1、2019 年山東省聊城市高考數學二模試卷（理科）一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1（5 分）設集合 Ax|x22x，Bx|1x4，則 AB（）A（，4）B0，4C（1，2D（1，+）R2（5 分）已知 a，b ，ai，則 a+bi 的共軛復數為（   ）A2iB2+iC2iD2+i3（5 分）對于實數 a，b，c

2、，“ab”是“ac2bc2”的（）A充分不必要條件C充要條件B必要不充分條件D既不充分也不必要條件4（5 分）已知 Sn 為等差數列an的前 n 項和，若 S416，S5S3+24，則 a6（）A45（5 分）已知函數B12             C18           &

3、#160;D20則 f（2019）（   ）A2BC2De+4（6 5 分）1927 年德國漢堡大學的學生考拉茲提出一個猜想：對于任意一個正整數，如果它是奇數，對它乘 3 加 1，如果它是偶數，對它除以 2，這樣循環，最終結果都能得到 1有的數學家認為“該猜想任何程度的解決都是現代數學的一大進步，將開辟全新的領域”，這大概與其蘊含的“奇偶歸一”思想有關如圖是根據考拉茲猜想設計的一個程序框圖，則輸出 i 的值為（）A8B7C6第 1 頁（

4、共 26 頁）D57（5 分）已知項為（）A展開式中前三項的二項式系數的和等于 22，則展開式中的常數B               C              D8（5 分）某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖，側視圖都是兩個正方形，俯視圖為一個圓及圓中互

5、相垂直的半徑，則該幾何體的體積為（）ABCD29（5 分）函數的圖象大致為（）ABCD（10 5 分）將函數 ysin2x 的圖象向右平移 （0）個單位后與 ysin2x 的圖象重合，則  的最小值為（）ABC              D11（5 分）已知拋物線 C：y24x 的焦點為 F，過 F 

6、;的直線與拋物線 C 交于 A、B 兩點，若第 2 頁（共 26 頁）以 AB 為直徑的圓與拋物線的準線相切于 P（m，2），則|AB|（）A1012（5 分）已知 fgA B8              C6         &

7、#160;   D4，若+x，方程 g（ax）x0 有且只有一個根，則 a 的取值范圍是（   ）B（，       C（0，         D（，0 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.）13（5 分）已知實數 x，y&

8、#160;滿足則 zy2x 的最小值是14（5 分）已知向量 （m，1）， （4，m），15（5 分）已知 O 為坐標原點，F 為橢圓| | |，則 m      的右焦點，過點 F 的直線在第一象限與橢圓 C 交與點 ，且POF 為正三角形，則橢圓 C 的離心率為16（5 分）對于數列的“優值”已知某N數列an的“優值”Hn2

9、n+1，記數列ankn的前 n 為 Sn，若 SnS5 對任意的 n *，恒成立，則實數 k 的取值范圍為三、解答題：共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22，23 題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共 60分.（D17 12 分）如圖在ABC 中， 是邊 BC 上一點，ABAC，BD1，sinC

10、AD3sinBAD（1）求 DC 的長；（2）若 AD，求ABC 的面積18（12 分）如圖，四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形，E 為 CD 的中點，以 AE 為折痕把ADE 折起，使點 D 到達點 P 的位置，且PAB60°第 3 頁（共 26 頁）（1）求證：平面 PEC平面 PAB；（2）求二面角 PAEB

11、0;的余弦值（19 12 分）已知以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為 4 的正方形（1）求橢圓 E 的方程；（2）直線 l：ykx+m（km0）與橢圓 E 交于異于橢圓頂點的 A，B 兩點，O 為坐標原點，直線 AO 與橢圓 E 的另一個交點為 C 點，直線 l 和直線 AO 的斜率之積為 1，直線BC 與 x 軸交于點&#

