1、習題14-11.證明：若函數f(x,y)在矩形閉區域 D上可積，則f(x,y)在D上有界.證假設f x, y在D上可積，但在D上無界則對D的任何一個分割T - ±1,二2,，二n二f x, y必在某個小區域 二k上無界當i = k時,任取R 二i,令I = f x,y dxdy,D由于f x,y在二k上無界，即存在Pk，k,使f PkI +1 + G-k,從而nv f p Hii =4乞f(PkP® +f(Pk 處Z f(Pk 址<TkZ f(R = I +1 (*)另一方面，由于fx, y在D上可積，取；=1,故存在.0 ,對任一 D的分割T _口, ；2，,6 1

2、當T| : :時,T的任一積分和而此與(*)式矛盾，所以，f x,y在D上有界另證假設f x, y在D上可積，但在D上無界則對D的任何一個分割T - -'12/ n f x, y必在某個小區域 二k上無界當i=k時，任取P 二i,令I ! f x,y dxdy,D：1.由于f(x,yIk上無界,對任意的MTeo,都存在Pk,使f(小野從而x f f R k i -k(*)所以n' f P u - Ii =1山送f (R比巧I >1.i=t此與f X, y在D上可積的定義矛盾2.設f在可求面積的區域 D上連續，證明: 若在D上，f非負且在D上不恒為零，則 f x,yd二 0

3、.D(2)若在D內任一子區域 D D上都有.f x,yd.：;=O,則在D上f(x,y)=O. d'證(1)由已知，存在FO Xo, yo - D,使fxo,y°0.則存在；.0,對一切PxyDM其中1D =U FO;D),有fx, y f xo，yo0.而f x,y在有界閉區域 D上非負連續，則有1f x, y d；二f x, y d二f x, y d；_ f x。，y。0,DDiD _Di2其中Sd1表示為Di的面積.用反證法：假設在D內存在一點P°x°,y°,使fx°, y°= 0 ,不妨設fx°,y°

4、;0 .則 1存在:.0,使對一切 PxyDd其中 D/UP,;、D),有 fx,y fx0,y00.這時21f x, y d匚 f x°,y。Sd10,D12這與題設I , f x, y d - 0,產生矛盾(SD1為區域D1的面積).d'3.證明：若f在有界閉域D上連續，g在D上可積且不變號，則存在一點(】)D使 得f(x,y)g(x,y)dxdy二 f( , ) g(x, y)dxdy.DD證 不妨設g x, y 0, x, y產D ,函數f x, y在有界閉區域D上連續，必存在最大值 M與最小值m ,使對- x, y產D ,有m _ f x, y - M .從而m !

5、 g x, y dxdy h f x, y g x,y dxdy 空 M h g x, y dxdy.DDD若.1.1 g x, y dxdy = 0= f x, y g x, y dxdy 二 0 ,即對任意的iD ,等式成DD立.! f x, y g x, y dxdy若11 g x, y dxdy 0=m-衛M .由介值定理，存在d. g x,y dxdyDIlf x, y g x,y dxdy/ :f D,使f 二衛.等式得證.!.!. g x,y dxdydxdy4.應用積分中值定理估計積分I2廠兇書垃。100 + cos x+cos y1解由于f x, y2在有界閉區域100 +

6、cos x+ cos y二：x, y x - y < 10上連續,則由中值定理,存在V聲D,使得22ix /<100 100 cos x cos y2 S D100 cos cos1 1而 Sd =200,且 minDf x,y 二五，x,y =而，所以 型d 2.51x .y 丄00100 cos x cos yd-習題14-21計算下列二重積分：(1) (y-2x)dxdy,D 珂3,5 1,2；Dxy2dxdy,D <0,2 0,3;D cos(x y)dxdy, D 二0, 0,二;D2(4) sin,x2 y2dxdy,D =(x,y)| 二2 空 X2 y2 乞4

7、二 2;D2 2(5) (x y)dxdy, D =( x, y) |x y _ x y;D f (x2 y2)dxdy, D 乂 x, y) | x2y R2.D525(1)iiy-2x dxdyT3dx1 y-2xdy= 3Df 2y<2-2xy dx=,-2x223211 xy dxdy xdx ° y dy = 2 9=18.D2兀11cos x y dxdy= j2dx cos x y dy -D匹02sin x y兀-°dx= 02-2si nxdx2.令 x = r cost, y = r sin t,則由二2 一 x2 y2 - 4二2 可得- r -

