值和重復(fù)值，以減少認(rèn)為誤除界外值、不定值和重復(fù)值，以減少認(rèn)為誤差，提高擬合的精度。差，提高擬合的精度。數(shù)據(jù)預(yù)處理包括：數(shù)據(jù)預(yù)處理包括：（1數(shù)據(jù)輸入與查看數(shù)據(jù)輸入與查看（2數(shù)據(jù)的預(yù)處理數(shù)據(jù)的預(yù)處理傳輸數(shù)據(jù)通過(guò)數(shù)據(jù)傳輸數(shù)據(jù)通過(guò)數(shù)據(jù)GUI來(lái)實(shí)現(xiàn)，查看數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)，查看數(shù)據(jù)點(diǎn)通過(guò)曲線(xiàn)擬合工具的散點(diǎn)圖來(lái)實(shí)現(xiàn)。通過(guò)曲線(xiàn)擬合工具的散點(diǎn)圖來(lái)實(shí)現(xiàn)。1.輸入和查看數(shù)據(jù)集輸入和查看數(shù)據(jù)集（1打開(kāi)曲線(xiàn)擬合工具界面打開(kāi)曲線(xiàn)擬合工具界面 通過(guò)通過(guò)cftool命令打開(kāi)曲線(xiàn)擬合工具界面命令打開(kāi)曲線(xiàn)擬合工具界面5個(gè)命令按鈕個(gè)命令按鈕Data按鈕：可輸出、查看和平滑數(shù)據(jù)；按鈕：

3、可輸出、查看和平滑數(shù)據(jù)；Fitting按鈕：可擬合數(shù)據(jù)、比較擬合曲線(xiàn)和按鈕：可擬合數(shù)據(jù)、比較擬合曲線(xiàn)和數(shù)據(jù)集；數(shù)據(jù)集；Exclude按鈕：可以從擬合曲線(xiàn)中排除特殊按鈕：可以從擬合曲線(xiàn)中排除特殊的數(shù)據(jù)點(diǎn)；的數(shù)據(jù)點(diǎn)；Ploting按鈕：在選定區(qū)間后，單擊按鈕，按鈕：在選定區(qū)間后，單擊按鈕，可以顯示擬合曲線(xiàn)和數(shù)據(jù)集；可以顯示擬合曲線(xiàn)和數(shù)據(jù)集；Analysis按鈕：可以做內(nèi)插法、外推法、按鈕：可以做內(nèi)插法、外推法、微分或積分?jǐn)M合。微分或積分?jǐn)M合。（2輸入數(shù)據(jù)集輸入數(shù)據(jù)集 在輸入數(shù)據(jù)之前，數(shù)據(jù)變量必須存在于在輸入數(shù)據(jù)之前，數(shù)據(jù)變量必須存在于matlab的工作區(qū)間。可以通過(guò)的工作區(qū)間。可以通過(guò)load命令

4、輸命令輸入變量。單擊曲線(xiàn)擬合工具界面中的入變量。單擊曲線(xiàn)擬合工具界面中的Data按鈕，打開(kāi)按鈕，打開(kāi)Data對(duì)話(huà)框，在對(duì)話(huà)框中進(jìn)行設(shè)對(duì)話(huà)框，在對(duì)話(huà)框中進(jìn)行設(shè)置，可以輸入數(shù)據(jù)。置，可以輸入數(shù)據(jù)。Data對(duì)話(huà)框?qū)υ?huà)框包括兩個(gè)選項(xiàng)卡：包括兩個(gè)選項(xiàng)卡：Data Sets 和和 Smooth.Data Sets選項(xiàng)卡：選項(xiàng)卡：.Import workspace vectors 把向量輸把向量輸入工作區(qū)，主要以變量必須具有相同的維數(shù)入工作區(qū)，主要以變量必須具有相同的維數(shù)，無(wú)窮大的值和不定值被忽略。，無(wú)窮大的值和不定值被忽略。X data 用于選擇觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)用于選擇觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)Y data 用于選擇用于選擇X的響

5、應(yīng)數(shù)據(jù)的響應(yīng)數(shù)據(jù)Weight 用于選擇權(quán)重，與響應(yīng)數(shù)據(jù)相聯(lián)系用于選擇權(quán)重，與響應(yīng)數(shù)據(jù)相聯(lián)系的向量，如果沒(méi)選擇，默認(rèn)值為的向量，如果沒(méi)選擇，默認(rèn)值為1.Preview 對(duì)所選向量進(jìn)行圖形化預(yù)覽對(duì)所選向量進(jìn)行圖形化預(yù)覽.Data set name 設(shè)置數(shù)據(jù)集的名稱(chēng)。工設(shè)置數(shù)據(jù)集的名稱(chēng)。工具箱可以隨即產(chǎn)生唯一的文件名，但用戶(hù)具箱可以隨即產(chǎn)生唯一的文件名，但用戶(hù)可以重命名。可以重命名。.Data sets 選項(xiàng)以列表的形式顯示所有擬選項(xiàng)以列表的形式顯示所有擬合的數(shù)據(jù)集。當(dāng)選擇一個(gè)數(shù)據(jù)集時(shí)，可以合的數(shù)據(jù)集。當(dāng)選擇一個(gè)數(shù)據(jù)集時(shí)，可以對(duì)它做如下操作：對(duì)它做如下操作： .View 查看數(shù)據(jù)集，以圖標(biāo)形式和列表