12、160;M若直線 BC，AM 的斜率分別為 k1，k2，試判斷 k1+2k2 是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由20（12 分）某企業生產一種產品，從流水線上隨機抽取100 件產品，統計其質量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖 1）：規定產品的質量指標值在65，75）的為劣質品，在75，105）的為優等品，在105，115|的為特優品，銷售時劣質品每件虧損 1 元，優等品每件盈利 3 元，特優品每件盈利 5 元以這 100 件

13、產品的質量指標值位于各區間的頻率代替產品的質量指標值位于該區間的概率（1）求每件產品的平均銷售利潤；第 4 頁（共 26 頁）（2）該企業為了解年營銷費用 x（單位：萬元）對年銷售量 y（單位：萬件）的影響，對近 5 年年營銷費用 xi 和年銷售量 yi（i1，2，3，4，5）數據做了初步處理，得到如圖 2 的散點圖及一些統計量的值uivi（ui）（vi ）（ui）216.30表中 uilnxi，vilnyi， 23.20ui，

14、0;   vi0.81               1.62根據散點圖判斷，yaxb 可以作為年銷售量 y（萬件）關于年營銷費用 x（萬元）的回歸方程求 y 關于 x 的回歸方程；用所求的回歸方程估計該企業應投人多少年營銷費，才能使得該企業的年收益的預報值達到最大？（收益銷售利潤營銷費用，取 e3.0120）附：對于一組數據（u1，v1）

15、，（u2，v2），（un，vn）其回歸直線 v+u 均斜率和截距的最小二乘估計分別為，21（12 分）已知函數有兩個極值點（1）求 a 的取值范圍；（2）x1，x2（x1x2）f（x）的兩個極值點，證明：2lnx1+lnx20（二）選考題：共 10 分，請考生在第 22，23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.選修 4-4：坐標系與參數方程（10 分）22（10 分）在直角坐標系 xOy 中，曲線（ 為參數）以原點 O&

16、#160;為x極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線 l 的極坐標方程為（1）求曲線 C 的普通方程和直線 l 的直角坐標方程；（2）若曲線 C 與直線 l 交于 A，B 兩點，點 P（1，0），求選修 4-5：不等式選講（10 分）第 5 頁（共 26 頁）的值23已知函數 f（x）2|x+1|x2|（1）求不等式 f（x）3 的解集；（2）若 xa，

17、1，（其中 a1），f（x）|xa|恒成立，求實數 a 的取值范圍第 6 頁（共 26 頁）2019 年山東省聊城市高考數學二模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1（5 分）設集合 Ax|x22x，Bx|1x4，則 AB（）A（，4）B0，4C（1，2D（1，+）【分析】先分別求出集合 A，B，由此能求出

18、 AB【解答】解：集合 Ax|x22xx|0x2，Bx|1x4，ABx|0x40，4故選：B【點評】本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題2（5 分）已知 a，bR，aiA2iB2+i，則 a+bi 的共軛復數為（   ）C2i           D2+i【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件求得 a，b，則答案可求【解答

19、】解：ai                   ，a2，b1a+bi 的共軛復數為2i故選：A【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，是基礎題3（5 分）對于實數 a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的（）A充分不必要條件C充要條件B必要不充分條件D既不充分也不必要條件【分析】不等式的基本性質，“ab”“ac2bc2”必須有 c20 這

20、一條件【解答】解：主要考查不等式的性質當C0 時顯然左邊無法推導出右邊，但右邊可以推出左邊故選：B第 7 頁（共 26 頁）【點評】充分利用不等式的基本性質是推導不等關系的重要條件4（5 分）已知 Sn 為等差數列an的前 n 項和，若 S416，S5S3+24，則 a6（）A4B12C18D20【分析】由題意易得數列的公差和首項，進而可得 a6【解答】解：由 S416，S5S3+24，可得可得 a12，d4，則 a62+5×

