1、第5章 離散時間系統的相位、 結構與狀態變量描述5.1 離散時間系統的相頻響應5.2 FIR 系統的線性相位5.3 具有線性相位系統的零點分布5.4 全通系統和最小相位系統5.5 譜分解5.6 FIR 系統的結構5.1 離散時間系統的相頻響應()()()jjjH eH ee 幅頻響應相頻響應() :( ):jH e 如果：( )k 我們稱其為線性相位。若：( )k 也稱線性相位()()()()()()xjjjjjkjkjY eH eX eX eeX ee()1jH e對輸入 ，有( )x n假定：所以：( )()y nx nk輸出是輸入的簡單移位，因此不會發生失真。( )k 例：令100( )

2、cos()cos(2()y nnknk則：波形沒有發生失真00( )cos()cos(2)x nnn()jjkH ee具有線性相位例：令若：200( )cos(/4)cos(2)y nnn則：波形發生了失真00( )cos()cos(2)x nnn()()jjH ee 00/403/2( )3/2 -1001020-202-1001020-202-1001020-202( )x n1( )y n2( )y n如果令：0( )cos()x nAn0()1jAHe再令：00000( )cos()cos()y nnn 則：000( )() cos()jy nA H en 則：()()()jjjH e

3、H ee 由于：00000( )cos()cos()y nnn ( )( )p 定義：如果系統的相頻響應不是線性的，那么系統的輸出將不再是輸入信號作線性移位后的組合，因此，輸出將發生失真。 ( )( )gdd 定義：為系統的群延遲(Group Delay, GD)為系統的相位延遲(Phase Delay, PD)顯然，若系統具有線性相位，則其GD為常數。00( )( )cos(),( ):Narrowband Signalacx nx nnx n若：則：0000( )()()cos()jagpy nH ex nn即：相位延遲 反映了載波信號的延遲， 而群延遲 反映了輸出包絡的延遲。 0()p0

4、()g思考：如何實現對信號的零相位濾波？若 要保證系統是因果的，又如何實現？5.2 FIR 系統的線性相位 在絕大部分信號處理的場合，人們都期盼系統具有線性相位，但是，如何實現線性相位？對于FIR 系統，如果保證：h(n)是實數，且( )(1)0,1,1h nh NnnN 則該系統具有線性相位。( )(1)h nh Nn :NN偶數奇數上述對稱有四種情況：偶對稱( )h n( )(1)h nh Nn :NN偶數奇數奇對稱( )h n1. 為奇數N10()( )Njj nnH eh n e1(3) 2120(1)/21( )( )2NNNjj nj nnnNNh n eh n ehe1mNn 利

5、用 的對稱性，并令 ，則有( )h n(3) 2(3) 2(1)00()( )(1)NNjjnj NmnmH eh n eh Nm e 1212NjNhe( )(1)h nh Nn h(n)偶對稱: (3) 2(3) 2(1)00121(3) 2(1)20111(3)/22220()( )(1)121( )()2(NNjj nj NnnnNjNNjj nj NnnNNNNjjnjnnH eh n eh Nn eNheNh n eeheeh nee 1(3)/2201)2112cos22NNjnNhNNeh nnh(3) 2(1)/20112( )cos22Nj NmNNeh mmh()jH e

6、(1) 2nNm令：102( )121,2,(1) 22Nhna nNhnnN 令：(1) 2(1)/21112cos()22Nj NnNNehnnh()jH e實數(1) 2(1)/20()( )cos()Njj NnH eea nn最后有：(1) 20( )(1)2( )( )cos()NgnNHa nn 相位增益 所以，只要保證濾波器的系數偶對稱，該濾波器必然具有線性相位。2(1)/211()2cos22Njj NnNH eehnn2. 為偶數N( )2 (),1,2,22NNb nhnn令：2(1)/211()( )cos() 2Njj NnH eeb nn則：( )(1)h nh N

7、n h(n)偶對稱:3. 為奇數N1(1) 2221()( )sin()NNjjnH eec nn1( )21,2,(1) 22Nc nhnnN( )(1)/2/2N h(n)奇對稱:( )- (1)h nh Nn 4. 為偶數N122211()( )sin2NNjjnH eed nn( )21,2,22Nd nhnnN( )(1)/2/2N 請掌握四種情況下線性相位表達式的推導方法。h(n)奇對稱:( )- (1)h nh Nn 四種線性相位四種線性相位FIR濾波器特性濾波器特性四種線性相位四種線性相位FIR濾波器特性濾波器特性的線性組合，在 時， 易取得最大值，因此這一類濾波器易體現低通特