8、 2二，所以,2 一2 2 ".2 "：.11 si n ,x y dxdy dt r si n rdr =2二 °0TtD-r cosr2 二 2.二 cosr = -6二.（說明：（4）由計算過程可知，該題目應放在第3節才對）1 122I1(5)令 x r cost, yr si nt,由 x y x y = x -2 2I小0 汀2空丄,0 r < 2-，因而22応2r兀iix y dxdy dt 2 |r r cost si nt dr :D_2(說明：(5)由計算過程可知，該題目應放在第3節才對)(6)令 x = rcost,y = rsint,則

9、由 x< R2可得r乞R,0乞t乞2二，所以,I rij Dx2y2dxdyo dt 0 f r2 d r2 =蔥f R2 - f 0 .(說明：(6)由計算過程可知，該題目應放在第3節才對)2.改變下列積分的次序：b x2aJZax a dx a f (x,y)dy,(a : b); 0 dx f(x, y)dy , (a 0)2si nx(3) 0 dx 0 f (x, y)dy;1 2y33-y 0dy 0 f (x, y)dx “ dy 0 f (x, y)dx.解(1)積分區域D如圖14-1所示b xb bJJf (x,y pxdy= dx. f (x,y dy =訣仏 f (

10、x,y jdx.D根據已知累次積分知道它對應的而重積分的積分區域為D = (x, y |v2axx2 蘭 y 蘭、2ax,0 蘭 x 蘭 2a > 如圖 14-2 所示.I要改變積分順序，應將積分區域分成三個 y型區域，所以a a 一寸22a2a?2ax3 dx.Rf x,y d .0dy yaf (x, y )dx圖 14-2a2a0dy. a-y2f x,y dx2a2aa dy .y2 f x, y dxa2a(3)積分區域如圖14-3所示2 ：i sinx1: arcsin y0 dx 0 f(X,y)dy 二，0dV.arcsiny f X, V dx02j-arcsi nyd

11、y1. .-arcsinyf x, y dx. 積分區域如圖14-4所示，所以1 2y3323-x0dy 0 f(x, y)dx dy。 f (x,y)d 0 dx x f x, y dy23.設f(x)在R上連續，a,b為常數證明：b xb adxa f(y)dy= a f(y)(b_y)dy；a ya o dy 0eaj4(x)dx 二；(a -x)eaj4(x)dx, (a . 0).b xb bb證 adxa f(y)dy 二 ady y f y dx 二 a f (y)(b-y)dy.b圖 14-4(說明：在最后一個定積分中，將積分變量y換成x，還可得原式=.f (x 丫 b - x

12、 )dx)a y/乂嚴心心歸“ o4.求旋轉拋物面z = x2 y2，三個坐標面及平面 x y = i所 圍有界區域的體積.解如圖i4-5V 二a aea»(x 兒 dy dx二 j； (a x )eaf (x)dx22ix 22x y dxdy 二；dx ； x y dyDi i o 24 . ix 2x x dx .0 3365.設f(x,y)二fi(x)f2(y)為定義在D可印匕 也上 的函數，若fi(x)與f2(y)均為可積的函數，則f在D上可積，且bib2f x, y dxdy 二 a fi(x)dx a f2(y)dy .Dai2b db證 f X, y dxdy 二fi

13、 x f? y 二 a dx c fi x f? y dy 二 aD而ddf fi(x )f2(y )dy= fi(x)J fyjdy ,ccc fi x f2 y dy dx所以fi(x)f2(y 戶|fi(x) f2(y)dyd由于.f2 y dy是一常數，因而可提到積分號的外面，于是得cU fi (x )f2(y )=也 dxfi(x)i 血 f2(y)dy6.設f在原點附近連續，求極限.i.f (x,y)dxdy. x2 y2解 由積分中值定理，得.f x,y dxdy = f ,X2 ”卅i 11 dxdyF/2f :<2其中,為圓域x2y_ ：-2內的一點.顯然，當 0時，點

14、L O 0,0 .于是根據函數f x, y的連續性知：1叫二 2 2 f x,y dxdy = lim0f : 二 f 0,0 .X2書2至習題14-31.在下列積分中引入新變量u, v后,試將它化為累次積分：2 2_x(1)° dx 心 f (x, y)dy ,若 u 二x y,v=x y; f (x y)dxdy ,D4 aa其中 D -(x, y) | x . y 空、a,x _0, y _C,若 x =ucos v,y =usin v； Il f (x y)dxdy,其中 D 二(x, y)|x y_a,x_0, y_0,若 x y二u,y二 uv.D解(1)1 1訊 u,v

