1、用導數(shù)來求函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1；2；3分析：按照求極值的基本方法，首先從方程求出在函數(shù)定義域內(nèi)所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點處是否取得極值解：1函數(shù)定義域為R令，得當或時，函數(shù)在和上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在（2，2）上是減函數(shù)當時，函數(shù)有極大值，當時，函數(shù)有極小值2函數(shù)定義域為R令，得或當或時，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當時，函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值3函數(shù)的定義域為R令，得當或時，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當時，函數(shù)在（1，1）上是增函數(shù)當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值說明：思維的周密性是解決問題的基礎，在解題過程中，

2、要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件 綜合運用，方可實現(xiàn)解題的正確性解答本題時應注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導數(shù)的符號相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是學生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤復雜函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1 ；2分析：利用求導的方法，先確定可能取到極值的點，然后依據(jù)極值的定義判定在函數(shù)的定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點”，除了確定其導數(shù)為零的點外，還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導的點這兩類點就是函數(shù)在定義內(nèi)可能取到極值的全部“可疑點”解：1令，解得，但也可能是極值點當或時，函數(shù)在和上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在（0，2）上是減函數(shù)當時，函

3、數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值2令，得當或時，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當或時，函數(shù)在和上是增函數(shù)當和時，函數(shù)有極小值0，當時，函數(shù)有極大值說明：在確定極值時，只討論滿足的點附近的導數(shù)的符號變化情況，確定極值是不全面的在函數(shù)定義域內(nèi)不可導的點處也可能存在極值本題1中處，2中及處函數(shù)都不可導，但在這些點處左右兩側異號，根據(jù)極值的判定方法，函數(shù)在這些點處仍取得極值從定義分析，極值與可導無關根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值例 已知在時取得極值，且1試求常數(shù)a、b、c的值；2試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由分析：考察函數(shù)是實數(shù)域上的可導函數(shù)，可先求導確定可能的極值點，再通過極值點與導數(shù)的關系，即極值

4、點必為的根建立起由極值點所確定的相關等式，運用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值解：1解法一：是函數(shù)的極值點，是方程，即的兩根，由根與系數(shù)的關系，得又， （3）由（1）、（2）、（3）解得解法二：由得， （1） （2）又， （3）解（1）、（2）、（3）得2，當或時，當時，函數(shù)在和上是增函數(shù)，在（1，1）上是減函數(shù)當時，函數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值說明：解題的成功要靠正確思路的選擇本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設結構進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉化，使抽象的問題具體化，在轉化的過程中充分運用了已知條件確定了解題的大方向可見出路在于“思想認識”在求導之后，不會應用的隱含條件，因而造成

5、了解決問題的最大思維障礙利用導數(shù)求函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1；2；3分析：按照求極值的基本方法，首先從方程求出在函數(shù)定義域內(nèi)所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點處是否取得極值解：1函數(shù)定義域為R令，得當或時，函數(shù)在和上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在（2，2）上是減函數(shù)當時，函數(shù)有極大值，當時，函數(shù)有極小值2函數(shù)定義域為R令，得或當或時，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當時，函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值3函數(shù)的定義域為R令，得當或時，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當時，函數(shù)在（1，1）上是增函數(shù)當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值說明：思維的周密性是解決問

6、題的基礎，在解題過程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件 綜合運用，方可實現(xiàn)解題的正確性解答本題時應注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導數(shù)的符號相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是學生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤復雜函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1 ；2分析：利用求導的方法，先確定可能取到極值的點，然后依據(jù)極值的定義判定在函數(shù)的定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點”，除了確定其導數(shù)為零的點外，還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導的點這兩類點就是函數(shù)在定義內(nèi)可能取到極值的全部“可疑點”解：1令，解得，但也可能是極值點當或時，函數(shù)在和上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在（0