6、形查看數(shù)據(jù)集，以圖標(biāo)形式和列表形式，可以選擇方法排除異常值；式，可以選擇方法排除異常值； .Rename 重命名重命名 .Delete 刪去數(shù)據(jù)組刪去數(shù)據(jù)組例：輸入數(shù)據(jù)，采用例：輸入數(shù)據(jù)，采用matlab自帶的文件自帶的文件censuscensus 有兩個(gè)變量：有兩個(gè)變量：cdate和和pop。 cdate是一個(gè)年向量，包括是一個(gè)年向量，包括1790-1990年，間隔為年，間隔為10年；年； pop是對(duì)應(yīng)年份的美國(guó)人口。是對(duì)應(yīng)年份的美國(guó)人口。 whos -file census Name Size Bytes Class Attributes cdate 21x1 168 double pop

7、 21x1 168 double load census cftool(cdate,pop)散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖單擊單擊Data按鈕按鈕在在X data和和Y data兩個(gè)下拉式列表框中選兩個(gè)下拉式列表框中選擇變量名，將在擇變量名，將在Data對(duì)話(huà)框中顯示散點(diǎn)圖的對(duì)話(huà)框中顯示散點(diǎn)圖的預(yù)覽效果：預(yù)覽效果：當(dāng)選擇當(dāng)選擇Data sets列表框中的數(shù)據(jù)集時(shí)，單列表框中的數(shù)據(jù)集時(shí)，單擊擊View按鈕，打開(kāi)按鈕，打開(kāi)View Data Set對(duì)話(huà)框?qū)υ?huà)框工作表方式工作表方式2.數(shù)據(jù)的預(yù)處理數(shù)據(jù)的預(yù)處理在曲線(xiàn)擬合工具箱中，數(shù)據(jù)的預(yù)處理主要包在曲線(xiàn)擬合工具箱中，數(shù)據(jù)的預(yù)處理主要包括平滑法、排除法和區(qū)間排除法等。括平

8、滑法、排除法和區(qū)間排除法等。(1)平滑數(shù)據(jù)平滑數(shù)據(jù)打開(kāi)擬合工具箱，單擊打開(kāi)擬合工具箱，單擊Data按鈕，翻開(kāi)按鈕，翻開(kāi)Data對(duì)話(huà)框，選擇對(duì)話(huà)框，選擇Smooth選項(xiàng)卡選項(xiàng)卡Smooth選項(xiàng)卡各選項(xiàng)的功能：選項(xiàng)卡各選項(xiàng)的功能：.Original data set 用于挑選需要擬合的用于挑選需要擬合的數(shù)據(jù)集；數(shù)據(jù)集；.Smoothed data set平滑數(shù)據(jù)的名稱(chēng)；平滑數(shù)據(jù)的名稱(chēng)；.Method用于選擇平滑數(shù)據(jù)的方法，每一個(gè)用于選擇平滑數(shù)據(jù)的方法，每一個(gè)相應(yīng)數(shù)據(jù)用通過(guò)特殊的曲線(xiàn)平滑方法所計(jì)相應(yīng)數(shù)據(jù)用通過(guò)特殊的曲線(xiàn)平滑方法所計(jì)算的結(jié)果來(lái)取代。平滑數(shù)據(jù)的方法包括：算的結(jié)果來(lái)取代。平滑數(shù)據(jù)的方法包括

9、：（）Moving average 用移動(dòng)平均值進(jìn)用移動(dòng)平均值進(jìn)行替換；行替換；（）Lowess局部加權(quán)散點(diǎn)圖平滑數(shù)據(jù)，局部加權(quán)散點(diǎn)圖平滑數(shù)據(jù)，采用線(xiàn)性最小二乘法和一階多項(xiàng)式擬合得采用線(xiàn)性最小二乘法和一階多項(xiàng)式擬合得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行替換；到的數(shù)據(jù)進(jìn)行替換；（）Loess局部加權(quán)散點(diǎn)圖平滑數(shù)據(jù)，采局部加權(quán)散點(diǎn)圖平滑數(shù)據(jù)，采用線(xiàn)性最小二乘法和二階多項(xiàng)式擬合得到用線(xiàn)性最小二乘法和二階多項(xiàng)式擬合得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行交換；的數(shù)據(jù)進(jìn)行交換；（）Savitzky-Golay 采用未加權(quán)的線(xiàn)采用未加權(quán)的線(xiàn)性最小二乘法過(guò)濾數(shù)據(jù)，利用指定階數(shù)的性最小二乘法過(guò)濾數(shù)據(jù)，利用指定階數(shù)的多項(xiàng)式得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行替換；多項(xiàng)式得到的數(shù)據(jù)進(jìn)