15、|1 1鞏 x,y|1 -1J =f, D，x, y 1 x 乞 y E2 x,0 乞x 乞 2?=D - u,v ；u 込v 二 4-u,1 二 u 二 2,所以2 2 二°dx 心 f x,y dy 二 f x,y dxdy =Dududv2du 4f以2 M J V 2u -v1 訊x,ycos4 vYu cos's in v訊u,v )sin4v 4u s in3 v cos u(2)=4u cos4 vsin3 v, D :、一 x 、. y =、a =3TD :u = a,x = 0= u = 0 或 v = ?,y =0= u = 0 或 v = 0 .所以f

16、(x y)dxdyD02dv 04uvcos3v sin3vf u cos4 v, u sin4v dv .(3)因為變換x y二u, y=uv將D變換成D =，u.v 0三u乞a,0乞v乞1, J u,v二u,所以a 11 aJJf(x +y)dxd尸 ff f (u uv,uv Jududw J0du f (u uvuv)udv= J0dvJ0 f (u -uv,uv)uduDD2.對積分.f(x,y)dxdy進行極坐標變換并寫出變換后不同順序的累次積分D(1)當D為由不等式a2_x2 y2_b2,y_0所確定的區域，22D=(x, y)|x + y 蘭 y,x0;(3) D =( x,

17、y) | 0 蘭 x 蘭 1,0 蘭 x 十 y 蘭 1.(1)令xr cost'則極坐標變換將 D變成D "=如,t陽蘭r蘭b,0乞t蘭兀,從而y = r sint.11 f x, y dxdy 二 f r cost,r sint rdrdtDD 'b 二 二 b=Ja dr rf (r cost ,r sin t )dt = J0 dt |a rf (r cost.r sin t )drx = r cost,-JI令丿則極坐標變換將 D變成D '=丿(r,tP蘭r蘭sin t,0蘭t蘭一y = rsint.2 J,從而iif x, y dxdy 二 f r

18、 cost, r s int rdrdtDD1 二二 dr 20 y arcs in rsi ntinrf rcostjsint dt02dt 0 rfcost.®nt drx = r cost'則極坐標變換將 D變成y =rs int.r,t _t _?,0 _rcost _1,0 _r cost sint -1 ,從而0sectJJ f (x, y Jdxdy = JJ f (rcost,rsint Jrdrdt = f 兀dt rf (rcost, rsint )drDd'4n 1遛 n亠 12 dt cost sint f rcost rsint dt 2 d

19、r <rf r cost.rsint dtTdr'7：arccos2rrf.2. arccos1r cost.r sint dt 亠 i dr - r rf rcost.rsint dt.43.用極坐標計算下列二重積分：(1) I l sin . x2 y2dxdy ,其中 D =( x, y) | 二 2 _ x2 y2 _ 4二 2;D(2) f(x y)dxdy ,其中 D 弋 x, y) | x2 yx y；D(3) |xy|dxdy,其中 D -(x, y)|x2 y a2；D(4) 11 f (x2 y2)dxdy,其中 D =( x, y) | x2 y2 乞 R2

20、.D解(1)已在第2節中出現過！x = r cost,兀3則極坐標變換將D變成D"=（r,t ）_一 Et蘭一兀,0蘭r蘭si nt十cost,y = rsi nt.44從而紜cosHsintJJ f (x + y)dxdy= |:dt J0rf (rsint +r cost)dr.D_令"x = r cost'則極坐標變換將y = r sint.D變成D -、r,t 0空t乞2二，0乞r空a$,從而Iii xy dxdy ii rsint rcost rdrdtDI3=-J sin 2tr drdt =勺 J0 sin2t dt j0 r3dr2d'-令x

21、 = r cost'則極坐標變換將y = r si nt.D變成D" =§r, t 0乞t冬2 ,0 <r < R,從而2222兀 R2iif x2y2 dxdy f r2 rdrdt dt o rf r2 dr 口Df R2 - f 0 .224.求由z=x 和z = x，y所圍立體的體積.立體V在xOy平面上的投影區域為 Dx,y x2 y2 乞 x y 令 I1 1J2一 + r cost, y = + r si nt,貝 U D'=(r ,t )0 蘭 t 蘭 2兀，0 蘭 r 蘭> J (r ,t = r.2 22所以V 二 x

22、y 一 x2 y2 dxdy 二 1 - r2D D 2rdrdt dt 25.設f x, y為連續函數，且f x, y 4 f y,x .證明：1 x1 x0dx0 f x,ydy = 0dx。f 1-x,1-ydy.證令x=1 u,y=1 v，則0蘭v蘭1,0蘭u蘭v, J =1,于是1 x1 v1v1x0dx 0f 1 - x,1 - y dy = 0dv 0 fu,v du = 0 dv0f v,u du = 0 dx0 fx, y dy .習題14-41 .計算下列三重積分 iiixy z2 dxdydz,其中門=-2,5 x -3,3 x0,1；Q 111 xcosy coszdx