7、，2）上是減函數(shù)當時，函數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值2令，得當或時，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當或時，函數(shù)在和上是增函數(shù)當和時，函數(shù)有極小值0，當時，函數(shù)有極大值說明：在確定極值時，只討論滿足的點附近的導數(shù)的符號變化情況，確定極值是不全面的在函數(shù)定義域內(nèi)不可導的點處也可能存在極值本題1中處，2中及處函數(shù)都不可導，但在這些點處左右兩側異號，根據(jù)極值的判定方法，函數(shù)在這些點處仍取得極值從定義分析，極值與可導無關根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值例 已知在時取得極值，且1試求常數(shù)a、b、c的值；2試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由分析：考察函數(shù)是實數(shù)域上的可導函數(shù)，可先求導確定可能的極值點，再通過極

8、值點與導數(shù)的關系，即極值點必為的根建立起由極值點所確定的相關等式，運用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值解：1解法一：是函數(shù)的極值點，是方程，即的兩根，由根與系數(shù)的關系，得又， （3）由（1）、（2）、（3）解得解法二：由得， （1） （2）又， （3）解（1）、（2）、（3）得2，當或時，當時，函數(shù)在和上是增函數(shù)，在（1，1）上是減函數(shù)當時，函數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值說明：解題的成功要靠正確思路的選擇本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設結構進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉化，使抽象的問題具體化，在轉化的過程中充分運用了已知條件確定了解題的大方向可見出路在于“思想認識”在求導之后，不會

9、應用的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性例 討論下列函數(shù)的單調(diào)性：1（且）；2（且）；3分析：利用導數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性，一般應先確定函數(shù)的定義域，再求導數(shù)，通過判斷函數(shù)定義域被導數(shù)為零的點所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號，來確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性當給定函數(shù)含有字母參數(shù)時，分類討論難于避免，不同的化歸方法和運算程序往往使分類方法不同，應注意分類討論的準確性解： 1函數(shù)定義域為R當時，函數(shù)在上是增函數(shù)當時，函數(shù)在上是減函數(shù)2函數(shù)的定義域是或若，則當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在上是減函數(shù)若，則當時，函數(shù)在上是減函數(shù)；當時，函數(shù)在上是增函數(shù)3函數(shù)是奇函數(shù)，只需討論函數(shù)

10、在（0，1）上的單調(diào)性當時， 若，則，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)；若，則，函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)又函數(shù)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性所以當時，函數(shù)在（1，1）上是減函數(shù)，當時，函數(shù)在（1，1）上是增函數(shù)說明：分類討論是重要的數(shù)學解題方法它把數(shù)學問題劃分成若干個局部問題，在每一個局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當這些局部問題都解決完時，整個問題也就解決了在判斷含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍，而且要結合函數(shù)的定義域來確定的符號，否則會產(chǎn)生錯誤判斷 分類討論必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學解題思想作為聯(lián)系知識與能力中的作用，從而提高簡化計

11、算能力利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1；2；3分析：為了提高解題的準確性，在利用求導的方法確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導判斷符號，以避免不該出現(xiàn)的失誤解：1函數(shù)的定義域為R，令，得或函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，0）和；令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和（0，1）2函數(shù)定義域為令，得函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，1）；令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）3函數(shù)定義域為令，得或函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；令，得且，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和說明：依據(jù)導數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了形象思維的直觀性和運動性解決這類問題，如果利用函數(shù)單調(diào)性定義來確定函數(shù)

12、的單調(diào)區(qū)間，運算顯得繁瑣，區(qū)間難以找準學生易犯的錯誤是將兩個以上各自獨立單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集的形式，如將例1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫成 和 的錯誤結果這里我們可以看出，除函數(shù)思想方法在本題中的重要作用之外，還要注意轉化的思想方法的應用求解析式并根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)例 已知，且1設，求的解析式；2設，試問：是否存在實數(shù)，使在內(nèi)為減函數(shù)，且在（1，0）內(nèi)是增函數(shù)分析：根據(jù)題設條件可以求出的表達式，對于探索性問題，一般先對結論做肯定存在的假設，然后由此肯定的假設出發(fā)，結合已知條件進行推理論證，由推證結果是否出現(xiàn)矛盾來作出判斷解題的過程實質(zhì)是一種轉化的過程，由于函數(shù)是可導函數(shù)，因此選

