1、第8章非正弦周期電流電路本幸日次1非正就周期電流和電壓 . I2冏期函數分解為傅里葉級教3非正球周期量的有效值、平均功率4非正弦冏期電湍電路的計算8-1 ）非正弦周期電流和電壓）基本要求：初步了解非正弦信號產生的原因。1 .非正弦周期電流的產生1）當電路中有多個不同頻率的電源同時作用，如圖所示引起的電流便是非正弦周期電流2）非正弦周期電壓源或電流源（例如方波、鋸齒波）引起的響應也是非正弦周期:=1Tzl3)有非線性元件引起的非正弦周期電流或電壓。例如，由半波 整流，全波整流得到的電壓，電流響應也是非正弦周期量U *8.2周期函數分解為傅里葉級數)基本要求：掌握傅里葉級數的三角形式，理解諧波概念

2、.1 .傅里葉級數周期為T,角頻率為的周期函數/(，)若滿足狄里赫利條件，即：1) /(，)在任何一個周期內，連續或存在有限個間斷點；2)/(1)在任何一個周期內，只有有限個極大值和極小值；3)在任何一個周期內，函數絕對值的積分為有限值，貝U： f(t)可以分解為如下級數形式co = 2ti IT =27tf是角頻率,T是/( f )的周期。在電路分析中，一般用傅里葉級數的另一種形式。恒定分量（直流分量）諧波分量k二1 一一次諧波（基波） k >1 一統稱為高次諧波2.諧波分析法一將周期函數分解為恒定分量、和各次諧波的方 法圖中豎線稱為譜線，長度表示4m的量值; 相鄰兩譜線的間隔等于基波

3、角頻率3。這 種譜線間具有一定間隔的頻譜稱為離散 頻譜。同樣可以畫出相位頻譜，用以表 示各次諧波的初相隨角顏率*3變動的情形。>人圖8.4周期性方波圖8.5周期性方波的波形分解。今圖8.6周期性方波的振幅頻譜和相位頻譜（3列題一）8,1求圖所示周期性方波的傅里葉展開式，并畫其頻譜。這一方波的分解情況如圖8.5所示方波振幅頻譜和相位頻譜如下所示3.周期函數的波形與傅里葉系數的關系當周期函數的波形具有某種對稱性質時，利用函數對稱性可使系數 Ao、s、的確定簡化。3/（力為奇函數如圖只含有正弦項，不含恒定分量和余弦項,因為恒定分量和余弦項都是偶函數.周期性奇函數傅里葉級鯽中只含有余弦項和恒 定

4、分量（當哥公時），而沒有正弦項, 這是因為正能項都是奇函數。&傅里葉級數式即/（-） = -/（。時，函數關 于原點對稱，3.3 /«）為鏡像對稱函數如上下半波鏡像對稱的函數即/=-/« + 7/2） , Ao=O展開式中只有奇次諧波。計算 奇次諧波系數，只需計算半個 周期內積分 說明： 奇、偶函數與計時起點有關， 奇次諧波函數與計時起點無關 級數收斂快慢與波形光滑程度 及接近正弦波程度有關 當存在上述任何一個條件時， 諧波分析可簡化如下： a不必計算等于零的系數 b計算非零系數時，積分區間可減半，同時積分式乘以2。補充8.1求圖所示三角波的傅里葉展開式co代入 f

5、(r) = A)+ Z(/ coska)t + bk sinkcot) a=i三角波的振幅頻譜如圖所示解/=由力，Ao=O, m=0,只需求念 展開式中只有奇次諧波存在兩個對稱條件，可在7/4內積分，并乘以4三角波的頻譜圖其諧波振幅與A 2成反比U *下面是幾種常見周期函數的傅里葉級數/(£)的波形圖/(，)的傅里葉級數一、 4A , . , 1 . °1 . u= (sin cat + sin 36yf + sin Scat7t35+ - + -!-sin hot + )(左為奇數)k=(sin cot + sin2 a)t + - sin3 cot2 it23+ sin

