1、求函數(shù)的值域作為函數(shù)三要素之一，函數(shù)的值域也是高考中的一個重要考點，并且值域問題通常會滲 透在各類題目之中， 成為解題過程的一部分。 所以掌握一些求值域的基本方法， 當需要求函 數(shù)的取值范圍時便可抓住解析式的特點，尋找對應的方法從容解決。一、基礎知識：1、求值域的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）分析解析式的特點，并尋找相對應的方法（此為關鍵步驟）（3）計算出函數(shù)的值域2、求值域的常用工具：盡管在有些時候，求值域就像神仙施法念口訣一樣，一種解析式特 點對應一個求值域的方法， 只要掌握每種方法并將所求函數(shù)歸好類即可操作， 但也要掌握一 些常用的思路與工具。（1）函數(shù)的單調性： 決定函數(shù)圖像的形狀

2、， 同時對函數(shù)的值域起到決定性作用。 若 f x 為單調函數(shù)，則在邊界處取得最值（臨界值） 。（2）函數(shù)的圖像（數(shù)形結合） ：如果能作出函數(shù)的圖像，那么值域便一目了然（3）換元法： f x 的解析式中可將關于 x 的表達式視為一個整體，通過換元可將函數(shù)解 析式化歸為可求值域的形式。（4）最值法： 如果函數(shù) f x 在 a,b 連續(xù)，且可求出 f x 的最大最小值 M ,m，則 f x 的值域為 m, M 注：一定在 f x 連續(xù)的前提下，才可用最值來解得值域3、常見函數(shù)的值域：在處理常見函數(shù)的值域時，通?？梢酝ㄟ^數(shù)形結合，利用函數(shù)圖像將 值域解出，熟練處理常見函數(shù)的值域也便于將復雜的解析式通過

3、變形與換元向常見函數(shù)進行 化歸。（1）一次函數(shù)（ y kx b ）：一次函數(shù)為單調函數(shù)，圖像為一條直線，所以可利用邊界點來確定值域（2）二次函數(shù)（ y ax2 bx c ）：二次函數(shù)的圖像為拋物線，通?？蛇M行配方確定函數(shù) 的對稱軸，然后利用圖像進行求解。 （關鍵點：拋物線開口方向，頂點是否在區(qū)間內）例：fx2x2x3,x1,42解：fxx124對稱軸為：x1fx4,5（3）反比例函數(shù)：y1x（1）圖像關于原點中心對稱（2）當x,y0當x,y0（4）對勾函數(shù)：ya xax0 解析式特點：x的系數(shù)為 1；a0注：因為此類函數(shù)的值域與a相關，求a 的值時要先保證 x的系數(shù)為 1 ，再去確定 a 的值

4、4例： y 2x ，并不能直接確定 a 4 ，而是先要變形為 x2y 2 x ，再求得 a 2x 極值點： x a , xa 極值點坐標：a ,2 a , a , 2 a定義域：,0 U0,自然定義域下的值域：, 2 a U 2 a,5）函數(shù)： ya0注意與對勾函數(shù)進行對比解析式特點：x 的系數(shù)為 1； a 0函數(shù)的零點：xa 值域： R5）指數(shù)函數(shù)（ y a x ）：其函數(shù)圖像分為 a 1與 0 a 1兩種情況，可根據圖像求得值域，在自然定義域下的值域為 0,6）對數(shù)函數(shù)（ y loga x ）其函數(shù)圖像分為 a 1與 0 a 1兩種情況，可根據圖像求得值域，在自然定義域下的值域為 0,7）

5、分式函數(shù)：分式函數(shù)的形式較多，所以在本節(jié)最后會對分式函數(shù)值域的求法進行詳細說明（見附）二、典型例題：將介紹求值域的幾種方法，并通過例題進行體現(xiàn)1、換元法：將函數(shù)解析式中關于x 的部分表達式視為一個整體，并用新元t 代替，將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進而解出值域（1）在換元的過程中，因為最后是要用新元解決值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取 值范圍（2）換元的作用有兩個： 通過換元可將函數(shù)解析式簡化， 例如當解析式中含有根式時， 通過將根式視為一個整體， 換元后即可“消滅”根式，達到簡化解析式的目的 化歸：可將不熟悉的函數(shù)轉化為會求值域的函數(shù)進行處理（3）換元的過程本質上是對研究對象進行重新選擇的