13、擇好解題的突破口，要充分利用函數(shù)的單調(diào)性構造等價的不等式，確定適合條件的參數(shù)的取值范圍，使問題獲解解：1由題意得，2若滿足條件的存在，則函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，當時，即對于恒成立，解得又函數(shù)在（1，0）上是增函數(shù)，當時，即對于恒成立，解得故當時，在上是減函數(shù)，在（1，0）上是增函數(shù)，即滿足條件的存在說明：函數(shù)思維實際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式，它包含著運動、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴、相互制約的關系因此挖掘題目中的隱含條件則是打開解題思路的重要途徑，具體到解題的過程，學生很大的思維障礙是迷失方向，不知從何處入手去溝通已知與未知的關系，使分散的條件相對集中，促成問題的解決不善于應用恒成立

14、和恒成立，究其原因是對函數(shù)的思想方法理解不深利用導數(shù)比較大小例 已知a、b為實數(shù)，且，其中e為自然對數(shù)的底，求證：分析：通過考察函數(shù)的單調(diào)性證明不等式也是常用的一種方法根據(jù)題目自身的特點，適當?shù)臉嬙旌瘮?shù)關系，在建立函數(shù)關系時，應盡可能選擇求導和判斷導數(shù)都比較容易的函數(shù)，一般地，證明，可以等價轉化為證明，如果，則函數(shù)在上是增函數(shù)，如果，由增函數(shù)的定義可知，當時，有，即解：證法一：，要證，只要證，設，則，且，函數(shù)在上是增函數(shù)，即，證法二：要證，只要證，即證，設，則，函數(shù)在上是減函數(shù)又，即說明：“構造”是一種重要而靈活的思維方式，應用好構造思想解題的關鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構造；二是

15、要弄清條件的本質(zhì)特點，以便重新進行邏輯組合解決這種問題常見的思維誤區(qū)是不善于構造函數(shù)或求導之后得出的錯誤結論判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性例 函數(shù)在區(qū)間上是（ ） A增函數(shù)，且 B減函數(shù)，且 C增函數(shù)，且 D減函數(shù)，且分析：此題要解決兩個問題：一是要判斷函數(shù)值y的大小；二是要判斷此函數(shù)的單調(diào)性解：解法一：令，且，則，排除A、B由復合函數(shù)的性質(zhì)可知，u在 上為減函數(shù)又亦為減函數(shù)，故在 上為增函數(shù)，排除D，選C解法二：利用導數(shù)法（），故y在上是增函數(shù)由解法一知所以選C說明：求函數(shù)的值域，是中學教學中的難關一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值等（包括初等方法和

16、導數(shù)法）對于復合函數(shù)的單調(diào)性問題，簡單的復合函數(shù)是可以利用復合函數(shù)的性質(zhì)進行判斷，但是利用導數(shù)法判斷一些較復雜的復合函數(shù)還是有很大優(yōu)勢的利用公式2求函數(shù)的導數(shù)例 求下列函數(shù)的導數(shù)：1；2；3分析：根據(jù)所給問題的特征，恰當?shù)剡x擇求導公式，將題中函數(shù)的結構施行調(diào)整函數(shù)和的形式，這樣，在形式上它們都滿足冪函數(shù)的結構特征，可直接應用冪函數(shù)的導數(shù)公式求導解：123說明：對于簡單函數(shù)的求導，關鍵是合理轉化函數(shù)關系式為可以直接應用公式的基本函數(shù)的模式，以免求導過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運算失誤運算的準確是數(shù)學能力高低的重要標志，要從思想上提高認識，養(yǎng)成思維嚴謹，步驟完整的解題習慣，要形成不僅會求，而且求對、求好