10、行替換；（）Span用于進(jìn)行平滑計(jì)算的數(shù)據(jù)點(diǎn)的用于進(jìn)行平滑計(jì)算的數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目；數(shù)目；（）Degree 用于用于Savitzky-Golay方方法擬合多項(xiàng)式的階數(shù)。法擬合多項(xiàng)式的階數(shù)。.Smoothed data sets 對(duì)于所有平滑數(shù)對(duì)于所有平滑數(shù)據(jù)集進(jìn)行列表。可以增加平滑數(shù)據(jù)集，通據(jù)集進(jìn)行列表。可以增加平滑數(shù)據(jù)集，通過(guò)單擊過(guò)單擊Create smoothed data set按按鈕，可以創(chuàng)建經(jīng)過(guò)平滑的數(shù)據(jù)集。鈕，可以創(chuàng)建經(jīng)過(guò)平滑的數(shù)據(jù)集。.View按鈕按鈕 打開(kāi)查看數(shù)據(jù)集的打開(kāi)查看數(shù)據(jù)集的GUI，以散點(diǎn)，以散點(diǎn)圖方式和工作表方式查看數(shù)據(jù)，可以選擇圖方式和工作表方式查看數(shù)據(jù)，可以選擇排除異常

11、值的方法。排除異常值的方法。.Rename用于重命名。用于重命名。.Delete可刪去數(shù)據(jù)組。可刪去數(shù)據(jù)組。.Save to workspace保存數(shù)據(jù)集。保存數(shù)據(jù)集。（2排除法和區(qū)間排除法排除法和區(qū)間排除法排除法是對(duì)數(shù)據(jù)中的異常值進(jìn)行排除。排除法是對(duì)數(shù)據(jù)中的異常值進(jìn)行排除。區(qū)間排除法是采用一定的區(qū)間去排除那些用區(qū)間排除法是采用一定的區(qū)間去排除那些用于系統(tǒng)誤差導(dǎo)致偏離正常值的異常值。于系統(tǒng)誤差導(dǎo)致偏離正常值的異常值。在曲線(xiàn)擬合工具中單擊在曲線(xiàn)擬合工具中單擊Exclude按鈕，可以按鈕，可以打開(kāi)打開(kāi)Exclude對(duì)話(huà)框?qū)υ?huà)框Exclusion rule name指定分離規(guī)則的名稱(chēng)指定分離規(guī)則的名

12、稱(chēng)Existing exclusion rules列表產(chǎn)生的文件列表產(chǎn)生的文件名，當(dāng)你選擇一個(gè)文件名時(shí)，可以進(jìn)行如下操名，當(dāng)你選擇一個(gè)文件名時(shí)，可以進(jìn)行如下操作：作： Copy 復(fù)制分離規(guī)則的文件；復(fù)制分離規(guī)則的文件； Rename重命名；重命名；delete 刪去一個(gè)文件；刪去一個(gè)文件； View以圖形的形式展示分離規(guī)則的文件。以圖形的形式展示分離規(guī)則的文件。Select data set 挑選需要操作的數(shù)據(jù)集；挑選需要操作的數(shù)據(jù)集；Exclude graphically允許你以圖形的形式去允許你以圖形的形式去除異常值，排除個(gè)別的點(diǎn)用除異常值，排除個(gè)別的點(diǎn)用“”標(biāo)志。標(biāo)志。Check to

13、exclude point 挑選個(gè)別的點(diǎn)挑選個(gè)別的點(diǎn)進(jìn)行排除，可以通過(guò)在數(shù)據(jù)表中打勾來(lái)選進(jìn)行排除，可以通過(guò)在數(shù)據(jù)表中打勾來(lái)選擇要排除的數(shù)據(jù)。擇要排除的數(shù)據(jù)。Exclude Sections 選定區(qū)域排除數(shù)據(jù)：選定區(qū)域排除數(shù)據(jù)： Exclude X選擇預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)選擇預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)X要排除的數(shù)據(jù)要排除的數(shù)據(jù)范圍；范圍； Exclude Y選擇響應(yīng)數(shù)據(jù)選擇響應(yīng)數(shù)據(jù)Y要排除的數(shù)據(jù)要排除的數(shù)據(jù)范圍。范圍。（3其他數(shù)據(jù)預(yù)處理方法其他數(shù)據(jù)預(yù)處理方法其他的預(yù)處理方法不便通過(guò)曲線(xiàn)擬合工具箱其他的預(yù)處理方法不便通過(guò)曲線(xiàn)擬合工具箱來(lái)完成，主要包括兩部分：來(lái)完成，主要包括兩部分：響應(yīng)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換和去除無(wú)窮大、缺失值和異響應(yīng)數(shù)據(jù)