21、418，故選：C【點評】本題考查了等差數列的通項公式和求和公式，屬于基礎題5（5 分）已知函數則 f（2019）（）A2BC2De+4【分析】根據題意，由函數的解析式分析可得 f（2019）f（2017）f（1），進而求出 f（1）的值，即可得答案【解答】解：根據題意，函數，則 f（2019）f（2017）f（1），又由 f（1）e0+12；故選：A【點評】本題考查分段函數的求值計算，關鍵是分析函數的解析式，屬于基礎題（6 5 分）1927 年德國漢堡大學的學生考拉茲提出一個猜想：對于任意一個正整數，如果

22、它是奇數，對它乘 3 加 1，如果它是偶數，對它除以 2，這樣循環，最終結果都能得到 1有的數學家認為“該猜想任何程度的解決都是現代數學的一大進步，將開辟全新的領域”，這大概與其蘊含的“奇偶歸一”思想有關如圖是根據考拉茲猜想設計的一個程序框圖，則輸出 i 的值為（）第 8 頁（共 26 頁）A8B7C6D5【分析】根據程序框圖進行模擬運算即可【解答】解：a3，a1 不滿足，a 是奇數滿足，a10，i2，a10，a1 不滿足，a 是奇數不滿足，a5

23、，i3，a5，a1 不滿足，a 是奇數滿足，a16，i4，a16，a1 不滿足，a 是奇數不滿足，a8，i5，a8，a1 不滿足，a 是奇數不滿足，a4，i6，a4，a1 不滿足，a 是奇數不滿足，a2，i7，a2，a1 不滿足，a 是奇數不滿足，a1，i8，a1，a1 滿足，輸出 i8，故選：A【點評】本題主要考查程序框圖的識別和應用，利用模擬運算法是解決本題的關鍵比較基礎7（5 分）已知展開式中前三項的二項式系數的和等于 22，則展開式中的常數項為（）

24、ABCD【分析】由展開式二項式系數的運算得：22，又 nN +解得：n6，由展開式通項公式得：Tr+1（）6r（x2）r（1）r（）6rx3r6，令 3r60，解得 r2，則展開式中的常數項為：（1）2（ ）4【解答】解：由題意有22，第 9 頁（共 26 頁）  ，得解又 nN +解得：n6，由二項式展開式通項得：Tr+1  （  ）6r（x2）r（1）r（ ）6rx3r6，令 3r60，解得 

25、r2，則展開式中的常數項為：（1）2（ ）4，故選：A【點評】本題考查了展開式二項式系數及展開式通項公式，屬中檔題8（5 分）某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖，側視圖都是兩個正方形，俯視圖為一個圓及圓中互相垂直的半徑，則該幾何體的體積為（）ABCD2【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體為一個長方體與半球的組合體，進而可得答案【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體為兩個圓柱的組合體；上面的圓柱去掉部分的組合體，底面半徑為：1，圓柱的高為 1，故體積 V故選：C    ，第 10 頁（共&

26、#160;26 頁）【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，難度不大，屬于基礎題9（5 分）函數的圖象大致為（）ABCD【分析】利用函數的奇偶性得到圖象關于原點對稱，利用 f（）f（  ），進行排除即可【解答】解：f（x）f（x）則函數 f（x）是奇函數，排除 C，分母 2+cosx0，則當 0x 時，sinx0，則 f（x）0，排除 D，f（）f（） ，則 B 不滿足條件故選：A【點評】本題主要考查函數圖象的識別和判斷，利用函數奇偶性

27、和函數值的對應性，利用排除法是解決本題的關鍵（10 5 分）將函數 ysin2x 的圖象向右平移 （0）個單位后與 ysin2x 的圖象重合，則  的最小值為（）第 11 頁（共 26 頁）ABCD【分析】利用三角函數的圖象平移關系建立方程求出  的值即可【解答】解：ysin2x 的圖象向右平移 （0）個單位后得到 ysin2（x）sin（2x2）與 ysin2xsin（2x+）的圖象重合，則2+2k，即&