17、的解題標準根據(jù)斜率求對應曲線的切線方程例 求曲線的斜率等于4的切線方程分析：導數(shù)反映了函數(shù)在某點處的變化率，它的幾何意義就是相應曲線在該點處切線的斜率，由于切線的斜率已知，只要確定切點的坐標，先利用導數(shù)求出切點的橫坐標，再根據(jù)切點在曲線上確定切點的縱坐標，從而可求出切線方程解：設切點為，則，即，當時，故切點P的坐標為（1，1）所求切線方程為即說明：數(shù)學問題的解決，要充分考慮題設條件，捕捉隱含的各種因素，確定條件與結論的相應關系，解答這類問題常見的錯誤是忽略切點既在曲線上也在切線上這一關鍵條件，或受思維定勢的消極影響，先設出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運算量變大求直線方程例

18、 求過曲線上點且與過這點的切線垂直的直線方程分析：要求與切線垂直的直線方程，關鍵是確定切線的斜率，從已知條件分析，求切線的斜率是可行的途徑，可先通過求導確定曲線在點P處切線的斜率，再根據(jù)點斜式求出與切線垂直的直線方程解：，曲線在點處的切線斜率是過點P且與切線垂直的直線的斜率為，所求的直線方程為，即說明：已知曲線上某點的切線這一條件具有雙重含義在確定與切線垂直的直線方程時，應注意考察函數(shù)在切點處的導數(shù)是否為零，當時，切線平行于x軸，過切點P垂直于切線的直線斜率不存在求曲線方程的交點處切線的夾角例 設曲線和曲線在它們的交點處的兩切線的夾角為，求的值分析：要求兩切線的夾角，關鍵是確定在兩曲線交點處的

19、切線的斜率根據(jù)導數(shù)的幾何意義，只需先求出兩曲線在交點處的導數(shù)，再應用兩直線夾角公式求出夾角即可解：聯(lián)立兩曲線方程解得兩曲線交點為（1，1）設兩曲線在交點處的切線斜率分別為，則由兩直線夾角公式說明：探求正確結論的過程需要靈巧的構思和嚴謹?shù)耐评磉\算兩曲線交點是一個關鍵條件，函數(shù)在交點處是否要導也是一個不能忽視的問題，而準確理解題設要求則是正確作出結論的前提求常函數(shù)的導數(shù)例 設，則等于（ ） A B C0 D以上都不是分析：本題是對函數(shù)的求導問題，直接利用公式即可解：因為是常數(shù)，常數(shù)的導數(shù)為零，所以選C根據(jù)條件確定函數(shù)的參數(shù)是否存在例 已知函數(shù)，是否存在實數(shù)a、b、c，使同時滿足下列三個條件：（1）

20、定義域為R的奇函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)；（3）最大值是1若存在，求出a、b、c；若不存在，說明理由分析：本題是解決存在性的問題，首先假設三個參數(shù)a、b、c存在，然后用三個已給條件逐一確定a、b、c的值解：是奇函數(shù)又，即，或，但時，不合題意；故這時在上是增函數(shù)，且最大值是1設在上是增函數(shù)，且最大值是3，當時，故；又當時，；當時，；故，又當時，當時，所以在是增函數(shù)，在（1，1）上是減函數(shù)又時，時最大值為3經(jīng)驗證：時，符合題設條件，所以存在滿足條件的a、b、c，即說明：此題是綜合性較強的存在性問題，對于拓寬思路，開闊視野很有指導意義此題若用相等方法解決是十分繁雜的，甚至無技可施若用求導數(shù)的方法解決就

