1、一、提出問題：一、提出問題： 甲、乙兩個班，原來甲班比乙班多20人如今學校從甲班抽調14人去乙班，那么甲班人數正好是乙班人數的7/8，求甲、乙兩個班的現有人數算術解法：甲班原比乙班多算術解法：甲班原比乙班多2020人，乙班現人，乙班現比甲班多比甲班多14142-202-20人，相當于乙班現人，相當于乙班現有人數的有人數的 . .因此，乙班現有人數為因此，乙班現有人數為 ，甲班現，甲班現有人數為有人數為)871( )(64)871()20214(人人 ).(568764人人 代數解法：設甲班現有代數解法：設甲班現有x x人，那么乙班現人，那么乙班現有有x+14x+142-20=x+82-20=x

2、+8人，因此，人，因此， 即甲班現有即甲班現有5656人，乙班現有人，乙班現有6464人人. .).(56,)8(87人人 xxx對比兩種解法可以看出：對比兩種解法可以看出： 算術解法是把未知量置于特殊位置，設法用知量組算術解法是把未知量置于特殊位置，設法用知量組成的混合運算式表示出來成的混合運算式表示出來( (在條件較復雜時，列出這樣在條件較復雜時，列出這樣的式子往往比較困難的式子往往比較困難) )； 代數解法是把未知量與知量同等對待代數解法是把未知量與知量同等對待( (使未知量在使未知量在分析問題的過程中也能發揚作用分析問題的過程中也能發揚作用) )，找出各量之間的等，找出各量之間的等量關

3、系，建立方程量關系，建立方程 因此，代數解法的因此，代數解法的“直截了當比算術解法的直截了當比算術解法的“拐彎拐彎抹角要方便得多但是，在由算術解法向代數解法抹角要方便得多但是，在由算術解法向代數解法轉化的過程中，同窗們原來的思想定勢不同程度的成轉化的過程中，同窗們原來的思想定勢不同程度的成為接受新思想的妨礙，算術解法的思想會時隱時為接受新思想的妨礙，算術解法的思想會時隱時現要充分發揚代數解法的優越性，必需有認識地進現要充分發揚代數解法的優越性，必需有認識地進展對比性訓練解題，使同窗們從思想上認識到學習代展對比性訓練解題，使同窗們從思想上認識到學習代數解法的必要性，而自覺地運用數解法的必要性，而

4、自覺地運用二、知識梳理：二、知識梳理：1 1、列方程解運用題、列方程解運用題: : 學習列方程解運用題是非常重要的，首學習列方程解運用題是非常重要的，首先從學習內容上講，中學數學的學習離不開先從學習內容上講，中學數學的學習離不開方程，離不開利用列方程來處理運用問題，方程，離不開利用列方程來處理運用問題，特別是我們曾經明確了這樣一種思想：學習特別是我們曾經明確了這樣一種思想：學習數學重在運用因此列方程解運用題中蘊含數學重在運用因此列方程解運用題中蘊含的思想方法對學習者而言是非常重要的第的思想方法對學習者而言是非常重要的第二，經過列方程解運用題可以培育和提高分二，經過列方程解運用題可以培育和提高分

5、析問題和處理問題的才干這對于一個人的析問題和處理問題的才干這對于一個人的開展也是非常重要的開展也是非常重要的 列方程過程的本質有多種說法：如“經過分析，找出等量關系，而列出方程，或“把標題中蘊含的相等關系找出來，列出方程這些說法都指明了列方程的方向找出相等關系普通步驟如下：(1)審題、弄清題意，分清哪些是知量，哪些是未知量(2)設未知數，選一個適當的未知量設為未知數x(3)列方程(4)解所列的方程(5)根據題意，作出答案詳細可從以下三條途徑出發研討處理：詳細可從以下三條途徑出發研討處理：(1)(1)圖解分析：圖解分析： 分析問題中的數量關系時，借助圖分析問題中的數量關系時，借助圖形，可以使籠統

