1、2.3 橢球面上大地坐標的計算橢球面上大地坐標的計算2.3.1 水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面1、水平方向觀測值歸算到參考橢球面的改正、水平方向觀測值歸算到參考橢球面的改正 包括三項改正，稱為三差改正。包括三項改正，稱為三差改正。(1). 垂線偏差改正垂線偏差改正(2). 標高差改正標高差改正12121121cossinctgzAAu2221222cos2sin2HBAMeh)(2sincos1089. 021222KmHABh用橢球半徑的近似值代入得：2.3.1 水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面(3). 法截弧方向歸算到大地線

2、方向的改正法截弧方向歸算到大地線方向的改正121222121212212122sincos12cossin6ABeNSAANSg 該項改正很小，100公里約0.03“，只有一等控制網才估計此項改正。2.3.1 水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面2、空間邊長歸算至參考橢球面的改正、空間邊長歸算至參考橢球面的改正 測線端點的大地高為：測線端點的大地高為：Dd1HS2H12AR21AR1P2PvhHihH222111橢球面上弦長 d 的計算公式211221212211AARHRHHHDd省略H/R的二次項，得： 211221 211212122AAAmAmRRRHHHR

3、HHHDd2.3.1 水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面橢球面上的弧長為：Dd1HS2H12AR21AR1P2P2232122212223331241 2448222sin2AAmAAAAAARHHDRHHHDRddRdRdRRdRS2.3.1 水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面3. 工程控制網中的地面觀測元素的歸算工程控制網中的地面觀測元素的歸算 以平均高程面作投影面，范圍小，可以用球代替橢球；球半徑采用高斯平均曲率半徑。計算公式為：22321222122241 RHHDRHHHDSm不難證明：橢球半徑的誤差對邊長歸算結果影響很小，

4、而高差誤差對邊長歸算比較敏感。2.3.2 橢球面上三角形解算橢球面上三角形解算1、球面角超、球面角超AABBCC222222224224224RRFRRFRRF三塊面積之和為：FRFFF222代入球面角超定義式，得：2RF2.3.2 橢球面上三角形解算橢球面上三角形解算按球面三角公式：222222222241sin213241sin21RcbaabRRcbaabF當邊長小于40公里時，第二項影響小于0.0004“，可略去sin212abR2.3.2 橢球面上三角形解算橢球面上三角形解算2、解算球面三角形的勒讓德定理、解算球面三角形的勒讓德定理勒讓德定理：對于較小的球面三角形，可用平面三角公勒讓

5、德定理：對于較小的球面三角形，可用平面三角公式來解算，只需使三個平面角等于相應的球面角減去式來解算，只需使三個平面角等于相應的球面角減去三分之一的球面角超，而邊長保持不變。三分之一的球面角超，而邊長保持不變。ABCabccCbBaA3sin3sin3sin2.3.3 大地主題解算大地主題解算大地主題解算分類：大地主題解算分類：正算：知正算：知(B1, L1)，A12，S12，計算，計算(B2, L2)，A21反算：知反算：知(B1, L1)， (B2, L2)， 計算計算A12，S12 ，A21短距離短距離中距離中距離長距離長距離解算方法：級數展開：解算方法：級數展開： Legendre級數級

6、數 Schreiber公式公式 Gauss平均引數公式平均引數公式KmS120KmSKm400120KmS4002.3.3 大地主題解算大地主題解算1、緯度差、經度差和方位角差展開為大地線長度的級數式、緯度差、經度差和方位角差展開為大地線長度的級數式626262303320220123033202201230332022012SdSAdSdSAdSdSdAAAaSdSLdSdSLdSdSdLLLlSdSBdSdSBdSdSdBBBb由大地線的微分公式，得其一階導數為：ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintan cossin cos 2.3.3 大地主題解算大地主題解算二階和三階導數采

7、用復合函數求導法計算：dSdAdSBdAdSdBdSBdBdSBddSdAdSdBAdSdBdSdBBdSBd22223322 同理可求出四階以上的導數和L、A的高階導數，代入展開式即可。2.3.3 大地主題解算大地主題解算2、高斯平均引數公式、高斯平均引數公式若取大地線中點展開，得：若取大地線中點展開，得：4882488233322213332222SdSBdSdSBdSdSdBBBSdSBdSdSBdSdSdBBBMMMMMMMM兩式相減，得：111,LBP222,LBPMN12AMA2S2S2433312SdSBdSdSdBbBBMM類似地，有：2433312SdSLdSdSdLlLLM

