1、2019 湖南省 11 地市中考數學 7 大專題分類解析匯編專題 04 三角形一、選擇題（1 2019 湖南邵陽）如圖，以點 O 為位似中心，把ABC 放大為原圖形的 2 倍得到ABC，以下說法中錯誤的是（）A ABCBCB點 C、點 O、點 C三點在同一直線上CAO：AA=1：2DABAB【答案】C【解析】解：以點 O 為位似中心，把ABC 放大為原圖形的 2 倍得

2、到BC，ABCBC，點 C、點 O、點 C三點在同一直線上，ABAB，AO：OA1：2，故選項 C 錯誤，符合題意故選：C2（2019 湖南益陽）已知 M、N 是線段 AB 上的兩點，AMMN2，NB1，以點 A 為圓心，AN 長為半徑畫弧；再以點 B 為圓心，BM 長為半徑畫弧，兩弧交于點 C，連接 AC，BC，則ABC 一定是（）A銳角三角形B直角三角形    &

3、#160; C鈍角三角形     D等腰三角形【答案】B【解析】解：如圖所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，AC2+BC2AB2，ABC 是直角三角形，且ACB90°，故選：B3（2019 湖南益陽）南洞庭大橋是南益高速公路上的重要橋梁，小芳同學在校外實踐活動中對此開展測量活動如圖，在橋外一點 A 測得大橋主架與水面的交匯點 C 的俯角為 ，大橋主架的頂端 D 的仰角為 ，已知測量點與大橋主架的水平距離 

4、ABa，則此時大橋主架頂端離水面的高 CD 為（）Aasin+asinCatan+atan【答案】CBacos+acosD      +【解析】解：在 ABD 和 ABC 中，ABa，tanBCatan，BDatan，CDBC+BDatan+atan；故選：C，tan   ，4（2019 湖南張家界）如圖，在ABC 中，C90°，AC8，DCABC，則點 D 到 AB 的距離等

5、于（）AD，BD 平分A4B3              C2             D1【答案】C【解析】解：如圖，過點 D 作 DEAB 于 E，AC8，DCCD8×AD，2，C90°，BD 平分ABC，DECD2，即點 D

6、 到 AB 的距離為 2故選：C5（2019 湖南湘西州）如圖，在ABC 中，C90°，AC12，AB 的垂直平分線 EF 交AC 于點 D，連接 BD，若 cosBDC，則 BC 的長是（）A10【答案】D.B8              C4    

7、60;        D2【解析】解：C90°，cosBDC設 CD5x，BD7x，BC2x，AB 的垂直平分線 EF 交 AC 于點 D，ADBD7x，AC12x，AC12，x1，BC2；故選：D6（2019 湖南邵陽）如圖，在 ABC 中，BAC=90°，B=36°，AD 是斜邊 BC 上的中線，將ACD 沿 AD 對折，使

8、點 C 落在點 F 處，線段 DF 與 AB 相交于點 E，則BED 等于（）A120°B108°C72°D36°【答案】B【解析】解：在 ABC 中，BAC90°，B36°，C90°B54°AD 是斜邊 BC 上的中線，ADBDCD，BADB36°，DACC54°，ADC180°DACC72°將ACD 沿 

9、AD 對折，使點 C 落在點 F 處，ADFADC72°，BEDBAD+ADF36°+72°108°故選：B7（2019 湖南郴州）我國古代數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的三角形，如圖所示，已知A90°，BD4，CF6，則正方形ADOF 的邊長是（）AB2CD4【答案】B【解析】解：設正方形 ADOF 的邊長為 x，由題意得：BEBD4，CECF6，BCBE+CEBD+CF10，在 ABC

10、60;中，AC2+AB2BC2，即（6+x）2+（x+4）2102，整理得，x2+10x240，解得：x2，或 x12（舍去），x2，即正方形 ADOF 的邊長是 2；故選：B8（2019 湖南常德）如圖，在等腰三角形ABC 中，ABAC，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為 ，ABC 的面積為 42，則四邊形 DBCE 的面積是（）A20B22           &

