1、偏微分方程論文：偏微分方程孤立子解 Lie 變換群【中文摘要】本文取得的主要結果屬于理論性的，可概括如下：首先利用推廣的 Tanh-函數法以及在此基礎上的拓展和形變映射法，獲得了BBM 方程的許多顯式精確行波解，包括孤子解、復線孤子解、周期波解、Jacobi 橢圓函數解、維爾斯特拉斯橢圓函數解等。其次 介紹如何利用 Lie變換群作用下偏微分方程的不變性來構造它的解。 與常微分方程的情形相似，我們將看到，確定一個給定 PDE 所擁有的 Lie 點變換群的無窮小生成元，其算法可由它的不變性無窮小準則直 接導出。利用 Lie 對稱群的不變曲面可得到相似解，這樣的解是通過 求解約化方程得到的。約化方程

2、所含未知變量個數比原方程少。 本節 就是用古典無窮小算法導出了由軸對稱波方程的任意元和無窮小生 成子的系數構成的超定線性偏微分方程組，即確定方程 DE 其次借助 符號計算機軟件 maple 解方程組,求出了軸對稱波方程的一些無窮小 生成元,然后根據 Lie 第一基本定理求出了相對應的單參數 Lie 變換 群.最后將所求得的無窮小生成元代入不變曲面條件，分別利用不變 形式法和直接代入法求出軸對稱波方程的群不變解。最后討論如何利 用 Lie 點變換群作用下的不變性求解 PDEs 的邊值問題。如果 PDE 所 擁有的單參數 Lie 點對稱群同時也使邊值問題的邊界條件和領域不 變，那么此邊值問題的解也

3、是不變解。因此，邊值問題也可被構造性地 約化為含更少的自變量的 PDES 的邊值問題。對于線性 PDE 限制條件 可放寬,不必要求邊界條件不變。對應于同一特征函數展開的不變解進行疊加。可得邊值問題的解，其中特征值是利用一個齊次線性PDE在其自變量的標度下的不變性得到的。另外，也將討論多參數 Lie 點 變換群作用下邊值問題的不變性。我們利用上面給出的方法求出了 Green 函數的邊值問題的不變解。【英文摘要】 First tanh-function method is extended then used tosolve BBM equati on. we also used deformat

4、io n mapp ing method toobtain solutions of BBM equation. With both methods we can obta inabundant explicit and exact trav ing wave soluti ons. Which coati on Soliton soluti ons, Plural li ne solit on soluti ons, periodic wave solutio ns,Jacobi elliptic fucti on soluti on s,Weierstrass elliptic fun c

5、ti on solutio nsandother exact solutions.Second we apply infinitesimal transformations to theconstruction of solutions of partial differential equations. As for ODE swe will show that theinfini tesimalcriteri on for inv aria nee of PDE s leads directlyto an algorithm to determine infinitesimal gener

6、ators X admitted by give nPDE s .Inv aria nt surfaces of the corresp onding Lie group of point transformati ons lead to similarity solutions.These solutions are obtainedby solvingPDE s with fewer independent variables than the given PDEs. Now we obta in the set of determ ining equatio ns is an overd

7、erminedsystem of PDE s which is composedof the arbitrary eleme nt ofaxisymmetric wave equati on and the coefficie nt ofinfinitesimal generators, that derived by classicalinfinitesimal Lie method. Second we give some infinitesimal gen erators ofaxisymmetric wave equati on with the help of symbols com

8、puter sorftware,after we find out the PDE Son e-parameter Lie group of tran sformatio ns by first fun dame ntaltheorem of Lie. Last take the infini tesimal gen erators that we find out in toinv aria nt surface con diti on then we can get group inv aria ntsolutions of axisymmetric waveequati on by us

9、e inv aria nt form method or direct substituti on .Last wediscuss how one can use infin itesimaltransformations to solve boundary value problems for PDE sf a one-parameter Lie group of tran sformati on admitted by a PDE leaves thedomain and boundary conditions of a BVPinvariant , then the solution ofthe BVPis an invariantsolution, and hencethe give n BVP is reduced to a BVP with one less in depe ndentvariable .we also con sider the inv aria nt of BVP s un dermulti-parameter Lie groups of transformations.Wenowapply thegiven