6、過程，在有些函數(shù)解析式中明顯每一 項都是與 x 的某個表達式有關，那么自然將這個表達式視為研究對象。（4）換元也是將函數(shù)拆為兩個函數(shù)復合的過程。在高中階段，與指對數(shù)，三角函數(shù)相關的 常見的復合函數(shù)分為兩種 y a f x , y loga f x , y sin f x ：此類問題通常以指對， 三角作為主要結構，在求值域時可先確定 f x 的范圍，再求出函數(shù)的范圍yxa ,yloga x ,y f sinx ：此類函數(shù)的解析式會充斥的大量括號里的項，所以可利用換元將解析式轉為y f t 的形式，然后求值域即可。當然要注意有些解析式中的項不是直接給出，而 是 可作 轉 化 ：例如x x 14x

7、2x 1 8 可 轉 化 為2xx 2x 2 2x 8 ，從而可確定研究對象為 t2x1：函數(shù) f x 2x1 的值域是（A.0,B.17C.思路：解析式中只含一個根式，5,4D.15所以可將其視為一個整體換元，從而將解析式轉為二次函數(shù)，解：f x 的定義域為1,令tx1t0，則xt2122t1215y2 t2 1t48Qt0,fx 的值域為1581例 2（1）函數(shù) y3x1 的值域為（）A.0,B.0,1 U1,C（2）函數(shù) f x4x2x1 8,x2,2的值域為（3）函數(shù) y lnx ex11的值域為 _e1求得值域即可。x|xD. 1,思路：（fx1）本題可視為 y 3f x 的形式，所

8、以可將指數(shù)進行換元，從而轉化為指數(shù)函數(shù)值1域問題：令 t x11，則 t,0 U 0, ，所以可得 y 3t 0,1 U 1,2）如前文所說，x 4x 2x 1 8 2x2 2x 8 ，將 2x視為一個整體令 t 2x，e1ex 1 的范圍，再取對數(shù)即可。對 xe1則可將其轉化為二次函數(shù)求得值域解：fx4x22x 1 8 2x 2 2 2x 8令t2xQx2,2t1,44yt2 2t82t 1 2 9fx 的值域為9,03）所求函數(shù)為 ln的形式，所以求得e1e1而求得范圍解：定義域： ex10x0,xQ ex 1 12令txQ x 1 x e 1 e1e1 2t 1,xe10,y ln x

9、e1答案：（1）B（2）9,0例 3：已知函數(shù) fx3 log2 x,xA. 18, 2B.11,思路：依題意可知gx3log2e 1 2行變形可得： e 1 1 21 t 0,（ 3） 0,1,4 ，則 g x f x26 C. 18,62 3 log2 xlog2ex 1 視為一個整體，2f x 的值域為 （ ）D. 11, 24log2 x 6，所以可將 log2 x 視為一個整體換元，從而將問題轉化為求二次函數(shù)值域，但本題要注意的是g x的定義域，由已知 f x 的定義域為 1,4 ，則 g x f x2f x 的定義域為：解：g x 3 log2 x223 log2 x3 2log

10、2 xlog2 x26log 2 x9log2 x4log 2 x6Qfx 的定義域為 1,4，且 g xf x2fx22 xx24 ，解得： x41,2，而不是 1,44 ，解得： x x41,2令tlog2 x ，則 t0,1t 2 4t 611, 6 ，即gx的值域為11, 6答案：2、數(shù)形結合：即作出函數(shù)的圖像，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會考慮進行數(shù)形結合1）分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結合也可很方便的計算值域。2） f x 的函數(shù)值為多個函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時需將多個函

11、數(shù)作于同一 坐標系中，然后確定靠下（或靠上）的部分為該 f x 函數(shù)的圖像，從而利用圖像求得函 數(shù)的值域（3）函數(shù)的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關知識進行聯(lián)系，數(shù) 形結合求得值域，如：分式直線的斜率；被開方數(shù)為平方和的根式兩點間距離公式例 4 ：（1）設函數(shù)y f x 定 義 域 為 R ， 對 給 定 正 數(shù) M ，定義函數(shù)f x , f xMfM xM, f xM則 稱 函 數(shù) fM x 為 f x 的 “ 孿 生 函 數(shù) ”，若給定函數(shù)2 x2, 2x0fx2x 1,x 0,M 1 ，則 y fM x 的值域為（ ）A.2,1B. 1,2C.,22）定義 min a