23、dydz,其中. 0,10,0,;；：IL 2_ 2 111 zdxdydz, i 】由曲面 z =x2 y2, z =1,z 二 2 所圍成；Q3 222(4) iiix yzdxdydz,】由曲面x y z =1,x =0, y =0, z =0圍成的位于第一卦限 Q的有界區域(5) dxdydz 3 ,其中門是由x y z =1與三個坐標面所圍成的區域；d(1+x + y +z )111 y cos x - z dxdyd z,其中"是由 y. x,y=0,z = 0 及 x z 所圍成的 Q2區域 111 z、x2 y2dxdydz,其中 i 】是由 y = 2x - x2,

24、 z = 0, z = 1, y = 0 所圍成的區域 Qy = 2z 、(8)iii(x2 y2)dxdydz,其中門為繞z軸旋轉形成的曲面與z = 8所圍成的Qlx = 0dx xy -325312i i iixy z dxdydzdxdy 0 xy z dz -V111 x cos y cos zdxdydzV1.丄.丄1xdx 2 cos ydy 2 cos zdz .0002積分區域如圖14-6所示2：z2dz 上。13JJJzdxdydz= zjjdxdxy dz=(J積分區域如圖14-7 所示(與教材的參考答案不一樣 ，請檢查) 亠1 八、1 J屮_y2ydy zdz0Dxyhi

25、 x3yzdxdydzx3dx0 - 0132 123=0xdx 02 y-x y-y dy1 1 3 2 2 1x 1 -x dx .8 0192 積分區域如圖14-8dxdydzV 1 x y z30dz0 dx0dz= -Jdz(112 00 |M x z 4dx J2ln2_|.(6)積分區域如圖14-9農2_xJJJ ycos(x+z )dxdydz=dx 0 ydy cos(x + z)dzV21營2 x 1 -sinx dx二2 116 2(7)積分區域如圖14-10所示x2y2dxdydz 二o z x2 y2dz dxdyDxyx2y2x =£ cost, y hs

26、i nt 1dxdy = 2Dxy_ 2cost 28r dr9(8)積分區域如圖14-11 所示圖 14-102282川(x +y)dxdydz=J0 "(x Q-Dxyx -e cost, y -f si nt $y2 dx2 二一 dt0五3r dr1024z =2.試改變下列累次積分的順序(1)11 -xx 亠y0dx0 dy 0 f x y z dz;11x2 川y2圖 14-112z 二 y /y20dx°dy 0 f x,y,z dz.積分區域x,y,z 0 z 空x y,0 _ y 一1 - x,0 一 x _1f,如圖14-15,它在xOy平面上的投影區域

27、 Dxy x, y 0乞y乞1 -x,0豈所以 xydxiu10X- z d zX它在yOz平面上的投影區域 Dyz ，y,z 0乞y空1,0乞z乞l所以圖 14-15111_yf (x, y, zdz+ (dyjydz 仁 f(x,y,z)dx;它在xOz平面上的投影區域 Dxz：x,z 0 _ x _1 - x,0 _ z _1?,所以111 _xx -y1 x 1 _x111 _x0dx0 dy° f xyzdz 0dx0dz0 f x, y, z dy °dx xdz 2f x, y,z dy1 z1 _x二 0dz0dxzxyzdy0dz2dx 0 f x,y,z

28、dy;(2)積分區域V - "x, y, z 0 _ z _x2 y2,0 _ y _1,0 _ x _仁，如圖111 _z它在xOy平面,yOz平面及zOx上的投影區域分別為Dxyx,y 0 沁 _1,0 _ y14-16,11 _xx，；y111 _y°dx。dy° f x,y,zdz= 0dz0dyzf x,y,zdz111_y0dz°dy° f x,y,zdx1y1 _y二 0dy0dz0Dyz=y,z 0乞y 1,0乞z乞1 y2匚以及rDzx=、乙 x 0 _ z _ 1 x2,0 _ x _ 仁，所以I11X2 亠y2110dx0

29、dy0 f x,y,zdz= °dy °dx 01y21=：0dy 0 dz 0 f x, y,zdx 0dy y22 1 12#1x21f x,y,zdz211y1:口 f(x, y,zdx2 -y1 1 2 1 1 1 1 10dz xdy 0 f x,y,z dx 1 dz dy 2y f x, y, z dz 二.0dzdx 0 f x,y,z dy2111 x2111 -x21 dz . dx . _2 f x, y,zd0dxQ dz 0 f x,y,z dx./x # dzdz.1二2 f(x,y,z)dy;：i z x習題14-51.采用適當的變換計算下列三