6、的關系直觀化、簡單化，形，可以使籠統的關系直觀化、簡單化，根據題意畫圖列式是對同窗們的思想才根據題意畫圖列式是對同窗們的思想才干的有效培育這里，應要求干的有效培育這里，應要求“圖要達意圖要達意，防止圖上發生錯誤而呵斥列式錯，防止圖上發生錯誤而呵斥列式錯誤誤(2)(2)列表分析：列表分析： 列表法的優點是經過列表歸類使列表法的優點是經過列表歸類使對應量之間關系較為明晰，往往有利于對應量之間關系較為明晰，往往有利于運用比例分析法顯示解題思緒運用比例分析法顯示解題思緒(3)(3)框圖分析：框圖分析： 框圖分析是由文字言語、符號言框圖分析是由文字言語、符號言語及長方格經過題中相等關系確立而成，語及長方

7、格經過題中相等關系確立而成，容易操作，不拘一格。容易操作，不拘一格。例例1 1、某連隊從駐地出發前往某地執行義、某連隊從駐地出發前往某地執行義務行軍速度是務行軍速度是6 6千米千米/ /時，時，1818分鐘后，分鐘后，駐地接到緊急命令，派遣通訊員小王駐地接到緊急命令，派遣通訊員小王必 需 在 一 刻 鐘 內 把 命 令 傳 達 給 連必 需 在 一 刻 鐘 內 把 命 令 傳 達 給 連隊小王騎自行車以隊小王騎自行車以1414千米千米/ /時的速度時的速度沿同一道路追逐連隊問能否能在規沿同一道路追逐連隊問能否能在規定時間內完成義務定時間內完成義務例例2 2、汽船從甲地順水開往乙地，所用、汽船從

8、甲地順水開往乙地，所用時間比從乙地逆水開往甲地少時間比從乙地逆水開往甲地少1.51.5小小時知此船在靜水中速度為時知此船在靜水中速度為1818千米千米/ /時，水流速度為時，水流速度為2 2千米千米/ /時求甲、乙時求甲、乙兩地間的間隔兩地間的間隔2 2、抓住、抓住“不變量解運用題不變量解運用題 列方程解運用題的關鍵是尋覓數列方程解運用題的關鍵是尋覓數量間的相等關系，這要從分析題中的量間的相等關系，這要從分析題中的根本量入手去尋覓普通說來，一個根本量入手去尋覓普通說來，一個問題中有幾種根本量就可以找出幾種問題中有幾種根本量就可以找出幾種相等關系但有些運用題中的相等關相等關系但有些運用題中的相等

9、關系不外露，如能抓住問題中的系不外露，如能抓住問題中的“不變量不變量即可得到相等關系，從而列出方程，即可得到相等關系，從而列出方程，甚至能找出多種解法，拓寬解題思甚至能找出多種解法，拓寬解題思緒緒 例例3 3、某工人在一定時間內加工一批零件，、某工人在一定時間內加工一批零件，假設每天加工假設每天加工4444個就比規定義務少加工個就比規定義務少加工 2020個；假設每天加工個；假設每天加工5050個，那么可超額個，那么可超額1010個求規定加工的零件數和方案加工個求規定加工的零件數和方案加工的天數的天數分析：此題每天加工的零件數是變量，實分析：此題每天加工的零件數是變量，實踐做的任務總量也隨著變

10、化，但有兩個踐做的任務總量也隨著變化，但有兩個不變量，即方案加工的時間不變，規定不變量，即方案加工的時間不變，規定義務不變，這就是標題中的等量關系，義務不變，這就是標題中的等量關系，故可得到兩種解法故可得到兩種解法例例4 4、一艘輪船從甲地順流而下、一艘輪船從甲地順流而下8 8小時到達小時到達乙地，原路前往要乙地，原路前往要1212小時，才干到達甲小時，才干到達甲地，知水流速度是每小時地，知水流速度是每小時3 3千米，求甲、千米，求甲、乙兩地的間隔乙兩地的間隔分析：此題中甲、乙兩地間的間隔與輪船分析：此題中甲、乙兩地間的間隔與輪船本身的速度本身的速度( (靜水速度靜水速度) )是是“不變量，不