12、,b,c 為 a,b,c 中的最小值，設 f xminfx的最大值是思路：1）根據“孿生函數(shù)”定義不難發(fā)現(xiàn)其圖像特點，即以y M 為分界線，f x 圖像在 y M 下方的圖像不變，M 上方的圖像則變?yōu)?y M ，通過作圖即可得到Mx的值域為 2,12）本題若利用 min a,b,c 的定義將 f x 轉為分段函數(shù)，則需要對三個式子兩兩比較，比較繁瑣，故考慮進行數(shù)形結合，將三個解析式的圖像作在同一坐標系下，則像中靠下的部分，從而通過數(shù)形結合可得y x2 1 與5 3x 在 第 一 象 限y x2 1 y 5 3x1 ，所以 f2max 2答案：（1）A2) 2x22a2,gx2H1 xmax f

13、 x ,g x,H2min fx ,g較大值，AI B思路：將ffxD.,122x 3,x21,5 3x ，則yf(x)y=11x-2在yy=2x+3y=x 2+1f(x) f(x)y=5-3xx為三段函數(shù)圖的最大值點為點，即2a2xa2 8 ， 設，（其中maxp,q表示 p,q 中的min p,q 表示 p,q中的較小值）記 H1 x 的值域為 A， H2H1 x ,H2 x 的定義可想到其圖像特點，即若x ,gx 的圖像作在同一坐標系中，那么 H1,g x圖像中位于 上方的 部分 ，而 H2f x ,g x 圖像中位于下方的部分。對 f x ,g x 配x 的值域為 B ，則為為2f x

14、 x a 2 4a 4方可得： 2 ，其中 4a 4 4a 12，故 g x 的頂點g x x a 2 4a 12在 f x 頂點的上方。由圖像可得：褐色部分為 H1 x的圖像，紅色部分為H2 x 的圖像，其值域與 f x ,g x 的交點有關，即各自的頂點 a2, 4a 12 ,a 2,4a4 ，所以H1 x 的 值 域 A 4a 4,， H2 x 的 值 域 B, 4a12。從而13AI B 4a 4, 4a 12答案： 4a 4, 4a 12例 6：（1）函數(shù) y xlnx 3,xx12,4 的值域為2）函數(shù) yx2 4x2 2x 10 的值域為思路：（ 1）函數(shù)為分式，但無法用“變形

15、+換元”的方式進行處理，雖然可以用導數(shù)，但求導后需對分子的符號進行進步研究。那么換一個視角，從分式的特點可聯(lián)想到直線的斜率，即 y 是 x,xlnx 與定點 1, 3 連線的斜率，那么只需在 坐 標 系 中 作 出 f x xlnx 在 2,4 的 圖 像 與 定 點1, 3 ，觀察曲線上的點與定點連線斜率的取值范圍即可解：所求函數(shù) y是 x,xlnx 與定點 1, 3 連線的斜率設 f x xlnxf ' x 1 lnx ，當 x 2,4 時， f ' x 0 恒成立f x 為增函數(shù) f 2 2ln2, f 4 4ln4 8ln2設曲線上兩點 A 2,2ln2 ,B 4,8l

16、n2 定點 C 1, 3kAC2ln2 3,kBC8ln2 33ykBC ,kAC2ln 23,8ln 2作 A點關于 x 軸的對稱點 A' 0,PA PB PA' PB A'B26 （等號成立條件： P,A',B 共線）當 x 或 x 時， PA PB所以要抓住兩個距離共函數(shù)的值域為 26,小煉有話說： 本題在選擇點時要盡量讓更少的點參與進來簡化問題， 同的特點（例如本題中都抓住含根式中的 x,0 ，所以找到了一個共同的動點 x,0 ）答案：（ 1） 2ln 2 3,8ln 2 1（ 2） 26,33、函數(shù)單調性：如果一個函數(shù)為單調函數(shù)，則由定義域結合單調性（