14、的轉(zhuǎn)換和去除無(wú)窮大、缺失值和異常值。常值。響應(yīng)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換一般包括對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換、指數(shù)轉(zhuǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換一般包括對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換、指數(shù)轉(zhuǎn)換，用這些轉(zhuǎn)換可以使非線(xiàn)性的模型線(xiàn)性換，用這些轉(zhuǎn)換可以使非線(xiàn)性的模型線(xiàn)性化，便于曲線(xiàn)擬合。變量的轉(zhuǎn)換一般在命令化，便于曲線(xiàn)擬合。變量的轉(zhuǎn)換一般在命令行里實(shí)現(xiàn)，然后把轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)輸入曲線(xiàn)擬行里實(shí)現(xiàn)，然后把轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)輸入曲線(xiàn)擬合工具箱，進(jìn)行擬合。合工具箱，進(jìn)行擬合。無(wú)窮大、不定值在曲線(xiàn)擬合中可以忽略，如無(wú)窮大、不定值在曲線(xiàn)擬合中可以忽略，如果想把他們從數(shù)據(jù)集中刪除，可以用果想把他們從數(shù)據(jù)集中刪除，可以用isinf和和isnan置換無(wú)窮大值和缺失值。置換無(wú)窮大值和缺失值。二、曲線(xiàn)擬

15、合二、曲線(xiàn)擬合Matlab提供兩種曲線(xiàn)擬合方法：提供兩種曲線(xiàn)擬合方法：（1以函數(shù)的形式，使用命令對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行以函數(shù)的形式，使用命令對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。這種方法比較繁瑣，需要對(duì)擬合函擬合。這種方法比較繁瑣，需要對(duì)擬合函數(shù)有比較好的了解。數(shù)有比較好的了解。（2用圖形窗口進(jìn)行操作，具有簡(jiǎn)便、快用圖形窗口進(jìn)行操作，具有簡(jiǎn)便、快速，可操作性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。速，可操作性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。1.多項(xiàng)式擬合函數(shù)多項(xiàng)式擬合函數(shù)(1)Polyfit函數(shù)P=polyfit(x,y,n)用最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，返回n次多項(xiàng)式的系數(shù)，并用降序排列的向量表示，長(zhǎng)度為n+1.1121)(nnnnpxpxpxpxpp,s=polyfit(x,

16、y,n)返回多項(xiàng)式系數(shù)向量返回多項(xiàng)式系數(shù)向量p和矩陣和矩陣s。s與與polyval函數(shù)一起用時(shí)，可以得到預(yù)測(cè)值的函數(shù)一起用時(shí)，可以得到預(yù)測(cè)值的誤差估計(jì)。如數(shù)據(jù)誤差估計(jì)。如數(shù)據(jù)y的誤差服從方差為常數(shù)的的誤差服從方差為常數(shù)的獨(dú)立正態(tài)分布，獨(dú)立正態(tài)分布，polyval函數(shù)將生成一個(gè)誤函數(shù)將生成一個(gè)誤差范圍，其中包含至少差范圍，其中包含至少50%的預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)值.p,s,mu=polyfit(x,y,n)返回多項(xiàng)式的系數(shù)，mu是一個(gè)二維向量u1,u2,u1=mean(x),u2=std(x),對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理 x=(x-u1)/u2(2)Polyval函數(shù)函數(shù)利用該函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合評(píng)價(jià)利用該函數(shù)

17、進(jìn)行多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合評(píng)價(jià)y=polyval(p,x)返回返回n階多項(xiàng)式在階多項(xiàng)式在x處的值，處的值，x可以是一個(gè)矩可以是一個(gè)矩陣或者是一個(gè)向量，向量陣或者是一個(gè)向量，向量p是是n+1個(gè)以降序個(gè)以降序排列的多項(xiàng)式的系數(shù)。排列的多項(xiàng)式的系數(shù)。.y=polyval(p,x,mu)用用x=(x-u1)/u2代替代替x，其中，其中mu是一個(gè)是一個(gè)二維向量二維向量u1,u2,u1=mean(x),u2=std(x),通過(guò)這通過(guò)這樣處理數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)合理化。樣處理數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)合理化。y,delta=polyval(p,x,s)y,delta=polyval(p,x,s,mu)產(chǎn)生置信區(qū)間產(chǎn)生置信區(qū)間ydelta