8、M243331221SdSAdSdSdAaAAMM12.3.3 大地主題解算大地主題解算兩式相加，得：8222SdSBdBBMMm類似地，有：8 ,8222222SdSAdAASdSLdLLMMmMMm其中：21212121 ,21 ,21AAALL LBBBmmm將 展開成級數，得：MdSdBMmmMmmmMAAdSdBABBdSdBBdSdBdSdB22.3.3 大地主題解算大地主題解算由大地線的微分公式：mmmANVMAdSdBcoscos 2求導，得：ANVdSdBAAtMdSdBBmmmmmmmsin cos322mMmMdSAddSAddSBddSBd22222222 ?。捍?式

9、，得 的計算公式。并取2MdSdBmMdSBddSBd3333代入 式，求出各階導數后整理得：12.3.3 大地主題解算大地主題解算2222222222221241cos3 232sin241cosmmmmmmmmmmmmmttAtANSASNVBBb同理可得：222222221291cos sin241sincos1mmmmmmmmmmtAtANSASBNLLl4222222222125972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAAa以上3式具有4次方精度，可用于解算200公里下的大地主題。32.3.3 大地主題解算大地主題解算因計算Bm , Lm要用到

10、B2 , L2，因此需要疊代計算。其初值為： 121112012110sintan21cos21ASBNAAASMBBmm疊代計算公式為： 2 2 12111kkmkkmaAAbBB直到 為止。 10.00 10.000 11 kmkmAkmkmBAABB最后計算緯度、經度和方位角：aAAlLLbBB12211212 2.3.3 大地主題解算大地主題解算3、高斯平均引數反算公式、高斯平均引數反算公式由正算公式，反解得：由正算公式，反解得：222222222222241cos3 232sin24coscosmmmmmmmmmmmmmmttAStASNASNbVAS22222222291cossi

11、n24sincossinmmmmmmmmmmmtAStASNASBlNAS右端第二項與第一項相比為小量，可以作近似：mmmmmmBlNASNbVAScossin cos22.3.3 大地主題解算大地主題解算代入上式第二項，得：3222222222824332coscosbtNblttBNVbNASmmmmmmmmmmmm32222224sincos9124coscossinlBBNlbtBNlBNASmmmmmmmmmmm由此可求得平均方位角和大地線長度如下：mmmmmAAS SASASAsinsin cossintan12.3.3 大地主題解算大地主題解算由正算公式的第三式，計算a：4222

12、222222125972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAAa最后得起終點的大地方位角為：2 22112aAAaAAmm2.3.3 大地主題解算大地主題解算4、測地坐標系與大地坐標系間的坐標轉換、測地坐標系與大地坐標系間的坐標轉換(1). 由由Sx ,Sy求解求解B,L）由前面子午弧長反算公式求解由前面子午弧長反算公式求解B1。由由B1,L0和方位角和方位角A=90，Sx可計算可計算B，L）(2). 由由B,L求解求解Sx ,Sy）xS00,LBySyS01,LBLB,10BBxMdBsLB,01,LB0,LB00,LBSySxS 先計算(B,L)到(

13、B,L0)距離S，按球面三角公式求解Sy和B到B1的距離，加上B0到B的距離即為Sx.2.3.4 大地主題微分公式大地主題微分公式1、大地主題正解微分公式、大地主題正解微分公式 終點的經緯度終點的經緯度B2,L2和大地線方位角和大地線方位角A21，與，與起點的經緯度起點的經緯度B1,L1和大地線方位角和大地線方位角A12，以及大，以及大地線長度地線長度S的微分關系。的微分關系。1211122112221212221221212212112212122sinsincostansin0cossincoscoscossin1tansinsincos0cosdAdSdLdBAALLRBABLLBRAS

14、BRABLLRASRAAAdAdLdB2.3.4 大地主題微分公式大地主題微分公式2、大地主題反解微分公式、大地主題反解微分公式 起點大地線方位角起點大地線方位角A12和大地線方位角和大地線方位角A21，以及，以及大地線長度大地線長度S與起點和終點的經緯度與起點和終點的經緯度B1,L1和和B2,L2的微分關系。的微分關系。21211211121121212121222122212121212221222121212112coscoscoscossinsincoscoscoscossinsinsincossincoscoscosdLdLdBdBASBNASBNASMASMASBNASBNASMASMABNABNAMAMdAdAdS習習 題題1、地面觀測方向歸算到橢球面上需要加哪幾項改正？2、