21、迎刃而解因此用導數(shù)法解決有關單調(diào)性和最值問題是很重要的數(shù)學方法切不可忘記供水站建在何處使水管費最少例 有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？分析：根據(jù)題設條件作出圖形，分析各已知條件之間的關系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當選定變元，構造相應的函數(shù)關系，通過求導的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點C的位置解：解法一：根據(jù)題意知，只有點C在線段

22、AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設C點距D點x km，則又設總的水管費用為y元，依題意有令，解得在（0，50）上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在（km）處取得最小值，此時（km）供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最省解法二：設，則設總的水管費用為，依題意，有 令，得根據(jù)問題的實際意義，當時，函數(shù)取得最小值，此時（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最省說明：解決實際應用問題關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)把“問題情景”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化、形式化，抽象成數(shù)學問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法

23、求解對于這類問題，學生往往忽視了數(shù)學語言和普通語言的理解與轉換，從而造成了解決應用問題的最大思維障礙運算不過關，得不到正確的答案，對數(shù)學思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正確的解題思路，在此正需要我們依據(jù)問題本身提供的信息，利用所謂的動態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，并從中進行一番選擇利用導數(shù)求函數(shù)的最值 例 求下列函數(shù)的最值： 1； 2； 3 4分析：函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)可導，必有最大值和最小值，因此，在求閉區(qū)間上函數(shù)的最值時，只需求出函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極值，然后與端點處函數(shù)值進行比較即可解：1，令，得，又2，令，得，又3令，即，解得當時，當時，函數(shù)在點處取得極小值，也是最小值

24、為即4函數(shù)定義域為，當時，令，解得，又，說明：對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應開區(qū)間內(nèi)可導，求上最值可簡化過程，即直接將極值點與端點的函數(shù)值比較，即可判定最大（或最小）的函數(shù)值，就是最大（或最小）值解決這類問題，運算欠準確是普遍存在的一個突出問題，反映出運算能力上的差距運算的準確要依靠運算方法的合理與簡捷，需要有效的檢驗手段，只有全方位的“綜合治理”才能在堅實的基礎上形成運算能力，解決運算不準確的弊病求兩變量乘積的最大值例 已知為正實數(shù)，且滿足關系式，求的最大值分析：題中有兩個變量x和y，首先應選擇一個主要變量，將表示為某一變量（x或y或其它變量）的函數(shù)關系，實現(xiàn)問題的轉化，同時根據(jù)題設條件

25、確定變量的取值范圍，再利用導數(shù)（或均值不等式等）求函數(shù)的最大值解：解法一：，由解得設當時， 令，得或（舍），又，函數(shù)的最大值為即的最大值為解法二：由得，設，設，則 令，得或，此時即當時，說明：進行一題多解訓練，是一種打開思路，激發(fā)思維，鞏固基礎，溝通聯(lián)系的重要途徑，但要明確解決問題的策略、指向和思考方法，需要抓住問題的本質(zhì)，領悟真諦，巧施轉化，方可快捷地與熟悉的問題接軌，在實現(xiàn)轉化的過程中，關鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設條件，以免解題陷于困境，功虧一簣直接利用導數(shù)的運算法則求導例 求下列函數(shù)的導數(shù)：1； 23； 4分析：仔細觀察和分析各函數(shù)的結構規(guī)律，緊扣求導運算法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導

26、公式，不具備求導法則條件的可適當進行恒等變形，步步為營，使解決問題水到渠成解：1 2 3解法一： 解法二：， 4解法一： 解法二：， 說明：理解和掌握求導法則和公式的結構規(guī)律是靈活進行求導運算的前提條件，運算過程出現(xiàn)失誤，原因是不能正確理解求導法則，特別是商的求導法同求導過程中符號判斷不清，也是導致錯誤的因素從本題可以看出，深刻理解和掌握導數(shù)運算法則，再結合給定函數(shù)本身的特點，才能準確有效地進行求導運算，才能充分調(diào)動思維的積極性，在解決新問題時舉一反三，觸類旁通，得心應手化簡函數(shù)解析式在求解例 求下列函數(shù)的導數(shù)1；2；3；4分析：對于比較復雜的函數(shù)，如果直接套用求導法則，會使問題求解過程繁瑣冗