11、變量，分別抓住這兩個分別抓住這兩個“不變量即得兩種不不變量即得兩種不同的等量關系可從兩個不同方面設出同的等量關系可從兩個不同方面設出未知數未知數 有關溶液的濃度運用題是初中代數中列方程解運用題的一類基此題解這類運用題，關鍵的問題是：抓住不變量(如稀釋前溶質分量等于稀釋后溶質分量)列方程 1 1求溶質求溶質例例5 5、現有濃度為、現有濃度為2020的鹽水的鹽水300300克和濃度為克和濃度為3030的鹽水的鹽水200200克，需配制成濃度為克，需配制成濃度為6060的鹽水，的鹽水，問兩種溶液全部混合后，還需加鹽多少克？問兩種溶液全部混合后，還需加鹽多少克？解：設兩種溶液全部混合后，還需加鹽解：設

12、兩種溶液全部混合后，還需加鹽x x克，留克，留意混合前后溶質總量不變，依題意得方程：意混合前后溶質總量不變，依題意得方程： 20 20300+30300+30200+x=60200+x=60(300+200+x)(300+200+x) 化簡得化簡得2x=9002x=900解這個方程得解這個方程得x=450 x=450答：兩種溶液全部混合后，還需加鹽答：兩種溶液全部混合后，還需加鹽450450克克2 2求溶劑求溶劑例例6 6、要把濃度為、要把濃度為9090的酒精溶液的酒精溶液500500克，克，稀釋成濃度為稀釋成濃度為7575的酒精溶液，需加水的酒精溶液，需加水多少克多少克解：設需加水解：設需加

13、水x x克，由于加水前后溶質數克，由于加水前后溶質數量不變，依題意得方程量不變，依題意得方程 75 75(x+500)=90(x+500)=90 500500 化簡得化簡得15x=150015x=1500 解這個方程得解這個方程得x=100 x=100 答：需加水答：需加水100100克克3 3求溶液求溶液例例7 7、有假設干克、有假設干克4 4的鹽水蒸發了一些水分后，的鹽水蒸發了一些水分后，變成變成1010的鹽水，接著加進的鹽水，接著加進4 4的鹽水的鹽水300300克，克，混合后變為混合后變為6.46.4的鹽水，的鹽水， 問問: :最初有鹽水多少克？最初有鹽水多少克？解：設最初有鹽水解：設

14、最初有鹽水x x克，留意混合后的含鹽量，克，留意混合后的含鹽量，依題意得方程依題意得方程 化簡得化簡得 1.44x=720 1.44x=720 解這個方程得解這個方程得x=500 x=500答：最初有鹽水答：最初有鹽水500500克克).300%10%4%(4 . 6300%4%4 xx4 4求濃度求濃度例例8 8、甲種硫酸溶液含硫酸的百分數是乙種硫酸溶液、甲種硫酸溶液含硫酸的百分數是乙種硫酸溶液的的1.51.5倍，甲種硫酸溶液倍，甲種硫酸溶液5 5份與乙種硫酸溶液份與乙種硫酸溶液3 3份混份混合成的硫酸溶液含硫酸合成的硫酸溶液含硫酸52.552.5，求兩種硫酸溶液含，求兩種硫酸溶液含硫酸的百

15、分數硫酸的百分數解：設乙種硫酸溶液含硫酸的百分數為解：設乙種硫酸溶液含硫酸的百分數為x x，那么甲種，那么甲種硫酸溶液含硫酸的百分數為硫酸溶液含硫酸的百分數為1.5x1.5x，依題意得方程，依題意得方程5 51.5x+3x=52.51.5x+3x=52.58 8化簡得化簡得105x=42105x=42解這個方程得解這個方程得x=0.4=40 x=0.4=40，那么那么 1.5x=1.5 1.5x=1.50.4=0.6=600.4=0.6=60答：甲種硫酸溶液含硫酸的百分數是答：甲種硫酸溶液含硫酸的百分數是6060，乙種硫酸，乙種硫酸溶液含硫酸的百分數是溶液含硫酸的百分數是4040從以上幾例可以