11、#160; C24            D26【答案】D【解析】解：如圖，根據題意得AFHADE，（）2（）2設  AFH9x，則  ADE16x，16x9x7，解得 x1， ADE16，四邊形 DBCE 的面積421626故選：D二、填空題9（2019 湖南邵陽）如圖，已知 AD=AE，請你添加一個條件，使得ADCAEB，你添加的條件是_（不添加任何字母和輔助線）

12、【答案】ABAC 或ADCAEB 或ABEACD【解析】解：AA，ADAE，可以添加 ABAC，此時滿足 SAS；添加條件ADCAEB，此時滿足 ASA；添加條件ABEACD，此時滿足 AAS，故答案為 ABAC 或ADCAEB 或ABEACD.（10 2019 湖南懷化）若等腰三角形的一個底角為 72°，則這個等腰三角形的頂角為【答案】36°【解析】解：等腰三角形的一個底角為 72°，等腰三角形的頂角180°72°

13、72°36°，故答案為：36°（11 2019 湖南株洲）如圖所示，在 ABC 中，ACB90°，CM 是斜邊 AB 上的中線，E、F 分別為 MB、BC 的中點，若 EF1，則 AB【答案】4【解析】解：E、F 分別為 MB、BC 的中點，CM2EF2，ACB90°，CM 是斜邊 AB 上的中線，AB2CM4，故答案為：412（2019 湖南常德）如圖，已

14、知ABC 是等腰三角形，ABAC，BAC45°，點 D 在AC 邊上，將ABD 繞點 A 逆時針旋轉 45°得到ACD，且點 D、D、B 三點在同一條直線上，則ABD 的度數是【答案】22.5°【解析】解：將ABD 繞點 A 逆時針旋轉 45°得到ACD，BACCAD'45°，ADAD'AD'D67.5°，D'AB90°ABD22.5°

15、故答案為：22.5°.13（2019湖南婁底）如圖，小明用長為 3m 的竹竿 CD 做測量工具，測量學校旗桿 AB 的高度，移動竹竿，使竹竿與旗桿的距離 DB=12m，則旗桿 AB 的高為mACOD6m12mB【答案】3【解析】解：由題意得，CDAB，OCDOAB，  CDOD=ABOB，即3    6=AB  6 + 12，解得AB=9 故答案為：9（014 2019

16、0;湖南邵陽）如圖，將等邊AOB 放在平面直角坐標系中，點 A 的坐標為（4， ），點 B 在第一象限，將等邊AOB 繞點 O 順時針旋轉 180°得到AOB，則點 B的坐標是_【答案】（2，2）【解析】解：作 BHy 軸于 H，如圖，OAB 為等邊三角形，OHAH2，BOA60°，BHOH2，B 點坐標為（2，2），等邊AOB 繞點 O 順時針旋轉 180°得到OB

17、，點 B的坐標是（2，2故答案為（2，2）（15 2019 湖南株洲）如圖所示，在平面直角坐標系 xOy 中，在直線 x1 處放置反光鏡，在 y 軸處放置一個有缺口的擋板，缺口為線段 AB，其中點 A（0，1），點 B 在點 A 上方，且 AB1，在直線 x1 處放置一個擋板，從點 O 發出的光線經反光鏡反射后，通過缺口 AB 照射在擋板上，則落在擋板上的光線的長度為【答案】1

18、.5【解析】解：當光線沿 O、G、B、C 傳輸時，過點 B 作 BFGH 于點 F，過點 C 作 CEGH 于點 E，則OGHCGE，設 GHa，則 GF2a，則 tanOGHtanCGE，即：，即：，解得：a1，則 45°，GECE2，yC1+23，當光線反射過點 A 時，同理可得：yD1.5，落在擋板上的光線的長度CD31.51.5，故答案為 1.5三、解答題16（2019 湖南益陽

19、）已知，如圖，ABAE，ABDE，ECB70°，D110°，求證：ABCEAD【答案】見解析【解析】證明：由ECB70°得ACB110°又D110°ACBDABDECABE在ABC 和EAD 中ABCEAD（AAS）17（2019 湖南邵陽）某品牌太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖如圖所示已知真空集熱管 DE 與支架 CB 所在直線相交于點 O，且 OB=OE；支架 BC 與水平線 AD 垂直AC=40cm，ADE=