28、#160;k，當 0 時，當 k1 時，取得最小值，故選：D【點評】本題主要考查三角函數的圖象變換，結合三角函數的性質建立方程是解決本題的關鍵比較基礎11（5 分）已知拋物線 C：y24x 的焦點為 F，過 F 的直線與拋物線 C 交于 A、B 兩點，若以 AB 為直徑的圓與拋物線的準線相切于 P（m，2），則|AB|（）A10B8C6D4【分析】利用拋物線的性質，求出 AB 中的縱坐標，設出直線 

29、;l 的方程，聯立直線與拋物|線方程，利用韋達定理求解直線的斜率，然后利用圓的性質求解AB|即可【解答】解：拋物線 y24x 的焦點為 F（1，0），過 F 點的直線 l 與拋物線相交于 A，B兩點，以 AB 為直徑的圓與拋物線的準線相切，以 AB 為直徑的圓過點（1，2），可知AB 的中點的縱坐標為：2，直線 l 的方程為：ykxk，則，可得 ky24y4k20，則 AB 中點的縱坐標為： 2，

30、解得 k1，圓的圓心坐標（3，2）所以|AB|2×（3+1）8故選：B【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關系的應用，是中檔題12（5 分）已知 fgA ，若+x，方程 g（ax）x0 有且只有一個根，則 a 的取值范圍是（   ）B（，       C（0，         D

31、（，0 【分析】由已知求得 f（0），把原函數求導后可得 f（1）e，求得函數解析式，代入第 12 頁（共 26 頁）g+x，把方程 g（ax）x0 有且只有一個根，轉化為 a有且只有一個實數根，令 h（x）【解答】解：由，利用導數研究單調性，再數形結合得答案，得 f（0）f（1）e1f（x）xf（0）+f（1）ex1f（1）1f（1）e1+f（1），f（1）e則 f（0）ee11則 f（x）g+xex由 g（ax）x0，得 eaxx0

32、，即 eaxx，當 x0 時，方程顯然無解；x0，兩邊取對數，得 axlnx，則 a，令 h（x），則 h（x）當 x（0，e）時，h（x）0，當 x（e，+）時，h（x）0，h（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+）上單調遞減，又當 x0+時，h（x），當 x+時，h（x）0作出函數 h（x）的圖象如圖：由圖可知，若方程 g（ax）x0 有且只有一個根，則 a 的取值范圍是（，0 故選：D【點評】本題考查利用導數研究函數的

33、單調性，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題第 13 頁（共 26 頁）二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.）13（5 分）已知實數 x，y 滿足則 zy2x 的最小值是1【分析】畫出可行域，由 zy2x，則 y2x+z，由它在 y 軸的截距最小，得到 z 最小【解答】解：由已知得到平面區域如圖：由 zy2x，則 y2x+z

34、，由它在 y 軸的截距最小，得到 z 最小，由圖可知當直線過 A（1，1）時，z 最小，所以最小值為 12×11；故答案為：1【點評】本題考查了簡單線性規劃問題；只要正確畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求最值即可，屬于中檔題14（5 分）已知向量 （m，1）， （4，m），| | |，則 m2【分析】直接利用向量的數量積的運算法則，化簡求解即可【解答】解：向量 （m，1）， （4，m），| | |，可得 

35、4m+m，解得 m2，m2（舍去）故答案為：2【點評】本題考查平面向量的數量積的應用，是基本知識的考查15（5 分）已知 O 為坐標原點，F 為橢圓的右焦點，過點 F 的直線在第一象限與橢圓 C 交與點 ，且POF 為正三角形，則橢圓 C 的離心率為第 14 頁（共 26 頁）【分析】由于|OF|為半焦距 c，利用等邊三角形性質，即可得點P 的坐標，代入橢圓標準方程即可得橢圓的離心率【解答】解：橢圓上存在點

36、 P 使POF 為正三角形，設 F 為右焦點，|OF|c，P 在第一象限，點 P 的坐標為（ ，c）代入橢圓方程得：，e ，即+1，e（0，1）解得 e1故答案為：【點評】本題主要考查了橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質，橢圓的離心率的定義及其求法，屬基礎題16（5 分）對于數列的“優值”已知某數列an的“優值”Hn2n+1，記數列ankn的前 n 為 Sn，若 SnS5 對任意的 nN*，恒成立，則實數 k&