16、看出：從以上幾例可以看出： 抓住不變量關系是處理有抓住不變量關系是處理有關百分比濃度運用題中所涉及的關百分比濃度運用題中所涉及的各種量的關鍵各種量的關鍵3 3、用整體思想解運用題、用整體思想解運用題 數學崇尚簡捷初中不少數學運用題數學崇尚簡捷初中不少數學運用題假設能著眼于整體構造，往往能觸及假設能著眼于整體構造，往往能觸及問題的本質，從而獲得簡捷明快的解問題的本質，從而獲得簡捷明快的解法把整體思想解題用于教學不但可法把整體思想解題用于教學不但可以培育學生著眼于整體的認識，而且以培育學生著眼于整體的認識，而且有利于培育學生思想的矯捷性有利于培育學生思想的矯捷性 例例9 9、甲、乙兩人分別從、甲、

17、乙兩人分別從A A、B B兩地同兩地同時相向出發，在離時相向出發，在離B B地地6 6千米處相遇千米處相遇后又繼續前進，甲到后又繼續前進，甲到B B地，乙到地，乙到A A地地后，都立刻前往，又在離后，都立刻前往，又在離A A地地8 8千米千米處相遇，求處相遇，求A A、B B兩地間的間隔兩地間的間隔分析：用常規方法處理此題具有一定難度，假設把兩分析：用常規方法處理此題具有一定難度，假設把兩個運動過程一同處置，便可使問題迎刃而解個運動過程一同處置，便可使問題迎刃而解解：如圖，第一次相遇，甲、乙兩人合走一個全程，解：如圖，第一次相遇，甲、乙兩人合走一個全程，對應乙走對應乙走6 6千米；千米；第二次

18、相遇，甲、乙兩人合走了三個全程，故乙共第二次相遇，甲、乙兩人合走了三個全程，故乙共走了走了1818千米，千米，設設A A、B B兩地間的間隔為兩地間的間隔為x x千米，第二次相遇時乙走了千米，第二次相遇時乙走了(x+8)(x+8)千米，千米，所以所以x+8=18x+8=18，x=10 x=10答：答：A A、B B兩地間距兩地間距離為離為1010千米千米例例1010、甲、乙兩人分別從、甲、乙兩人分別從A A、B B兩地相向而行，假設兩兩地相向而行，假設兩人同時出發，那么經人同時出發，那么經4 4小時相遇；假設甲先出發小時相遇；假設甲先出發3 3小小時后乙再出發，那么經時后乙再出發，那么經2 2

19、小時相遇，問甲、乙單獨小時相遇，問甲、乙單獨走完走完ABAB這段路程各需幾小時？這段路程各需幾小時？解：由兩人同時出發經解：由兩人同時出發經4 4小時相遇，知兩人小時相遇，知兩人2 2小時走全小時走全程的一半；程的一半；又由甲出發又由甲出發3 3小時后乙再出發，經小時后乙再出發，經2 2小時相遇，知甲小時相遇，知甲3 3小時走完全程的一半小時走完全程的一半故甲走完全程需故甲走完全程需6 6小時小時因甲走因甲走5 5小時，乙走小時，乙走2 2小時可走完全程，而甲小時可走完全程，而甲6 6小時走小時走完全程，故甲走完全程，故甲走1 1小時的路程乙需走小時的路程乙需走2 2小時，故乙走小時，故乙走完

20、全程需完全程需1212小時小時答：單獨走完全程，甲需答：單獨走完全程，甲需6 6小時，乙需小時，乙需1212小時小時留意：用常規方法解題是必要的，但留意：用常規方法解題是必要的，但此題運用整體思想求解不但看透了本此題運用整體思想求解不但看透了本質，而且利于培育學生的邏輯思想才質，而且利于培育學生的邏輯思想才干干4 4、合理設元巧解一元一次方程運用題：、合理設元巧解一元一次方程運用題： 列方程解運用題在初中代數中既是重點，又是難點怎樣列方程解運用題，除了找出題中的相等關系外，關鍵還在于如何設元在列方程解運用題時，大多時候是將要求的量設為未知元(設直接元)而有時設直接元時，不易找出標題中的相等關系

21、，此時那么應恰中選擇標題中要求的未知量外有關的某個量為未知元(設間接元)，求出這些量后，再用這些量求出要求的量還有些時候除了設直接元或間接元，還要設輔助列方程的量為未知元(設輔元)，它在方程中，不需求出或不能求出，但便于建立相等關系列方程 1 1不同的設元有不同的方程不同的設元有不同的方程 運用題普通有多個未知量，因此有多種設元方法，從而有多種不同的方程例11、從A地到B地，先下山然后走平路，某人騎自行車以每小時12千米的速度下山，而以每小時9千米的速度經過平路，到達B地共用55分鐘回來時以每小時8千米的速度經過平路而以每小時4千米的速度上山，回到A地共用1.5小時，從A地到B地有多少千米？