18、。如果誤差結(jié)果服從。如果誤差結(jié)果服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)落在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)落在ydelta區(qū)區(qū)間內(nèi)的概率至少為間內(nèi)的概率至少為50%。例例 x=0 0.0385 0.0963 0.1925 0.2888 0.385; y=0.042 0.104 0.186 0.338 0.479 0.612; p,s,mu=polyfit(x,y,5)輸出結(jié)果為：p = Columns 1 through 5 0.0193 -0.0110 -0.0430 0.0073 0.2449 Column 6 0.2961說(shuō)明擬合的多項(xiàng)式為：2961. 02449. 00073. 0043. 00110.

19、 00193. 02345 xxxxxs = R: 6x6 double df: 0 normr: 2.3684e-016mu = 0.1669 0.1499自由度為自由度為 0 標(biāo)準(zhǔn)偏差為標(biāo)準(zhǔn)偏差為 2.3684e-016例例:根據(jù)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行根據(jù)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行4階多項(xiàng)式擬合階多項(xiàng)式擬合X1345678910F(x) 10 54211234 x=1 3 4 5 6 7 8 9 10; y=10 5 4 2 1 1 2 3 4; p,s=polyfit(x,y,4); y1=polyval(p,x); plot(x,y,go,x,y1,b-)1234567891012345678910 poly

20、2str(p,t)ans = -0.0049945 t4 + 0.11461 t3 - 0.61143 t2 - 1.1005 t + 11.5499例：電阻和溫度的關(guān)系數(shù)據(jù)如下例：電阻和溫度的關(guān)系數(shù)據(jù)如下求求60度時(shí)的電阻度時(shí)的電阻.溫度溫度 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7電阻電阻 765 826 873 942 1032 T=20.5 32.7 51 73 95.7; R=765 826 873 942 1032; a=polyfit(T,R,1); y=poly2str(a,t) y = 3.3987 t + 702.0968 y=polyval(a,T) %計(jì)算多項(xiàng)式

21、在某一計(jì)算多項(xiàng)式在某一點(diǎn)處的值點(diǎn)處的值y = 1.0e+003 *0.7718 0.8132 0.8754 0.9502 1.0274 plot(T,R,k+,T,y,r*) hold on plot(T,y,b) polyval(a,60)ans = 906.0212203040506070809010075080085090095010001050例：已知年齡和運(yùn)動(dòng)能力的一組數(shù)據(jù)，試確定例：已知年齡和運(yùn)動(dòng)能力的一組數(shù)據(jù)，試確定二者的關(guān)系二者的關(guān)系(根據(jù)圖形指定次數(shù)根據(jù)圖形指定次數(shù))年齡年齡 17 19 21 23 25 27 29第一人第一人20.48 25.13 26.15 30.0 2

22、6.1 20.3 19.35第二人第二人24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3 x1=17:2:29; x=x1 x1; y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3; plot(x,y,r+)16182022242628301820222426283032 a=polyfit(x,y,2)a = -0.2019 8.9782 -72.2150 poly2str(a,x)ans = -0.20191 x2 + 8.9782 x - 72.215 x

23、1=17:0.1:29; y1=-0.20191*x1.2+8.9782*x1-72.215; hold on;plot(x1,y1,b)16182022242628301820222426283032數(shù)據(jù)擬合函數(shù)表數(shù)據(jù)擬合函數(shù)表cfit產(chǎn)生擬合的目標(biāo)產(chǎn)生擬合的目標(biāo)fit用庫(kù)模型、自定義模型、平滑樣條或用庫(kù)模型、自定義模型、平滑樣條或內(nèi)插方法來(lái)擬合數(shù)據(jù)內(nèi)插方法來(lái)擬合數(shù)據(jù)fitoptions產(chǎn)生或修改擬合選項(xiàng)產(chǎn)生或修改擬合選項(xiàng)fittype產(chǎn)生目標(biāo)的擬合形式產(chǎn)生目標(biāo)的擬合形式cflibhelp顯示一些信息，包括庫(kù)模型、三次樣顯示一些信息，包括庫(kù)模型、三次樣條和內(nèi)插方法等。條和內(nèi)插方法等。disp