17、增、減）即可快速求 出函數(shù)的值域（1）判斷函數(shù)單調性的方法與結論： 增 增 增 減 減 減11 增 減 若函數(shù)的符號恒正或恒負，則 減增 復 合函 數(shù)單 調 性： 復 合 函數(shù) y f g x 可 拆成 y f t ,t g x ， 則 若 y f t , t g x 的單調性相同， 則 y f g x 單調遞增； 若 y f t , t g x 的單 調性相反，則 y f g x 單調遞減 利用導數(shù)：設圖像不含水平線的函數(shù) f x 的導數(shù) f ' x ，則 f ' x 0 f x 單增；x 0 f x 單減2）在利用單調性求值域時，若定義域有一側趨近于或 ，則要估計當 x +

18、 或時，函數(shù)值是向一個常數(shù)無限接近還是也趨近于即函數(shù)圖象是否有水平漸近線），；同樣若 f x 的定義域摳去了某點或有一側取不到邊界，如x a,b ，則要確定當 x a 時， fx 的值是接近與一個常數(shù)（即臨界值）還是趨向或 （即函數(shù)圖象是否有豎直漸近線），這樣可以使得值域更加準確例 7：1）函數(shù) f1的值域為（A.3,1B. 1,C. 2,2 2D. 1,2 2 12）函數(shù) f1 x 的值域為（A.,1B.,1C. 0,1D. 0,13）函數(shù) f3 2x 5 的值域為2x 2 1思路：（1）函數(shù)的定義域為3,1 ，含有雙根式， 所以很難依靠傳統(tǒng)的換元解決問題， 但 f x的導數(shù) f '

19、 x x 3 1 x 較易分析出單調性，所以考慮利用導數(shù)求出 f x 的單調2 1 x x 3區(qū)間，從而求得最值f ' x 1 1 x 3 1 xf x2 1 x 2 x 3 2 1 x x 3令 f ' x 0 即解不等式： x 3 1 xx 3 1 x x 1f x 在 3, 1 單調減，在 1,1 單調遞增Q f 1 2 2 1,f 3 1,f 1 1f x 的值域為 1,2 2 1小煉有話說： 本題還可以利用換元解決， 但利用的是三角換元： 觀察到被開方數(shù)的和為常數(shù)，2 2 1 x 2sin 1 x 0 所以想到 1 x x 3 4 ，從而可設 ，由 可知 x 3 2c

20、os x 3 00, ， 所 以原 函 數(shù)的 值域 轉 化 為求 y 2sin 2cos 1 的 值 域， 從而 有 2y 2 2sin1 ，由0, 可求得 y 1,2 2 1 。由此題可知： 含雙根式42 的函數(shù)若通過變形可得到被開方數(shù)的和為常數(shù)，則可通過三角換元轉為三角函數(shù)值域問題（ 2）思路：函數(shù)的定義域為x 1 ，從而發(fā)現(xiàn) 1 x 1 x ，所以函數(shù)的解析式 為f x x 1 x ，觀察可得 f x 為增函數(shù)，且 x 時， f x ，所以當x ,1 時， f x 的值域為 ,1小煉有話說： 本題中函數(shù)的定義域對解析式的化簡有極大的促進作用。 所以在求函數(shù)的值 域時，若發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式較為

21、特殊，則先確定其定義域 本題也可用換元法，設 t 1 x 后即可將函數(shù)轉為二次函數(shù)求值域，但不如觀察單調 性求解簡便。（3）思路：先確定函數(shù)的定義域：3 2x 0 x 1,3 ， f x 為分式且含有根式，2x 2 0 2求 導 則 導 函 數(shù) 較為 復 雜 。 觀 察 分 子 分 母 可知 ： 3 2x 5 0 且 關于 x 單 減 ，2x 2 1 0且關于 x 單增，即1 單減，所以 f x 3 2x 5為減函數(shù)，2x 2 1 2x 2 135由 x 1,3 可知 f x 的值域為 5,622小煉有話說： 在函數(shù)單調性的判斷中有 “增 +增增”，那么如果一個函數(shù)可表示為兩個函數(shù)的乘法， 例

22、如 h x f x g x ，則當 f x ,g x 均為增（減） 函數(shù)，且 f x ,g x 恒大于 0，才能得到 h x 為增（減）函數(shù)5答案：（1）D （2）B （ 3） ,624、方程思想：本方法是從等式的角度觀察函數(shù)，將其視為一個含參數(shù)y的關于 x 的方程F x,y 0。由函數(shù)的對應關系可知，對于值域中的任一值y ，必能在定義域中找到與之對應的 x 。這個特點反應在方程中，即為若y0 在值域中，則關于 x的方程 F x,y 0在y y0 時至少有一個根。從而將求值域問題轉化為“y 取何值時，方程 F x,y 0 有解”的問題。利用方程的特點即可列出關于y 的條件，進而解出 y的范圍即