22、2 2直接設元與間接設元直接設元與間接設元 普通情況下采用直接設元，即問普通情況下采用直接設元，即問什么就設什么，但有時根據問題的什么就設什么，但有時根據問題的性質，選設適當的間接未知量，就性質，選設適當的間接未知量，就能夠使數量之間的復雜關系變得比能夠使數量之間的復雜關系變得比較簡單，容易列出關于間接未知量較簡單，容易列出關于間接未知量的方程來的方程來例例1212、從家里騎車到火車站，假設每、從家里騎車到火車站，假設每小時行小時行3030千米，那么比火車開車時千米，那么比火車開車時間早到間早到1515分；假設每小時行分；假設每小時行1818千米，千米，那么比火車開車時間遲到那么比火車開車時間

23、遲到1515分現分現要求在火車開車前要求在火車開車前1010分鐘到達火車分鐘到達火車站，騎車的速度應是多少？站，騎車的速度應是多少？例例1313、設有五個數，其中每四個數之和分別是、設有五個數，其中每四個數之和分別是1515、2222、2323、2424、3232，求這五個數，求這五個數分析：這個標題假設設直接元，就應設五個未知元，分析：這個標題假設設直接元，就應設五個未知元，涉及幾個未知數的問題，須列出幾個方程，不易解涉及幾個未知數的問題，須列出幾個方程，不易解出因此，我們想到設間接元的方法，題中知五個出因此，我們想到設間接元的方法，題中知五個數中四個數之和，假設設五個數總和為數中四個數之和

24、，假設設五個數總和為x x，那么這，那么這五個數分別是：五個數分別是：x-15x-15，x-22x-22，x-23x-23，x-24x-24，x-32x-32，它們的和等于它們的和等于x x解：解：( (設間接元設間接元) )設這五個數的和是設這五個數的和是x x那么那么(x-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=x(x-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=x解方程得解方程得x=29x=29這五個數分別為：這五個數分別為：29-15=1429-15=14，29-22= 729-22= 7，29-23=629-23=6，29-24=529-2

25、4=5，29-32=-329-32=-3答：這五個數是答：這五個數是1414，7 7，6 6 ，5 5，-3-33 3加設輔助元加設輔助元 有些運用題中，常隱含一些未知的常有些運用題中，常隱含一些未知的常量，這些量對于求解無直接聯絡，但量，這些量對于求解無直接聯絡，但假設不指明這些量的存在，那么難求假設不指明這些量的存在，那么難求其解因此常把這些未知的常量設為其解因此常把這些未知的常量設為參數，作為橋梁協助思索，這就是加參數，作為橋梁協助思索，這就是加設輔助元設輔助元 例例1414、一輪船從重慶到武漢需、一輪船從重慶到武漢需5 5晝夜，從晝夜，從武漢到重慶需武漢到重慶需7 7晝夜，試問一木排從

26、重晝夜，試問一木排從重慶漂流到武漢需求多少時間？慶漂流到武漢需求多少時間？分析：該題假設設直接元，即木排漂流所分析：該題假設設直接元，即木排漂流所需時間，很難找到相等關系來列方程，需時間，很難找到相等關系來列方程，但由題意知輪船從重慶到武漢為順水航但由題意知輪船從重慶到武漢為順水航行，從武漢到重慶為逆水航行，輪船在行，從武漢到重慶為逆水航行，輪船在靜水中速度不變，木排漂流速度為水流靜水中速度不變，木排漂流速度為水流速度，引入輔助元：重慶到武漢輪船行速度，引入輔助元：重慶到武漢輪船行駛路程為駛路程為s s，水流速度為，水流速度為v v，由輪船在靜，由輪船在靜水中速度不變可列方程水中速度不變可列方