8、性，且是偶函數。通過頻率移位，又可體現高通、帶通、帶阻特性。所以，經典的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的 都是偶對稱的。說明： 第1 、 2種情況 FIR 系統是cos()n0()jH e( )h n的線性組合，在 時， 的值為零，且是奇函數。這一類濾波器都是作為特殊形式的濾波器，如 Hilbert變換器、差分器等。第3 、 4種情況 FIR 系統是sin()n0()jH e 最好取為奇數，以便以中心點為對稱。N思考：四類濾波器的對稱點在何處5.3 具有線性相位系統的零點分布1100( )( )(1)NNnnnnH zh n zh Nn z ( )H z1()H z所以， 的零點也是 的零點,

9、反之亦然1mNn 令：1(1)0( )NNnnzh n z 則：1(1)0( )( )NNmmH zh m z (1)1()NzH z ( )H z 的零點分布: 零點分布可能有四種情況：1. 不在實軸上，也不在單位圓上，應是兩對共軛零點2. 不在實軸上，但在單位圓上，也是一對共軛零點3. 在實軸上，但不在單位圓上，無共軛，角度0， 4. 在實軸上，且在單位圓上，無共軛，角度0，( )H z .0, ,1kkar1111( )111111kkkkjjkkkjjkkHzz r ez r ezezerr四個零點同時存在, 構成四階系統.kz在單位圓內把該式展開，其系數也是對稱的，是具有線性相位的子

10、系統。.0, ,1,.kkkbrz在實軸上111( )11mkkHzz rzr無共軛零點, 有鏡象零點11( )11kkjjlH zz ez e.0, ,1,.kkkcrz在單位圓上無鏡象對稱零點, 有共軛零點.kmlnnlmkzHzHzHzHzH)()()()()(一個具有線性相位的FIR數字濾波器的轉移函數可表示為上述四類 FIR 子系統的級聯，即：很容易證明，每一個子系統的系數都是對稱的，因此它們都具有線性相位。.0, ,11,1kkkdrz)1 ()(1zzHn無鏡象零點, 也無共軛零點.5.4 全通系統和最小相位系統 如果一個系統的幅頻響應對所有的頻率都等于1 (或一個常數), 即1

11、| )(|japeH|0則稱系統 為全通系統。)(zHap( )kapHzz最簡單的全通系統，純延遲全通系統1111( )11apzHzz一階全通系統：Pole:,Zero:1zz鏡像對稱212( )( )()apapapHzHz Hz22()()()jjjapapapHeHeHe二階全通系統： 111111(1)(1 ()( )(1)(1)apzzHzzz一對位于單位圓內的共軛極點，一對共軛零點和極點以單位圓為鏡像對稱 。111( )11NkapkkkzHzz 高階全通系統：高階全通系統的另一種表示形式：1(1)111212( )1NNNNapNNaaza zzHza za za z 1()

12、( )( )NapzA zHzA z 即：2*()()()1jjjapapapHeHeHe對該全通系統： 1 . 是IIR系統(不考慮純延遲形式）； 2. 極點數和零點數相等； 3. 極點和零點是以單位圓鏡像對稱的； 4. 極點都在單位圓內,零點都在單位圓外； 5. 全通系統的群延遲始終為正值。全通系統的特點：IIR系統的 無限長，無法對稱，即無法作到線性相位。在實際中，可以用一個全通系統和IIR系統相級聯，在不改變幅頻響應的情況下對相頻響應做矯正，使其接近線性相位。( )h n全通系統的應用：全通系統還廣泛應用在系統分析及一些特殊濾波器的設計方面（如功率互補IIR濾波器組）-101-1-0.