24、顯示曲線(xiàn)擬合工具的信息顯示曲線(xiàn)擬合工具的信息get返回?cái)M合曲線(xiàn)的屬性返回?cái)M合曲線(xiàn)的屬性set對(duì)于擬合曲線(xiàn)顯示屬性值對(duì)于擬合曲線(xiàn)顯示屬性值數(shù)據(jù)擬合函數(shù)表數(shù)據(jù)擬合函數(shù)表excludedata指定不參與擬合的數(shù)據(jù)指定不參與擬合的數(shù)據(jù)smooth平滑響應(yīng)數(shù)據(jù)平滑響應(yīng)數(shù)據(jù)confint計(jì)算擬合系數(shù)估計(jì)值的置信區(qū)間邊界計(jì)算擬合系數(shù)估計(jì)值的置信區(qū)間邊界differentiate對(duì)于擬合結(jié)果求微分對(duì)于擬合結(jié)果求微分integrate對(duì)于擬合結(jié)果求積分對(duì)于擬合結(jié)果求積分predint對(duì)于新的觀(guān)察量計(jì)算預(yù)測(cè)區(qū)間的邊界對(duì)于新的觀(guān)察量計(jì)算預(yù)測(cè)區(qū)間的邊界datastates返回?cái)?shù)據(jù)的描述統(tǒng)計(jì)量返回?cái)?shù)據(jù)的描述統(tǒng)計(jì)量fev

25、al估計(jì)一個(gè)擬合結(jié)果結(jié)果或擬合類(lèi)型估計(jì)一個(gè)擬合結(jié)果結(jié)果或擬合類(lèi)型plot畫(huà)出數(shù)據(jù)點(diǎn)、擬合線(xiàn)、預(yù)測(cè)區(qū)間、異畫(huà)出數(shù)據(jù)點(diǎn)、擬合線(xiàn)、預(yù)測(cè)區(qū)間、異常值點(diǎn)和殘差常值點(diǎn)和殘差2.曲線(xiàn)的參數(shù)擬合曲線(xiàn)的參數(shù)擬合第一步：在命令行鍵入第一步：在命令行鍵入Cftool打開(kāi)打開(kāi) curve fitting tool對(duì)話(huà)框；對(duì)話(huà)框；第二步：第二步： 在在curve fitting tool對(duì)話(huà)框中對(duì)話(huà)框中 單擊單擊Data按鈕打開(kāi)按鈕打開(kāi)data對(duì)話(huà)框指對(duì)話(huà)框指 定要分析的預(yù)先存在工作區(qū)間）定要分析的預(yù)先存在工作區(qū)間） 數(shù)據(jù)；數(shù)據(jù)；第三步：在第三步：在curve fitting tool對(duì)話(huà)框中對(duì)話(huà)框中 單擊單擊fitt

26、ing按鈕打開(kāi)按鈕打開(kāi)fitting對(duì)話(huà)對(duì)話(huà) 框，進(jìn)行設(shè)置，實(shí)現(xiàn)曲線(xiàn)擬合。框，進(jìn)行設(shè)置，實(shí)現(xiàn)曲線(xiàn)擬合。Fitting對(duì)話(huà)框?qū)υ?huà)框包括兩個(gè)面板：包括兩個(gè)面板：“Fit Editor面板和面板和“Tabe of Fits面板。面板。（1Fit editor 選擇擬合的文件名、數(shù)據(jù)選擇擬合的文件名、數(shù)據(jù)集，選擇排除數(shù)據(jù)的文件，比較數(shù)據(jù)擬合集，選擇排除數(shù)據(jù)的文件，比較數(shù)據(jù)擬合的各種方法，包括庫(kù)函數(shù)、自定義的擬合的各種方法，包括庫(kù)函數(shù)、自定義的擬合模型和擬合參數(shù)的選擇。模型和擬合參數(shù)的選擇。（2Table of Fits 同時(shí)列出所有的擬合同時(shí)列出所有的擬合結(jié)果。結(jié)果。兩個(gè)面板的詳細(xì)描述：兩個(gè)面板的詳細(xì)

27、描述：New fit 和和 Copy fit 按鈕：開(kāi)始進(jìn)行曲線(xiàn)按鈕：開(kāi)始進(jìn)行曲線(xiàn)擬合是，單擊擬合是，單擊New fit按鈕，它采用默認(rèn)按鈕，它采用默認(rèn)的線(xiàn)性多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)。在原有的擬合形的線(xiàn)性多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)。在原有的擬合形式上，選擇不同的曲線(xiàn)擬合方法，可以用式上，選擇不同的曲線(xiàn)擬合方法，可以用Copy fit 按鈕。按鈕。Fit name 選項(xiàng)為當(dāng)前擬合曲線(xiàn)的名字。單選項(xiàng)為當(dāng)前擬合曲線(xiàn)的名字。單擊擊New fit 按鈕時(shí)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生默認(rèn)的文件按鈕時(shí)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生默認(rèn)的文件名。名。Data set 選項(xiàng)為當(dāng)前的數(shù)據(jù)集。選項(xiàng)為當(dāng)前的數(shù)據(jù)集。Exclusion rule 排除異常值的文件名，在排除異常值