23、值域例 8：（ 1）函數(shù)2x y24x7 的值域為（）2x2x39779A. ,2B.,0C.,0D.,22332（2）函數(shù) ysinx 1的值域為 cosx 2思路：（1）觀察分式特點可發(fā)現(xiàn)若將去掉分母后可構造為一個關于x 的二次方程 （其中 y 為2參數(shù)）： y 2 x2 2y 4 x 3y 7 0，因為函數(shù)的定義域為 R，所以 y 的取值要 求只是讓方程有解即可，首先對最高次數(shù)系數(shù)是否為 0 進行分類討論：當 y 2 ，方程為13 0，無解；當 y 2時，二次方程有解的條件為0，即得到關于 y 的不等式，求解即可2x2 4x 7解：由 y 2x2 4x 7 可得:x2 2x 322x y

24、 2xy 3y 2x 4x 72y 2 x22y 4 x 3y 7 0Q x2 2x 3 x 1 2 2 0 函數(shù)的定義域為 Ry 的取值只需讓方程有解即可當y2時， 13 0不成立，故舍去當 y 2 時，2y 4 2 4 y 2 3y 7 0即： 2y 9 y 2 0y2綜上所述：函數(shù)的值域為2,2小煉有話說： 對于二次分式，若函數(shù)的定義域為 R，則可像例 8 這樣通過方程思想，將 值域問題轉化為“ y 取何值時方程有解” ，然后利用二次方程根的判定 0得到關于 y 的 不等式從而求解，這種方法也稱為“判別式法” 若函數(shù)的定義域不是 R ，而是一個限定區(qū)間（例如 a,b ），那么如果也想按方

25、程的思想 處理，那么要解決的問題轉化為： “ y 取何值時，方程在 a,b 有根”，對于二次方程就變?yōu)?了根分布問題， 但因為只要方程有根就行， 會按根的個數(shù)進行比較復雜的分類討論， 所以此 類問題通常利用分式的變形與換元進行解決（詳見附）（2）本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含 sinx或 cosx的形式，考慮去分母得： sinx ycosx 2y 1則 y 的取 值只要讓 方程有解即可 。觀察左 側式子 特點可 想到俯角 公式， 從而得 到2y 1 ，可 知 方 程有解 的條 件為 ：cosx 2sin x 1 且ycosx 2ycosx2ysin x 1sin x ycos x2y2y sin x2

26、y，即 sin x1 y2 ，其中 tan02y43,01 y2小煉有話說：本題除了用方程思想，也可用數(shù)形結合進行解決，把分式視為2,1 與單位圓上點連線斜cosx,sin x , 2,1 連線斜率的問題，從而將問題轉化為定點率的取值范圍。 作圖求解即可。 本類型運用方程思想處理的局限性在于輔角公式與 y 的取值 相關，不過因為 x R ，所以均能保證只要 sin x 在 1,1 中，則必有解。但如果本題 對 x 的范圍有所限制， 則用方程的思想不易列出 y 的不等式， 所以還是用數(shù)形結合比較方便答案：（1）D（2） 4,03以上為求值域的四種常見方法，與求函數(shù)的理念息息相關，有些函數(shù)也許有多

27、種解法，或是在求值域的過程中需要多種手段綜合在一起解決。希望你再遇到函數(shù)值域問題時， 能迅速抓住解析式的特點，找到突破口，靈活運用各種方法處理問題。例 9：已知函數(shù) y lg x22x m 的值域為 R，則 m 的取值范圍是（A. m 1B.m1C. m 1D. m R思路： 本題可視為 y lgt,t2x2 2x m 的復合函數(shù)， 函數(shù)的值域為 R ，結合對數(shù)函數(shù)的性質可知t 應取遍所有的正數(shù)定義域可不為 R ），即若函數(shù) t x2 2xm 的值域為 A ，則 0,A，由二次函數(shù)的圖像可知，0 時，可滿足以上要求。 所以4 4m 0解得 m答案： C例 10 ：在計算機的算法語言中有一種函數(shù)