37、#160;的取值范圍為 【分析】本題可根據優值 Hn 的特點構造數列bn：令 bn2n1an，nN*然后可通過先求出數列bn的通項公式來求出數列an的通項公式，再可根據數列an的通項公式寫出數列ankn的前 n 為 Sn 和 S5 的表達式，根據 SnS5 寫出不等式，然后考慮將 n 與 k 分離開來，得出關于 n 的表達式單調性及最值問題，由此可得 k 的取值范圍【解答】解：由題意，可知：對于數

38、列an：2n+1可構造數列bn：令 bn2n1an，nN*設數列bn的前 n 項和為 TnnN*第 15 頁（共 26 頁）當 n1 時，；1當 n2 時，bnTnTnn2n+1（n1）2n（n+1）2n由，可得：，nN*2（n+1），nN*數列an是以 4 為首項，2 為公差的等差數列對于數列ankn：Sn（a1k）+（a22k）+（annk）（a1+a2+an）（1+2+n）k4n+n2+3n4015k由題意：對任意的 nN*，都有

39、 SnS5 恒成立n2+3n整理，得：4015knN*當 n5 時，；當 n5 時，令 f（x），（x1 且 x5）則：f（x）f（x）在（1，5）和（5，+）上均為單調遞減函數             0當 n5 時，kf（4）當 n5 時，kf（6） 第 16 頁（共 26 頁）故答案

40、為：【點評】本題主要考查通過觀察理解新定義的能力，采用構造新數列的方法求出已知數列的通項公式，然后進行參變量的分離以及采用函數思想來判斷數列單調性取最值問題本題屬偏難題三、解答題：共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22，23 題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共 60分.（D17 12 分）如圖在ABC 中， 是邊 BC 上一點，ABAC，BD1，sinCAD3sinBAD（1）求&

41、#160;DC 的長；（2）若 AD，求ABC 的面積【 分析 】（ 1 ）由 已知 利用 正弦 定理 ，可 得，          ，結合已知可求 DC3BD3（2）由已知利用余弦定理，可得 4+1+2×2×1×cosADC4+92×2×3×cosADC，解得 cosADC&#

42、160;，可求ADC60°，利用三角形的面積公式即可計算得解【解答】（本題滿分為 12 分）解：（）在ABD 中，由正弦定理，可得：，1 分在ADC 中，由正弦定理可得：，2 分因為 ABAC，sinADBsinADC，BD1，sinCAD3sinBAD，所以 DC3BD35 分（）在ABD 中，由余弦定理，可得：AB2AD2+BD22ADBDcosADB，在ADC 中，由余弦定理，可得：AC2AD2+DC22ADDCcosADC，因為 ABAC，AD2，BD1，D

43、C3，cosADBcosADC，所以 4+1+2×2×1×cosADC4+92×2×3×cosADC，第 17 頁（共 26 頁）解得 cosADC ，所以ADC60°，10 分所以  ABC （BD+DC）×AD×sinADC212 分【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題18（12 分）如圖，四

44、邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形，E 為 CD 的中點，以 AE 為折痕把ADE 折起，使點 D 到達點 P 的位置，且PAB60°（1）求證：平面 PEC平面 PAB；（2）求二面角 PAEB 的余弦值（【分析】 1）折起后 PEPA，且 PA，推導出PAB 是正三角形，PEPB，從而PE平面 PAB，由此能證明平面 PEC平面 

45、PAB（2）取 AB 中點 F，連結 PF，EF，則 ABPF，ABEF，推導出 AB平面 PEF，從而平面 PEF平面 ABCE，在平面 PEF 內作 POEF 于 O 點，則 PO平面 ABE，以 O 點為原點，OF 為 x 軸，在平面 ABCD 內過點 O 作 AB 的平行線為 y 軸，OP&