28、的文件名，在數(shù)據(jù)與處理前建立的文件名。數(shù)據(jù)與處理前建立的文件名。Center and scale X data 可對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)可對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化和離散化處理。進(jìn)行中心化和離散化處理。Type of fit 擬合的類(lèi)型，包括參數(shù)擬合和擬合的類(lèi)型，包括參數(shù)擬合和非參數(shù)擬合兩種。具體包括：非參數(shù)擬合兩種。具體包括：（1Custom Equations 自定義擬合的自定義擬合的線(xiàn)性或非線(xiàn)性方程；線(xiàn)性或非線(xiàn)性方程；（2New equation 使用使用Custom Equations 按鈕錢(qián)，必須單擊按鈕錢(qián)，必須單擊New equation 按鈕選擇合適的方程；按鈕選擇合適的方程；（3Exponent

29、ial指數(shù)擬合包括兩種形式： y=a*exp(b*x) y=a*exp(b*x)+c*exp(d*x)（4Fourier傅立葉擬合，正弦和余弦之和共8個(gè)多項(xiàng)式） )*8sin()*8cos()*sin()*cos()*2sin()*2cos()*sin()*cos()*sin()*cos(8811022110110wxbwxawxbwxaawxbwxawxbwxaawxbwxaa （5Gaussian 高斯法，包括8個(gè)公式：)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*888111111cbxacbxacbxa （6Interpolant 內(nèi)插法，包括線(xiàn)性?xún)?nèi)插、最近鄰

30、內(nèi)插、三次樣條內(nèi)插和shape-preserving內(nèi)插；（7Polynomial多項(xiàng)式，從一次到九次；（8Rational有理擬合，兩個(gè)多項(xiàng)式之比，有理擬合，兩個(gè)多項(xiàng)式之比，分子與分母都是多項(xiàng)式；分子與分母都是多項(xiàng)式；（9Power指數(shù)擬合，包括兩種形式：指數(shù)擬合，包括兩種形式： y=a*xb y=a*xb+c（10Smoothing spline 平滑樣條擬合，平滑樣條擬合，默認(rèn)的平滑參數(shù)由擬合的數(shù)據(jù)集來(lái)決定，默認(rèn)的平滑參數(shù)由擬合的數(shù)據(jù)集來(lái)決定，參數(shù)是參數(shù)是0產(chǎn)生一個(gè)分段的線(xiàn)性多項(xiàng)式擬合，產(chǎn)生一個(gè)分段的線(xiàn)性多項(xiàng)式擬合，參數(shù)是參數(shù)是1產(chǎn)生一個(gè)分段三次多項(xiàng)式擬合；產(chǎn)生一個(gè)分段三次多項(xiàng)式擬合；（

31、11Sum of Sin Functions 正弦函數(shù)正弦函數(shù)的和，采用以下的和，采用以下8個(gè)公式：個(gè)公式： a1*sin(b1*x+c1) a1*sin(b1*x+c1)+ a8*sin(b8*x+c8)（12Weibull 兩個(gè)參數(shù)的兩個(gè)參數(shù)的Weibull分布，分布，表達(dá)式如下：表達(dá)式如下： Y=a*b*x(b-1)*exp(-a*xb)（3Degree of Freedom Adjusted R-Square 調(diào)整自由度以后的殘差的平方，調(diào)整自由度以后的殘差的平方，數(shù)值越接近數(shù)值越接近1，曲線(xiàn)的擬合效果越好，曲線(xiàn)的擬合效果越好（4Root Mean Square Error 根的均根的

32、均方誤差方誤差Table of fits 擬合曲線(xiàn)的列表，可以對(duì)每擬合曲線(xiàn)的列表，可以對(duì)每個(gè)列表做如下操作：個(gè)列表做如下操作：Delete fit 刪除所選的擬合曲線(xiàn)；刪除所選的擬合曲線(xiàn)；Save to workspace 儲(chǔ)存所有的擬合信儲(chǔ)存所有的擬合信息；息；Table options 選擇與擬合相聯(lián)系的信息。選擇與擬合相聯(lián)系的信息。Fit options 包括一些擬合方法，如線(xiàn)性擬包括一些擬合方法，如線(xiàn)性擬合、非線(xiàn)性擬合，以及其他選項(xiàng)；合、非線(xiàn)性擬合，以及其他選項(xiàng)；單擊單擊Apply按鈕：采用上述所選各種方法進(jìn)按鈕：采用上述所選各種方法進(jìn)行擬合；行擬合；單擊單擊Immediate app