28、叫做取整函數(shù)（也稱高斯函數(shù)）表示不超過 x 的最大整數(shù)，例如：2 2, 3.13,2.63 ，設函數(shù) f2x2x12，則函數(shù) yA. 0B.1,0C. -1,0,1D.2,0思路：按 x 的 定義 可 知， 若要 求 出，則要將確定里面的范圍，所以若求的值域，知 道 f x ,f x的范圍。觀察到為偶函數(shù)所以只需0的值域即可，x1 2x ， x， 2 12x2x 11 2x 2x2x1x2 12x，即 f x成立，所以 f x 為奇函數(shù)，只需確定x 的范圍即可。對 f x 中的分式進行分離常數(shù)的值域為（1x可得：1122x 1 ，當 x0時，2x1 2,，從而 2x10, ，所以2以y答案：0

29、,12，由 f x12,0。即x 0, f1，可得1 ，再利用偶函數(shù)性質可得 x0 ，綜上所述： y0時，1 。當 x0 時， fx 0 ，所x 的值域為1,0小煉有話說：（ 1）本題在處理值域時，函數(shù)奇偶性的運用大量簡化了運算。首先判斷出所求函數(shù)為偶函數(shù)，所以關于 y 軸對稱的兩部分值域相同，進而只需考慮0的情況。另外從解析式的特點判斷出 f x 為奇函數(shù)，從而只需計算 f x 的范圍，再利用奇函數(shù)的性質推出 f x 的范圍。所以在求函數(shù)值域時，若能通過觀察或簡單的變形判斷出函數(shù)具備奇偶的性質，則解題過程能夠達到事半功倍的效果。2）本題在判斷 f x 的奇偶性時， 由2x1 2 x2x11

30、2x212 很難直接看出 f x ,f之間的聯(lián)系， 但通過 “通分” 即可得到的范圍時，利用 f x 2 1x 的形式，2 1 2x2x 12 1 2x1 2x2 1 2x，奇偶性立即可見； 在求 f x分式較為復雜，分子分母均含變量，不易確定11其范圍。但通過“分離常數(shù)”得到1x1 則非常便于求其范圍。 由以上的對比2 2x 1可知，在判斷奇偶性或者分式的符號時，通常一個大分式較為方便；在求得分式函數(shù)值域 時，往往通過“分離常數(shù)”的手段簡化分式中的分子，從而便于求得范圍附：分式函數(shù)值域的求法：分式函數(shù)也是高中所學函數(shù)的一個重要分支，求解分式函數(shù)的值域也考查了學生分式變 形的能力以及能否將分式

31、化歸為可求值域的形式， 學會求分式函數(shù)值域也是處理解析幾何中 范圍問題的重要工具。 求分式函數(shù)值域的方法很多， 甚至也可以考慮對函數(shù)進行求導， 但相 對計算量較大， 本節(jié)主要介紹的方式為如何通過對分式函數(shù)進行變形， 并用換元的方式將其 轉化為熟悉的函數(shù)進行求解。一、所用到的三個函數(shù)（其性質已在前文介紹）11、反比例函數(shù)： yxa2、對勾函數(shù)： y x a 0xa3、函數(shù)： y x a 0 注意與對勾函數(shù)進行對比x二、分式函數(shù)值域的求法 請看下面這個例子：1求 y 3 , x 1,2 的值域x11思路：此函數(shù)可看為 1的結果再加上 3 所得，故可利用反比例函數(shù)求出 1的范圍，再得到值域xx解： Q x11171,2 11 ,1y37,4x2x2問題不難，但觀察可發(fā)現(xiàn)：y 3 1x3x1，所以當遇到的函數(shù)為y3x 13x 1 ，總可以xx1進行求解。由此得到x將分子的每一項均除以分母，從而轉化為y3第一個結論：xax b b對于形如 f x的函數(shù)， 總可以變換成 f x a 轉化為反比例函數(shù)進行求解。xx注：如果在分式中， 分子的表達式可將一部分構造為分母的形式， 則可用這部分除以分母與，是分分式分離得到常數(shù)，從而使得分式中的分子變得簡單，這種方法稱為“分離常數(shù)法”式變形常用的一種手段2x 3 例： f x 2x 3, x 1,3 x1思路：本題分母為表達