27、長，且易出錯可先對函數(shù)解析式進行合理的恒等變換，轉化為易求導的結構形式再求導數(shù)解：1，2 34，說明：對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤根據(jù)點和切線確定拋物線的系數(shù)例 已知拋物線通過點，且在點處與直線相切，求實數(shù)a、b、c的值分析：解決問題，關鍵在于理解題意，轉化、溝通條件與結論，將二者統(tǒng)一起來題中涉及三個未知參數(shù)，題設中有三個獨立的條件，因此，通過解方程組來確定參數(shù)a、b、c的值是可行的途徑解：曲線過點，又曲線過點，聯(lián)立解、得說明：利用導數(shù)求切線斜

28、率是行之有效的方法，它適用于任何可導函數(shù)，解題時要充分運用這一條件，才能使問題迎刃而解解答本題常見的失誤是不注意運用點在曲線上這一關鍵的隱含條件利用導數(shù)求和例 利用導數(shù)求和12分析：問題分別可通過錯位相減的方法及構造二項式定理的方法來解決轉換思維角度，由求導公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù)，因此可轉化求和，利用導數(shù)運算可使問題解法更加簡潔明快解：1當時，當時，兩邊都是關于x的函數(shù)，求導得，即2兩邊都是關于x的可導函數(shù)，求導得，令，得，即說明：通過對數(shù)列的通項進行聯(lián)想，合理運用了逆向思維的方法，從而激發(fā)了思維的靈活性，使數(shù)列的求和問題獲得解決，其關鍵是抓住了數(shù)列通項的形式結構學生易犯的錯誤

29、是受思維定式的影響不善于聯(lián)想導數(shù)定義的利用例 若，則等于（ ） A B C D以上都不是分析：本題考查的是對導數(shù)定義的理解，根據(jù)導數(shù)定義直接求解即可解：由于 ，應選A求曲線方程的斜率和方程例 已知曲線上一點，用斜率定義求：（1）點A的切線的斜率（2）點A處的切線方程分析：求曲線在A處的斜率，即求解：（1）（2）切線方程為即說明：上述求導方法也是用定義求運動物體在時刻處的瞬時速度的步驟判斷分段函數(shù)的在段點處的導數(shù)例 已知函數(shù)，判斷在處是否可導？分析：對分段函數(shù)在“分界點”處的導數(shù)問題，要根據(jù)定義來判斷是否可導解：在處不可導說明：函數(shù)在某一點的導數(shù)，是指一個極限值，即，當；包括；，判定分段函數(shù)在“

30、分界處”的導數(shù)是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定這點存在導數(shù)，否則不存在導數(shù)利用導數(shù)定義的求解 例 設函數(shù)在點處可導，試求下列各極限的值1；23若，則等于（ ）A1 B2 C1 D分析：在導數(shù)的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪種形式，也必須選擇相對應的形式利用函數(shù)在點處可導的條件，可以將已給定的極限式班等變形轉化為導數(shù)定義的結構形式解：1原式 2原式 3（含），故選A說明：概念是分析解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應用概念進行解題，不能準確分析和把握給定的極限式與導數(shù)的關系，盲目套用導數(shù)的定義是使思維受