30、重積分：2(1) iiix2 y2 dxdydz /1 由曲面 z=x2 y2,zQ圍成；(2) 11 iz .x2 y2dxdydz ,Q其中門由y二.2x-x2 ,z =0,z =1, y = 0所圍成；(3) iii(x y z)dxdydz,門由 x2 y2 z2 = R2 Q 5iii Jx2 y2 z2 dxdydz由 x2 y2 z2 =2z 圍成;zln (1 x2 y2 z2)222dxdyd z,c 1+x + y +z2 2 2二(x,y,z)|xy z 叮，z 一0.(1)積分區域如圖14-17 所示.用柱坐標變換，得2 16JU (X2 +y2 ) dxdydz =

31、J JJ(x2 +y2 )dxdy dz4J2xDxyQ二 16 3 z dz =5440:3 4(2)積分區域如圖14-18所示，用先二后一法進行積分，得x2 +y2dxdydz= fz jjx2+y2 xdy dz0J8JQx=r cost, y si nt Dxy2 cost 2|= J z | f2dHr dr <00 016 18zdz .9 0-積分區域如圖14-19所示,用柱坐標變換，得(與參考答案不附iii(x y z) dxdydzQhi xdxdydz亠 iii ydxdydz亠 iii zdxdydz QR=JI-dy+Jzp|_Dxy:x R2-x2 dx ；y

32、R2-y2 dy：z R2R - + LyQXZ-Z2積分區域如圖14-20所示，用球坐標變換計算52z dxdydz.,x2y2Q2 二2d：sin d0 - 0 - 0丑1二 2 二 °2 - 2cos8 sin d ：8積分區域如圖14-21所示，是上半單位球體zln 1 x2 y2 z2222 dxdydz =2drc 1十x 十y02cos01 r2z2業64=兀9，故應用柱坐標變換，則i 口 zln 1 r2 rdr014147 "rdr 1" d ln2 1-0 - 0 - 0 -n 1 _02djr ln2 1Srln22ji16二 I n2122

33、16 0ln 1 r d 1r2二1 2 2r In 2-In 18 0 -ln 22 二 22ln 2-21 n2 116 16dr兀2ln22 -1 .8 16(這是一個很有趣的題目，從題目的情況來看，恰恰相反，使用球坐標變換后的三次積分反而不好算。 析，使用球坐標變換應該更方便一些，但情況卻所以，很多問題必須具體問題具體分才可能選到最好的解決問題的途經)2 2 22.設球體x y z <2x上各點的密度等于該點到坐標原點的距離,求這球的質量.密度函數f x, y,z = x2 y2z2 ,則球體的質量! ,/x2y2 z2 dxdydz .應用球坐標變換將球體V:xxuyHz2 直

34、2-Z < 2x變成V卜尹篤,°宀心"2沖c叫,所以2sin；：cosi 38r3si n®dr =兀.J53.求由拋物面z=6-x2-y2與錐面所圍成的空間的體積曲面圍成的立體1如圖14-22 所示,故可用柱面坐標計算2 -26 J22= dv 二 rdrd dz 二 0 d n rdrQ Q0“4.設函數f (u)在T,1上連續 證明：丨丨丨f (z)dxdydzf (u)(1 - u2)du ,其中門dz = 2 f0 (6r- r2 - rdt rdrZ ,則z =1 r2,0乞t空2：，0乞r乞1,所以1 -f,f(z) If4為單位球.證令 x

35、= r cost, y 二 r sin t,z 二-"Jf(z)dxdydz=LJf(z)dxQ.-Dxyx ：£ cost, y ：£ si nt 12 -1 1y f(z)(1-z2)dzh、f(u)(1-u2)du.1 .求球面x2y2 Z2習題14- 6-a2被柱面x2 y2 -ax = O所截取部分曲面的面積解 曲面圍成的立體 門如圖14-23所示，上半球面的方程為 za2x2 - y2 .由-x"x-y2,分-y12 2 2a - x - y1+（zx）+（zy）a_ 2 2 2a X -y由對稱性知S =4 、1Zx 2Zy dxdy = 4-x - yD xy=4a 壯壯:;22Dxy ' a - rdrd 二-4a 2d 二Dxy <_a costrdr2 2,a - rS2-2 a2 - rji=4a 02a 1 - sin)d - 2a2 譯-2 .2.求柱面x