33、ly按鈕，在選擇一個(gè)按鈕，在選擇一個(gè)擬合形式后立即輸出結(jié)果并存儲(chǔ)；擬合形式后立即輸出結(jié)果并存儲(chǔ)；Results羅列進(jìn)行擬合的各種參數(shù)：羅列進(jìn)行擬合的各種參數(shù)：（1SSE-sum of squares due to error 誤差平方和，越接近誤差平方和，越接近0曲線(xiàn)的擬合曲線(xiàn)的擬合效果越好效果越好（2R-square 越接近越接近1，曲線(xiàn)的擬合效，曲線(xiàn)的擬合效果越好果越好例：用三次和五次多項(xiàng)式擬合下列數(shù)據(jù)例：用三次和五次多項(xiàng)式擬合下列數(shù)據(jù)rand(state,0)x=1:0.1:3 9:0.1:10;c=2.5 -0.5 1.3 -0.1;y=c(1)+c(2)*x+c(3)*x.2+c(4

34、)*x.3+(rand(size(x)-0.5);cftool(x,y);建立一個(gè)M文件，并運(yùn)行上述文件，打開(kāi)曲線(xiàn)擬合工具點(diǎn)擊點(diǎn)擊fitting按鈕按鈕new fitcubic polynomial-applyresultsLinear model Poly3: f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = -0.09837 (-0.1095, -0.08729) p2 = 1.275 (1.113, 1.437) p3 = -0.4351 (-1.092, 0.2222) p4

35、= 2.56 (1.787, 3.332)Goodness of fit: SSE: 2.587 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9993 RMSE: 0.3039Results：Linear model Poly5: f(x) = p1*x5 + p2*x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 0.001389 (-0.003589, 0.006367) p2 = -0.03441 (-0.1601, 0.09125) p3 = 0.1

36、934 (-0.9131, 1.3) p4 = 0.2733 (-3.856, 4.402) p5 = 1.013 (-5.785, 7.811) p6 = 1.835 (-2.167, 5.837)Goodness of fit: SSE: 2.552 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9992 RMSE: 0.3133擬合圖形：擬合圖形：例：用有理擬合方法擬合數(shù)據(jù)例：用有理擬合方法擬合數(shù)據(jù)hahn1.mhahn1.m是是matlab自帶，描述銅的熱膨自帶，描述銅的熱膨脹與熱力學(xué)溫度的相關(guān)性，包括兩個(gè)向量脹與熱力學(xué)溫度的相關(guān)性，包括兩個(gè)向量temp與

37、與thermex。 load hahn1 cftool(temp,thermex) 分子分母均為分子分母均為2次次分子分母均為分子分母均為3次次分子三次、分母二次分子三次、分母二次分子三次、分母二次的有理多項(xiàng)式擬合鮮果分子三次、分母二次的有理多項(xiàng)式擬合鮮果很好，擬合曲線(xiàn)充分體現(xiàn)了整個(gè)數(shù)據(jù)，殘很好，擬合曲線(xiàn)充分體現(xiàn)了整個(gè)數(shù)據(jù)，殘差隨機(jī)分布在差隨機(jī)分布在0附近。附近。3.非參數(shù)擬合非參數(shù)擬合 有時(shí)我們對(duì)擬合參數(shù)的提取或解釋不感有時(shí)我們對(duì)擬合參數(shù)的提取或解釋不感興趣，只想得到一個(gè)平滑的通過(guò)各數(shù)據(jù)點(diǎn)的興趣，只想得到一個(gè)平滑的通過(guò)各數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線(xiàn)，這種擬合曲線(xiàn)的形式稱(chēng)之為非參數(shù)擬曲線(xiàn)，這種擬合曲線(xiàn)的形式稱(chēng)

38、之為非參數(shù)擬合。合。 非參數(shù)擬合的方法包括非參數(shù)擬合的方法包括（1插值法插值法Interpoants（2平滑樣條內(nèi)插法平滑樣條內(nèi)插法Smoothing spline 內(nèi)插法：內(nèi)插法：在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)之間估計(jì)數(shù)值的過(guò)程，包括在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)之間估計(jì)數(shù)值的過(guò)程，包括Linear 線(xiàn)性?xún)?nèi)差，在每一隊(duì)數(shù)據(jù)之間用不線(xiàn)性?xún)?nèi)差，在每一隊(duì)數(shù)據(jù)之間用不同的線(xiàn)性多項(xiàng)式擬合；同的線(xiàn)性多項(xiàng)式擬合；Nearest neighbor 最近鄰內(nèi)插，內(nèi)差點(diǎn)最近鄰內(nèi)插，內(nèi)差點(diǎn)在最相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間；在最相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間；Cubic spline 三次樣條內(nèi)插，在每一隊(duì)數(shù)三次樣條內(nèi)插，在每一隊(duì)數(shù)據(jù)之間用不同的三次多項(xiàng)式擬合；據(jù)之間用不同的三次多項(xiàng)式擬合；Shape-preserving 分段三次艾爾米