13、500.51(a)00.20.400.511.5(b)00.20.4-4-3-2-10(c)05101520-0.500.51(d) 一階全通系統極零圖幅頻相頻抽樣響應-101-1-0.500.51(a)00.20.400.51(b)00.20.4-8-6-4-20(c)0102030-0.500.51(d) 三階全通系統 一個離散系統，其極點必須在單位圓內，但對零點沒有限制，如果：1. 所有的零點都在單位圓內： 最小相位系統；2. 所有的零點都在單位圓外： 最大相位系統；3. 單位圓內、外都有零點 ： 混合相位系統。最小相位系統1. 在具有相同幅頻響應的因果的穩定的濾波器 集合中, 最小相位

14、濾波器具有最小的相位偏移；最小相位系統的性質：例：如下兩個系統具有相同的幅頻響應：1111( ),1,11zbbzH zabzaaz1211( ),1,11bzbzHzabzaaz那一個是最小相位系統1111( ),1,11zbbzH zabzaaz1211( ),1,11bzbzHzabzaaz幅頻相頻2. 在所有具有相同幅頻響應的離散系統中, 最 小相位系統的 具有最小的延遲；( )h n令：20()( )0MnE Mh nM 累計能量有：22min00( )( )MMnnhnh n所以，最小相位系統的單位抽樣響應又稱最小延遲序列。思考： 具有線性相位的FIR系統是否是最小相位系統？/31

15、 2/31 212/31/31/31/3122/31 2/31 232(1 0.5) (1 0.5)( )1 0.81(1 0.5)(1 0.5)(0.5)(0.5)( )1 0.81(0.5) (0.5)( )1 0.81jjjjjjjjezezH zzezezezezHzzezezHzz例. 三個系統：它們具有相同的幅頻響應，試判斷，那一個是最小相位系統？最大相位系統？混合相位系統？請注意：為保證系統具有相同的幅頻響應（相同的定標）， 的表達式。123( ),( ),( )H zHzHz-101-101222-202-1012-202-10122200.250.50102000.250.5

16、-20-1001001020-20201020-20201020-20201020051015)(arg| )(|)(zHjezHzH( )ln( )ln |( )|arg( )H zH zH zjH z3. 設 為最小相位系統( )H z令：構成一對Hilbert變換)(jReH)(jIeHdeHeHdeHheHjRjIjjR)2cot()(21)()2cot()(21)0()(1則：和( )()( )jH zH eh n、復倒譜：Cepstrum4. 對于穩定因果系統，當且僅當其是最小相位 系統時, 該系統才有逆系統 （Inverse System)。 令：( )( )( )N zH zD

17、 z記：INV1( )( )( )( )D zHzH zN z 的逆系統( )H z( )H zINV( )Hz( )y n( )x n( )x nDeconvolution(反卷積）System identification(系統辨識）5. 任一非最小相位的因果系統的轉移函數均可由一個最小相位系統和一個全通系統 級聯而成, 即：)()()(minzHzHzHap由于最小相位系統有著以上特殊的性質，因此有著廣泛的應用，特別是在信號的建模與系統辨識方面。要理解，具有相同幅頻響應的系統，它們所對應的轉移函數可以是不相同的，區別就在于相位（或零點的位置）。那么，如何由一個最小相位系統得到具有相同幅頻

18、響應的最大相位、混合相位系統？5.5 譜分解（Spectral factorization)1( )( )()P zH z H z令：顯然， 具有線性相位。將一個轉移函數的極零點重新分配，得到兩個轉移函數，這一過程（或方法）就稱為“譜分解”。最常用的是將具有線性相位系統的轉移函數作分解，并且往往是分解成兩個具有相同幅頻響應的子系統。( )P z( )p n=1.0000 ，4.0500，8.1000 ，14.9956，27.7248，43.2996，51.1831，43.2996，27.7248，14.9956，8.1000，4.0500，1.0000例. 令顯然，該系統具有線性相位，共有12

19、個零點：0.8,1/0.8,0.6,1/0.6,2/32/3/3/3,0.6,/0.6jjjjeeee 下圖是對 作譜分解的結果，可以看出，分解后的兩個系統具有相同的幅頻響應。( )P z 譜分解的目的是想得到因果的、符合某種要求的系統，這在信號建模、特殊濾波器的設計中經常要用到。分解的一般方法是： 令一個系統是最小相位系統； 則另一個系統必然是最大相位系統。這樣，兩個系統都有著相同的幅頻響應。 另外一種分解方法是得到兩個混合系統，目的是保證它們都具有線性相位。0510020406000.250.500.51-2-101-101221200.250.500.510510012-101-101600.250.500.510510051015-2-101-1016( )P z( )P z( )H z1()H z5.6 FIR 系統的結構直接實現:12012( )( )MMY zX z bb zb zb z0( )MnnnH zb z一、 直接實現和級聯實現1( )nMNbh n級聯實現:LkkkkzzzH122110)()( )(1)h nh Nn :oddM:evenM乘法量減少一半二、 具