20、30°，DE=190cm，另一支架 AB 與水平線夾角BAD=65°，求 OB 的長度（結果精確到 1cm；溫馨提示：sin65°0.91，cos65°0.42，tan65°2.14）【答案】18【解析】解：設 OEOB2x，ODDE+OE190+2x，ADE30°，OCOD95+x，BCOCOB95+x2x95x，tanBAD，2.14，解得：x9，OB2x1818（2019 湖南郴州）如圖所示，巡邏船在 A 處測得燈塔 C 

21、;在北偏東 45°方向上，距離 A處 30km在燈塔 C 的正南方向 B 處有一漁船發出求救信號，巡邏船接到指示后立即前往施救已知 B 處在 A 處的北偏東 60°方向上，這時巡邏船與漁船的距離是多少？（精確到 0.01km參考數據：1.414，1.732，2.449）【答案】8.97km【解析】解：延長 CB 交過 A 點的正東方向于 D，如圖所示：則CDA90°，由題意得：AC30k

22、m，CAD90°45°45°，BAD90°60°30°，ADCDBDAC155  ，AD  BD，BCCDBD155  15×1.4145×2.4498.97（km）；答：巡邏船與漁船的距離約為 8.97km19（2019 湖南懷化）如圖，為測量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸B 處測得對岸 A 處一棵柳樹位于北偏東 60°方向，他以每秒 1.5 米的速度

23、沿著河岸向東步行 40秒后到達 C 處，此時測得柳樹位于北偏東 30°方向，試計算此段河面的寬度【答案】30米【解析】解：如圖，作 AD于 BC 于 D由題意可知：BC1.5×4060 米，ABD30°，ACD60°，BACACDABC30°，ABCBAC，BCAC60 米在 ACD 中，ADACsin60°60×答：這條河的寬度為 30米30  （米）（20 201

24、9 湖南張家界）天門山索道是世界最長的高山客運索道，位于張家界天門山景區在一次檢修維護中，檢修人員從索道 A 處開始，沿 ABC 路線對索道進行檢修維護如圖：已知 AB500 米，BC800 米，AB 與水平線 AA1 的夾角是 30°，BC 與水平線 BB1 的夾角是 60°求：本次檢修中，檢修人員上升的垂直高度 CA1 是多少米？（結果精確到 1 米，參考數據：1.732）

25、【答案】943 米【解析】解：如圖，過點 B 作 BHAA1 于點 H在 ABH 中，AB500，BAH30°，BHAB（米），A1B1BH250（米），在 BB1C 中，BC800，CBB160°，B1C400，檢修人員上升的垂直高度 CA1CB1+A1B1400答：檢修人員上升的垂直高度 CA1 為 943 米+250943（米）21（2019湖南婁底）如圖，有小島A和小島B，輪船以45km/h的速度由C向東航行，在C處測

26、得A的方位角為北偏東60°，測得B的方位角為南偏東45°，輪船航行2小時后到達小島B處，在B處測得小島A在小島B的正北方向求小島A與小島B之間的距離（結果保留整數，參考數據：2 141，6 245）AC60°45°B【答案】100km【解析】解：過點C作CPAB于P，BCF=45°，ACE=60°，ABEF，PCB=PBC=45°，CAP=60°，輪船的速度是45km/h，輪船航行2小時，BC=90，BC2=BP2+CP2，BP=CP=45CAP=60°，tan60°=AP=

27、15=，AB=AP+PB=15+45   =15×2.45+45×1.41100（km）答：小島A與小島B之間的距離是 100kmCE60°45°FAPB22（2019 湖南岳陽）慈氏塔位于岳陽市城西洞庭湖邊，是湖南省保存最好的古塔建筑之一如圖，小亮的目高 CD 為 1.7 米，他站在 D 處測得塔頂的仰角ACG 為 45°，小琴的目高 EF 為 1.5 米，她站在距離塔底中心

28、 B 點 a 米遠的 F 處，測得塔頂的仰角AEH 為（B  F62.3° 點 D、 、 在同一水平線上，參考數據：sin62.3°0.89，cos62.3°0.46，tan62.3°1.9）（1）求小亮與塔底中心的距離 BD；（用含 a 的式子表示）（2）若小亮與小琴相距 52 米，求慈氏塔的高度 AB【答案】（1）（1.9a0.2）米；（2）36.1 米