46、#160;為 z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角 PAEB 的余弦值【解答】證明：（1）四邊形 ABCD 是正方形，折起后 PEPA，且 PAAB，PAB°，PAB 是正三角形，PBPA，正方形 ABCD 中，E 為 CD 的中點，EAEB，PAEPBE，EPBEPA，PEPB，PAPBP，PE平面 PAB，PE平面 PEC，平面 PEC平面 PAB解：（2）取 AB 中

47、點 F，連結 PF，EF，則 ABPF，ABEF，PFEFF，則 AB平面 PEF，又 AB平面 ABCE，平面 PEF平面 ABCE，在平面 PEF 內作 POEF 于 O 點，則 PO平面 ABE，第 18 頁（共 26 頁）以 O 點為原點，OF 為 x 軸，在平面 ABCD 內過點 O 作&

48、#160;AB 的平行線為 y 軸，OP 為 z 軸，建立空間直角坐標系，在PEF 中，PF，PE1，EF2，PO，EO ，P（0，0，（），E（ ，0，0），A（ ，1，0），），  （2，1，0），設平面 PAE 的一個法向量 （x，y，z），則，取 x1，得 （1，2，），平面 ABE 的法向量 （0，0，1），設二面角 PAEB 的平面角為 ，則 c

49、os 二面角 PAEB 的余弦值為 【點評】本題考查面面垂直的證明，考查利用法向量求二面角的余弦值的大小，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題（19 12 分）已知以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為 4 的正方形（1）求橢圓 E 的方程；（2）直線 l：ykx+m（km0）與橢圓 E 交于異于橢圓頂點的 A，B 兩點，O 為坐標原點，直線 AO 與橢圓 

50、E 的另一個交點為 C 點，直線 l 和直線 AO 的斜率之積為 1，直線BC 與 x 軸交于點 M若直線 BC，AM 的斜率分別為 k1，k2，試判斷 k1+2k2 是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由第 19 頁（共 26 頁）（【分析】 1）根據題意可得，解得 a24，b22，即可求出橢圓的方程（2）設 A（x1，y1），B（x2，y2），（

51、x1y10，x2y20），則 C（x1，y1），根據韋達定理和斜率公式，即可求出 k1+2k20【解答】解：（1）橢圓恰好是面積為 4 的正方形，解得 a24，b22，的焦點和短軸端點為頂點的四邊形橢圓方程為+1（2）設 A（x1，y1），B（x2，y2），（x1y10，x2y20），則 C（x1，y1），則 kAD，聯立，消 y 可得（1+2k2）x2+4km+2m240，x1+x2，y1+y2k（x1+x2）+2mk1，直線 BC 的方程為：y+y1（x1+x2），令&#

52、160;y0，由 y10，可得 x3x1，M（3x1，0），k2，k1+2k2+2×0，第 20 頁（共 26 頁）k1+2k20【點評】本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力20（12 分）某企業生產一種產品，從流水線上隨機抽取100 件產品，統計其質量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖 1）：規定產品的質量指標值在65，75）的為劣質品，在75，105）的為優等品，在105，115|的為特優品，銷售時劣質品每件虧損 1 元，優等品每

53、件盈利 3 元，特優品每件盈利 5 元以這 100 件產品的質量指標值位于各區間的頻率代替產品的質量指標值位于該區間的概率（1）求每件產品的平均銷售利潤；（2）該企業為了解年營銷費用 x（單位：萬元）對年銷售量 y（單位：萬件）的影響，對近 5 年年營銷費用 xi 和年銷售量 yi（i1，2，3，4，5）數據做了初步處理，得到如圖 2 的散點圖及一些統計量的值uivi（ui）（vi ）（ui）216.30表中 uilnxi，v

