1、1極限計算方法總結(jié)、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果1 1 定義：(各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見高等數(shù)學(xué)函授教材，這里不一一敘述)說明：(1) 一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限(極限值可以觀察得到)都可以用上面的 極限嚴(yán)格定義證明，例如：,m當(dāng)一=0時,b 為常數(shù)且 a式0)； 匹-1)=5；lim q=不存在 當(dāng) 時；等等(2) 在后面求極限時，(1 1)中提到的簡單存限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需 再用極限嚴(yán)格定義證明。2 2 極限運(yùn)算法則定理 1 1 已知lim f(x),lim g(x)都存在，極限值分別為 A A, B B，則下面極限都存在,且有 (1 1)lim f (x) _ g(x)

2、= A _ B(2)lim f (x) g (x)二A B(3)limf(x)= A ,(此時需 B = 0 成立)g(x) B說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時,不能用。3 3 兩個重要極限sin x limX-Qx1(2)lim (1 x)x= e -XT。，說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式,作者簡介：靳一東，男，(1964),副教授。1x例如：limsin 3x=1,lim (1 - 2x)，x= e,lim (13)3= e；等等。XTO3xXTOIx4 4 .等價無窮小定理 2 2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍

3、然是無窮小(即極限是0 0)。定理 3 3 當(dāng) X XT T0時，下列函數(shù)都是無窮小(即極限是0 0),且相互等價，即有：xsin xta n xarcs in xarcta n xln (1 x)ex- 1。說明：當(dāng)上面每個函數(shù)中的自變量x 換成g (x)時(g(x)T 0),仍有上面的等價3x3x 彳2 2關(guān)系成立，例如：當(dāng)x o時，e -13x；ln(1 -x2)-x。(1)=12定理 4 4 如果函數(shù)f (x), g(x), fi(x), gi(x)都是xx時的無窮小，且f(x)fi(x)f (x)fl(x)f (x)lim -，即lim= =lim。Fgi(X)XTXog(x) To

4、g。)5 5 洛比達(dá)法則定理 5 5 假設(shè)當(dāng)自變量x 趨近于某一定值(或無窮大)時，函數(shù)f (x)和g(x)滿足:(1)f (x)和g(x)的極限都是 0 0 或都是無窮大；(2)f (x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為 0 0；f (x)(3)lim存在(或是無窮大)；g (x)f (x)f (X)f(X)f(X)則極限lim也一定存在，且等于lim，即lim= =limg(x)g (x)g(x)g (x)說明：定理 5 5 稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不 滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件(1 1 )是否滿足，即驗(yàn)證所求極限0O0是否為“

5、 Y Y ”型或“一”型；條件(2 2) 般都滿足，而條件(3 3)則在求導(dǎo)完畢0后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注 意條件。6 6 連續(xù)性定理 6 6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果X。是函數(shù)f(x)的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有l(wèi)im f(x)=f(x0)。XT%7 7 極限存在準(zhǔn)則定理 7 7 (準(zhǔn)則 1 1)單調(diào)有界數(shù)列必有極限。定理 8 8 (準(zhǔn)則 2 2)已知Xn ,yn ,Zn為三個數(shù)列，且滿足:(1)y xZn, (n =1,2,3,)(2)lim yn= a,lim Zn=anjec則極限lim xn一定存在，且極限值也是a a

6、，即lim xn= a。nnJPCfi(x),g(x)gi(x),則當(dāng)limfi(x)I-x兇gi(x)存在時，f (x)li m也存在且等于x必g(x)3、求極限方法舉例1 1.用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限4Q3x+1)2-223x-33解：原式= =lim= lim一J1(x_1)Q3x+1 +2)J1(x_1)Q3x + 1 + 2) 4注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例 2 2lim、,n( i n 2 - n -1)n n_ _例 3 3lim科nc 2門+3門(-1)11。(|)n 1解：原式= =limn(nn_32o2 2.利用函數(shù)的連續(xù)性(定理6 6)求極限例 4

7、4lim xXT2解：因?yàn)閤0=2是函數(shù)12 f (x)二X ex的一個連續(xù)點(diǎn),12 2所以原式= =2 e2二3 3.利用兩個重要極限求極限1 - cos x例 5 5lim2一xQ 3x22si n2解：原式=女叫23 x2x2si n2Tim2x;0 x212(-)注：本題也可以用洛比達(dá)法則。2例 6 6liq(1 - 3sin x)x1-6sin x解：原式= =lim (1 - 3sin x)石戰(zhàn)xj0lim (1 - 3sin x)=lx )01-6sin x-3sinxxe6。上下同除以 3n解：原式lim -n :5例 7 7lim(口)nn n 14 4.利用定理 2 2 求

8、極限解：原式=0=0 （定理 2 2 的結(jié)果）5 5.利用等價無窮小代換（定理,.t anx si nx l imx)0l i m =0。x 0例 8 8lim xx_02sin1xxl n(1 3x)例9艸0arctan(x2)解：x0時，In(1 3x)3x,arctan(x2)x2,原式= =limx sin xe e例 1010limT x sin xsin x # x _sin xe(e解：原式= =lim XT-1)x - sin xsin xze(x si nx)limxQx - si n x注：下面的解法是錯誤的Xsinx(e -1) -(e -1)原式= =lim7 xsi

9、nxx sin x=lim1oxQx - sin x正如下面例題解法錯誤一樣ta n(x2例 1111limx50 1、sin )x sinx1解：；當(dāng) x 0 時，x2sinx是無窮小，tan（x2sin1)與 x2sin1等價，xx所以，原式= =xmx2 .1x sin.x1lim xsin 0。(最后一步用到定理 2 2)x0 x6 6.利用洛比達(dá)法則求極限解：原式= =lim (13)n +1n： ：1 _3n二lim(1n ：:斗n 1inn： ：_3=eo4 4) 求極限67說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代 換等方法。同時，洛比達(dá)法則還可

10、以連續(xù)使用。xsin x例 1414lim0sin x- xcosx例 1515lim 7 x sin x解：解：錯誤解法：原式= =lim丄-丄=0=0。 x正確解法:例 1212lim01-COSX3x2（例4 4）sin x解：原式= =XmD6x1。 （最后一步用到了重要極限）6兀xcos一2例 1313limj x 1解：原式=迎sin2 2x31cosxsinx解：原式=訕一=!吵盂x03x21（連續(xù)用洛比達(dá)法則， 最后用重要極限）6原式sinx-xcosx-limx0 x2cosx -(cosx - xsin x)3x2= limxQxsinx3x2例 1818lim - Y x

11、1ln(1 x)8原式二limln(1x)一xxxln (1 x)lim也 4x 0二lim1-11 x2xxm02x(1 + x) 29應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例上面對求極限的常用方法進(jìn)行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多 樣，而且許多題目不只用到一種方法， 因此，要想熟練掌握各種方法， 必須多做練習(xí), 在練習(xí)中體會。另外，求極限還有其它一些方法， 如用定積分求極限等， 由于不常用, 這里不作介紹。例19網(wǎng)：x -2sin x3x cosx解：易見：該極限是“0”型，但用洛比達(dá)法則后得到:0不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：1-2 cos xlim，此極限J 3 - sin x 2sinx1 -原式= =limc cosx 3x（分子、 分母同時除以x x)1= =3（利用定理 1 1 和定理 2 2）37 7.利用極限存在準(zhǔn)則求極限例 2020 已知 xxk2 , xn d2 xn, （n二1,2,），求lim_xn解：易證：數(shù)列xn單調(diào)遞增，且有界（ooxn22）,由