29、【解析】解：（1）由題意得，四邊形 CDBG、HBFE 為矩形，GBCD1.7，HBEF1.5，GH0.2，在 AHE 中，tanAEH，則 AHHEtanAEH1.9a，AGAHGH1.9a0.2，在 ACG 中，ACG45°，CGAG1.9a0.2，BD1.9a0.2，答：小亮與塔底中心的距離 BD 為（1.9a0.2）米；（2）由題意得，1.9a0.2+a52，解得，a18，則 AG1.9a0.234.4，ABAG+GB36.1，答：慈氏塔的高度 AB 為&#

30、160;36.1 米23（2019 湖南常德）圖 1 是一種淋浴噴頭，圖 2 是圖 1 的示意圖，若用支架把噴頭固定在點 A 處，手柄長 AB25cm，AB 與墻壁 DD的夾角DAB37°，噴出的水流 BC 與 AB 形成的夾角ABC72°，現在住戶要求：當人站在 E 處淋浴時，水流正好噴灑在人體的 C 處，且使 DE50cm，CE130cm問：安裝師傅應將

31、支架固定在離地面多高的位置？（參考數據：sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75，sin72°0.95，cos72°0.31，tan72°3.08，sin35°0.57，cos35°0.82，tan35°0.70）【答案】160m【解析】解：如圖 2，過點 B 作 BGDD 于點 G，延長 EC、GB 交于點 F，AB25，DE50，sin37°，cos37°，GB25&#

32、215;0.6015，GA25×0.8020，BF501535，ABC72°，DAB37°，GBA53°，CBF55°，BCF35°，tan35°CF，50，FE50+130180，GDFE180，AD18020160，安裝師傅應將支架固定在離地面 160cm 的位置24（2019 湖南衡陽）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面D 處測得樓房頂部 A 的仰角為 30°，沿坡面向下走到坡腳 C 處，然后向

33、樓房方向繼續行走10 米到達 E 處，測得樓房頂部 A 的仰角為 60°已知坡面 CD10 米，山坡的坡度 i1：（坡度 i 是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房 AB 高度（結果精確到 0.1 米）（參考數據：1.73，1.41）【答案】23.7 米【解析】解：過 D 作 DGBC 于 G，DHAB 于 H，交 AE 于 

34、;F，作 FPBC 于 P，如圖所示：則 DGFPBH，DFGP，坡面 CD10 米，山坡的坡度 i1：DCG30°，FPDGCD5，CGDG5，FEP60°，FPEPEP5，DFGP5+10+          +10，AEB60°，EAB30°，ADH30°，DAH60°，DAF30°ADF，AFDF+10，FHAHAFFH10+5+5，ABAH+BH1

35、0+5+515+5  15+5×1.7323.7（米），答：樓房 AB 高度約為 23.7 米25（2019 湖南株洲）小強的爸爸準備駕車外出啟動汽車時，車載報警系統顯示正前方有障礙物，此時在眼睛點 A 處測得汽車前端 F 的俯角為 ，且 tan，若直線 AF 與地面 l1相交于點 B，點 A 到地面 l1 的垂線段 AC 的長度為 1.6

36、0;米，假設眼睛 A 處的水平線 l2 與地面l1 平行（1）求 BC 的長度；（2）假如障礙物上的點 M 正好位于線段 BC 的中點位置（障礙物的橫截面為長方形，且線段 MN 為此長方形前端的邊），MNl1，若小強的爸爸將汽車沿直線 l1 后退 0.6 米，通過汽車的前端 F1 點恰好看見障礙物的頂部 N 點（點 D 為點 A 的對應點，點

37、60;F1 為點 F 的對應點），求障礙物的高度【答案】（1）4.8m；（2）0.6 米【解析】解：（1）由題意得，ABC，在 ABC 中，AC1.6，tanABCtanBC4.8m，答：BC 的長度為 4.8m；（2）過 D 作 DHBC 于 H，則四邊形 ADHC 是矩形，ADCHBE0.6，點 M 是線段 BC 的中點，BMCM2.4 米，EMBMBE1.8，MNBC，MNDH，EMNEHD