31、阻的主要原因解決這類問題的關鍵就是等價變形，使問題轉化利用定義求導數(shù)例 1求函數(shù)在處的導數(shù)； 2求函數(shù)（a、b為常數(shù)）的導數(shù)分析：根據(jù)導數(shù)的概念求函數(shù)的導數(shù)是求導數(shù)的基本方法，確定函數(shù)在處的導數(shù)有兩種方法，應用導數(shù)定義法和導函數(shù)的函數(shù)值法解：1解法一（導數(shù)定義法）：，解法二（導函數(shù)的函數(shù)值法）：，2 說明：求導其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結構形式轉化為已知極限的形式，即導數(shù)的定義，這是能夠順利求導的關鍵，因此必須深刻理解導數(shù)的概念證明函數(shù)的在一點處連續(xù)例 證明：若函數(shù)在點處可導，則函數(shù)在點處連續(xù)分析：從已知和要證明的問題中去尋求轉化的方法和策略，要證明在點處連續(xù)，必須證明

32、由于函數(shù)在點處可導，因此，根據(jù)函數(shù)在點處可導的定義，逐步實現(xiàn)兩個轉化，一個是趨向的轉化，另一個是形式（變?yōu)閷?shù)定義形式）的轉化解：證法一：設，則當時，函數(shù)在點處連續(xù)證法二：函數(shù)在點處可導，在點處有函數(shù)在點處連續(xù)說明：對于同一個問題，可以從不同角度去表述，關鍵是要透過現(xiàn)象看清問題的本質(zhì)，正確運用轉化思想來解決問題函數(shù)在點處連續(xù)，有極限以及導數(shù)存在這三者之間的關系是：導數(shù)存在連續(xù)有極限反之則不一定成立證題過程中不能合理實現(xiàn)轉化，而直接理解為是使論證推理出現(xiàn)失誤的障礙求指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)例 求下列函數(shù)的導數(shù)：1；2；3； 4分析：對于比較復雜的函數(shù)求導，除了利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)求導公式之外，還需要考

33、慮應用復合函數(shù)的求導法則來進行求導過程中，可以先適當進行變形化簡，將對數(shù)函數(shù)的真數(shù)位置轉化為有理函數(shù)的形式后再求導數(shù)解：1解法一：可看成復合而成解法二： 解法三：，2解法一：設，則解法二： 3解法一：設，則解法二： 4 說明：深刻理解，掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的求導公式的結構規(guī)律，是解決問題的關鍵，解答本題所使用的知識，方法都是最基本的，但解法的構思是靈魂，有了它才能運用知識為解題服務，在求導過程中，學生易犯漏掉符合或混淆系數(shù)的錯誤，使解題走入困境解題時，能認真觀察函數(shù)的結構特征，積極地進行聯(lián)想化歸，才能抓住問題的本質(zhì)，把解題思路放開變形函數(shù)解析式求導例 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）； （2）；（3

34、）； （4）分析：先將函數(shù)適當變形，化為更易于求導的形式，可減少計算量解：（1）（2），（3） （4）當時不存在說明：求（其中為多項式）的導數(shù)時，若的次數(shù)不小于的次數(shù)，則由多項式除法可知，存在，使從而，這里均為多項式，且的次數(shù)小于的次數(shù)再求導可減少計算量對函數(shù)變形要注意定義域如，則定義域變?yōu)椋噪m然的導數(shù)與的導數(shù)結果相同，但我們還是應避免這種解法函數(shù)求導法則的綜合運用例 求下列函數(shù)的導數(shù)：1；2；3；4分析：式中所給函數(shù)是幾個因式積、商、冪、開方的關系對于這種結構形式的函數(shù)，可通過兩邊取對數(shù)后再求導，就可以使問題簡單化或使無法求導的問題得以解決但必須注意取尋數(shù)時需要滿足的條件是真數(shù)為正實數(shù)，否則將會出現(xiàn)運算失誤解：1取y的絕對值，得，兩邊取尋數(shù)，得根據(jù)導數(shù)的運算法則及復合函數(shù)的求導法則，兩端對x求導，得，2注意到，兩端取對數(shù)，得 3兩端取對數(shù)，得，兩端對x求導，得4兩端取對數(shù)，得，兩邊對x求導，得說明：對數(shù)求導法則實質(zhì)上是復合函數(shù)求導法則的應用從多角度分析和探索解