54、ilnyi， 23.20ui，    vi0.81               1.62根據散點圖判斷，yaxb 可以作為年銷售量 y（萬件）關于年營銷費用 x（萬元）的回歸方程求 y 關于 x 的回歸方程；用所求的回歸方程估計該企業應投人多少年營銷費，才能使得該企業的年收益的預報第 21 頁（共 

55、26 頁）值達到最大？（收益銷售利潤營銷費用，取 e3.0120）附：對于一組數據（u1，v1），（u2，v2），（un，vn）其回歸直線 v+u 均斜率和截距的最小二乘估計分別為，（【分析】 1）設每件產品的銷售利潤為 X，則 X 的可能取值為：1，3，5，把頻率看作概率，再由期望公式求解；（2）由 yaxb，得 lnylna+blnx，鄰 ulnx，vlny，clna，則 vc+bu，由表格中數據得 與 ，可得回歸方程 v3.01+0.5u，

56、進一步得到回歸方程為 y20x0.5；設年收益為 z 萬元，則 z3yx3×20x0.2x，令 tx0.5，利用換元法求最值【解答】解：（1）設每件產品的銷售利潤為 X，則 X 的可能取值為：1，3，5，由頻率分布直方圖可得產品為劣質品、優等品、特優品的概率分別為 0.05、0.85、0.1，P（X1）0.05，P（X3）0.85，P（X5）0.1則 E（X）（1）×0.05+3×0.85+5×0.13（元），即每件產品的平均銷售利潤為 3

57、60;元；（2）由 yaxb，得 lnylna+blnx，鄰 ulnx，vlny，clna，則 vc+bu，由表格中數據得，則v3.01+0.5u，即 lny3.01+0.5lnxln（e3.01x0.5）e3.0120，y20x0.5故回歸方程為 y20x0.5；設年收益為 z 萬元，則 z3yx3×20x0.2x令 tx0.5，則 z60tt2（t30）2+900當 t30，即 x900 時，z 由最大值為 900即該企業

58、應投人 900 萬元營銷費，才能使得該企業的年收益的預報值達到最大 900 萬元第 22 頁（共 26 頁）【點評】本題考查回歸方程的求法，考查數學轉化思想方法，考查計算能力，是中檔題21（12 分）已知函數有兩個極值點（1）求 a 的取值范圍；（2）x1，x2（x1x2）f（x）的兩個極值點，證明：2lnx1+lnx20（【分析】 1）f（x）的定義域為（0，+），f（x）lnxx+a，設 g（x）lnxx+a，則由題意得 g（x）在（0，+）內有兩個變

59、號零點，g（x），利用導數性質求出 g（x）maxg（1）a1，推導出 g（x）在（0，1）和（1，+）內分別有一個變號零點，由此能求出 a 的取值范圍（2）f（x）的極值點 x1，x2 就是 g（x）的零點，即 g（x1）g（x2）0，推導出 x1（0，1），x2（1，+），設 h（x）g（x）g（）3lnxx+，x（0，1），則，由此利用導數性質能證明 2lnx1+lnx20【解答】解：（1）函數有兩個極值點f（x）的定義域為（0，+），f（x）lnxx+a，設 g（x）

60、lnxx+a，則由題意得 g（x）在（0，+）內有兩個變號零點，g（x），令 g（x）0，解得 0x1，令 g（x）0，解得 x1，g（x）在（0，1上單調遞增，在1，+）上單調遞減，g（x）maxg（1）a1，當 a1 時，g（x）max0，這時，g（x）在（0，+）上沒有變號零點，當 a1 時，ea（0，1），aa（1，+），g（ea）0，g（ea）0，g（1）0，g（x）在（0，1）和（1，+）內分別有一個變號零點，綜上，a 的取值范圍是（1，+）證明：（2）f（x）的極值點 x1，x2 就是 g（x）的零點，即 g（x1）g（x2）0，g（x）在（0，1單調遞增，而在1，+）單調遞減，且 x1x2，x1（0，1），x2（1，+），設 h（x）g（x）g（）3lnxx+，x（0，1），第 23 頁（共 26 頁）則