38、，MN0.6，答：障礙物的高度為 0.6 米26（2019 湖南常德）在等腰三角形ABC 中，ABAC，作 CMAB 交 AB 于點 M，BNAC 交 AC 于點 N（1）在圖 1 中，求證：BMCCNB；（2）在圖 2 中的線段 CB 上取一動點 P，過 P 作 PEAB 交 CM 于點 E，作 PFAC 

39、交 BN于點 F，求證：PE+PFBM；（3）在圖 3 中動點 P 在線段 CB 的延長線上，類似（2）過 P 作 PEAB 交 CM 的延長線于點 E，作 PFAC 交 NB 的延長線于點 F，求證：AMPF+OMBNAMPE【答案】見解析【解析】證明：（1）ABAC，ABCACB，CMAB，BNAC，BMCCNB90°，在BMC 和CNB 中，BMCCNB（AAS

40、）；（）BMCCNB，BMNC，PEAB，CEPCMB，PFAC，BFPBNC，+，   +   1，PE+PFBM；（3）同（2）的方法得到，PEPFBM，BMCCNB，MCBN，ANB90°，MAC+ABN90°，OMB90°，MOB+ABN90°，MACMOB，又AMCOMB90°，AMCOMB，AMMBOMMC，AM×（PEPF）OMBN，AMPF+OMBNAMPE（27 2019 湖南婁底）如圖甲，在ABC 中，ACB=90°

41、，AC=4cm，BC=3cm如果點 P 由點 B 出發沿 BA 方向向點 A 勻速運動，同時點 Q 由點 A 出發沿 AC 方向向點 C 勻速運動，它們的速度均為 1cm/s連接 PQ，設運動時間為 t（s）（0t4），解答下列問題：（1設APQ 的面積為 S，當 t 為何值時，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如圖乙，連接 ，將

42、PQC 沿 QC 翻折，得到四邊形 PQPC，當四邊形 PQPC 為菱形時，求 t 的值；（3）當 t 為何值時，APQ 是等腰三角形？BBPPAQCAQ甲     C乙P'【答案】（1）t  為  515秒時，S最大值為cm2；28（2）當四邊形PQPC為菱形時，t的值是2013s；（3）當 t 為 5225 40s 或 

43、60; s 或   s 時，APQ 是等腰三角形13 13【解析】解：（1）如圖甲，過點 P 作 PHAC 于 H，C=90°，ACBC，PHBC，APHABC，  PHAP=BCAB，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，  PH5 - t=35，PH=335t，S=   1AQP 的面積為：133515×AQ×PH=×t

44、×（3t）=（t） 2+，2251028當 t 為5              15秒時，S最大值為  cm22              8（2）如圖乙，連接 PP，PP交 QC于E，當四邊形 PQPC 為菱形時，PE

45、 垂直平分 QC，即 PEAC，QE=EC，APEABC，  AEAP=ACAB，AE=AP AC  (5 - t ) 4   4                  4        9=&

46、#160;=  t+4， QE=AEAQ t+4t= t+4，AB      5      5                  5        5QE= &

47、#160;111QC=（4t）=t+2，222 - 9 t + 4 = -5解得：t= 20，130 204，1312t + 2 ，當四邊形PQPC為菱形時，t的值是2013s；PD=  -t+3，與（2）同理得：QD=ADAQ= -t+43（3）由（1）知，955PQ= PD2 + QD2 =3         9&

48、#160;       18(- t + 3)2 + (- t + 4)2 =    t 2 - 18t + 25 ，5         5         5

49、當  PQ=AQ，即    18t 2 - 18t + 25 =t  時，解得：t2=  ，t3=5；在APQ 中，當 AQ=AP，即 t=5t 時，解得：t1= ；25513t 2 - 18t + 25 =5t  時，解得：t4=0，t5=  ；當 PQ=AP，即18 

50、;405                               130t4，t3=5，t4=0 不合題意，舍去，當 t 為 5225 40s 或   s 或   s 時，APQ 是等