27、程闡明：在列出一元一次方程解運用題時，闡明：在列出一元一次方程解運用題時，由于方程中只需一個未知數，所以不由于方程中只需一個未知數，所以不論運用題中有幾問，都只能設一個未論運用題中有幾問，都只能設一個未知數，但有時只設出一個未知數，有知數，但有時只設出一個未知數，有關的等量關系很難表達，這樣就需求關的等量關系很難表達，這樣就需求在方程中引入一個輔助元，便于列出在方程中引入一個輔助元，便于列出方程表達等量關系，這個輔助元在解方程表達等量關系，這個輔助元在解的過程中，經常被約掉，實踐上還是的過程中，經常被約掉，實踐上還是一個未知數一個未知數例例1515、某人上午、某人上午8 8時乘裝有竹桿的船逆流

28、時乘裝有竹桿的船逆流而上，而上，1010時半發現一捆竹桿掉入河中，時半發現一捆竹桿掉入河中，他立刻掉頭順流去追，用他立刻掉頭順流去追，用3030分追上了分追上了竹桿竹桿是何時掉入河中的？竹桿竹桿是何時掉入河中的？注：在以上求解中，我們是以河岸為參注：在以上求解中，我們是以河岸為參照物來設定船速照物來設定船速V V和水流速度和水流速度v v的并的并且，我們發現船速和水速實踐上對結且，我們發現船速和水速實踐上對結果都無影響可以說這里的參數果都無影響可以說這里的參數V V、v v是設而不求，只起到一個中間過渡作是設而不求，只起到一個中間過渡作用用例例1616、一組割草人要把兩塊四處長得一、一組割草人

29、要把兩塊四處長得一樣密的草地里的草割完，大的一塊比樣密的草地里的草割完，大的一塊比小的一塊大一倍，上半天全部人在大小的一塊大一倍，上半天全部人在大草地割草；下半天一半人仍留在大草草地割草；下半天一半人仍留在大草地上，到晚上把草割完，另一半人去地上，到晚上把草割完，另一半人去割小草地的草，到晚上還剩下一小塊，割小草地的草，到晚上還剩下一小塊，最后由一人再用一天的時間剛好割最后由一人再用一天的時間剛好割完假設這組割草人每天割草速度是完假設這組割草人每天割草速度是相等的，問他們共有多少人？相等的，問他們共有多少人？4 4整體設元整體設元 在某些運用題中，直接設元相當困難，就是間接設元，也會感到未知數

30、太多，知關系太少假設在未知數的某一部分中存在一個整體關系，可設這一部分為一個未知量，這樣就減少了設元的個數，從而易列出方程(組)這種設元方法稱之為整體設元 例例1717、一個五位數的最高位上數字是、一個五位數的最高位上數字是5 5，假設將這個假設將這個5 5移至最右邊的數位上，這移至最右邊的數位上，這所得的五位數比原數的所得的五位數比原數的2/32/3多多70017001，求，求原五位數。原五位數。【注】【注】 此題中的原五位數后四位組成的此題中的原五位數后四位組成的數在題中沒有變化，故可設其為數在題中沒有變化，故可設其為x x假假設分別設個十百千上的數字，那么有四設分別設個十百千上的數字，那

31、么有四個未知量，僅一個相等關系，無法解個未知量，僅一個相等關系，無法解題題 列方程解運用題中的設元問題是列方程解運用題中的設元問題是一個非常廣泛、靈敏而有趣的內容，一個非常廣泛、靈敏而有趣的內容，沒有一種萬能的方法，沒有一種必由沒有一種萬能的方法，沒有一種必由的途徑總之，設元的目的要使列方的途徑總之，設元的目的要使列方程的思緒簡捷，列出的方程的解法容程的思緒簡捷，列出的方程的解法容易在學習中必需靈敏運用切忌生易在學習中必需靈敏運用切忌生搬硬套搬硬套 三、小結：三、小結： 列方程解運用題的原理是：正確列出的方程能準確地表達出標題中各量之間的關系就是說，方程即表達了題意，這樣方程中未知數的值能使方程成立，也就符合題意 我們對間接未知數的作用有了一個初步的了解，它是我們從知通向未知，從復雜通向簡單，從困難通向容易的一座橋梁。正由于如此，在選擇哪一個未知數作為間接未知