6、k創+)24f (cot) = a A-(sina 7tcost»r + sin2a 允 cos2dH兀2幾種常見周期函數的傅里葉級數/（f）的波形圖/（，）的傅里葉級數/d(s27C sin 3a)t Hsin 5a)t9254A1f(cot) =(sin a sinsin 3a sin 3。，+an9sin5«sin5rwzsin Kasin 十 )25kf (如)=(1 + cos cotcos 2a)tcos 4cotn 2315 cos kcot)(k -1)(A: + 1)(A為偶數)8-3）非正弦周期量的有效值 平均功率 ）基本要求：透徹理解非正弦周期量有效值

7、和平均功率的定義.有效位：周期量的有效值等于其瞬時值的方均根值，即1.當給出函數/（，）在一個周期內的表達式，便可以直接代入上 式計算有效值。補充8.2計算圖示方波的有效值解寫出所給波形在一個周期內 的表達式(A為奇數)1- -2sin Aeyr + )(A為奇數) k代入式A = f；Wdr得化簡得；結論:(7列gf) 8.2已知周期電流 / = 1 + 0.707cos(d>z-20°) + 0.42cos(2r + 50°)A,求其有 效值。平均功率設一端口網絡的端口電壓、電流取關聯參考方向，則其輸入的瞬時 功率為P=u i其平均功率就是瞬時功率在一周期內的平均

8、值，即結論:非正弦周期電流電路的/惜猊分呈分別產生的平均功率之。同時說明：不同頻率的電 壓和電流不產生平均功率。P=H:cos(人口，+ /山 HUo+Zlm cos(2Gf+ 3法)出A=1A=1 T eT s= -j0 Uo,odf + - £ U0 Z & cos( t + % )d t/A=11 T E.+ "仁。心05(3+仁川/1A=17 s s+ 3J°ZZU"wcos(ka)t + i/lk)cos(k7ot+ y/Qd t 1*=1 £，=1| T 6+ 亍0 Z Uw & cos(. / + y/心)cos(

9、. t + 匕)d t/4=1白 U Z 1 L= U°/° + Z- 半 cos®.° °£丘后也式中a、分別為第火次諧波電壓和電流的有效值， 為第k次諧波電壓與電 流間的相位差非正弦周期電流電路的:勿J力別產生未千均功率之。同時說明：不同頻率的電壓和電流不產生平均功率.lt .(7列題)8.3已知某無獨立電源的一端口網絡的端口電壓、電流為 u = 50 + 84.6cos(of + 30 ) + 56.6cos(2。，+10 )JV / = 1+ 0.707 cos(而20°) + 0.424cos(2r + 50

10、76;) A 求一端口網絡輸入的平均功率。 補充8.3圖示電路中，已知 w=100cos(r/s-45°)+50cos(2z/s)+25cos(3/s+45°) V , z=80cos(r/s)+20cos(2r/s)+1 Ocos(3r/s)mA o (1)求一端口網絡N的電壓和電流i的有效值。 求一端口網絡N消耗的平均功率。 求各頻率時N的輸入阻抗。補充8.4求圖(a)負載吸收的功率，電流波形如圖(b)所示10V< 負載網絡(a)絲絲-絲(ST 271204p = ()/() =10x= 2W8-4 ）非正弦周期電流電路的計算）基本要求：熟練掌握用疊加定理分析非正

11、弦周期電流電路的方法.1）把給定的非正弦周期性激勵分解為恒定分量和各諧波分量。2）分別計算電路在上述恒定分量和各諧波分量單獨作用下的響應。 求恒定分量響應耍用計算直流電路的方法；求各次諧波分量的響 應，則要應用計算正弦電流電路的方法（相量法）。其中，電感、電容對左次諧波的電抗分別為 X/為基波感抗Xc為基波容抗3）根據疊加定理，把恒定分量和各諧波分量的響應相量轉化為瞬 時表達式后進行疊加。0 a（列演）8.4圖示電路中 Us = 10V,= 20a/2 cos<yfV,z5 = （2 + 2>/2 cosrwf）A,co = lOrad/s .求電流源的端電壓及箕有效值；（2）求電

12、流源發出的平均功率。（a）® 直流分量作用，電路模型如圖（b）所示(b)(c)電流源的端電壓及其有效值分別為電流源發出的平均功率交流分量作用相量模型如圖（c）所 示。節點法求電流源端電壓相量補充8.5圖(a)所示電路，電源電壓 w(0 = 10 +100V2 cos 6)r + 50V2 cos(36)t + 30°)V=1000 rad/s, Rx = 10 Q, Z?2 = 4 C, C = 100 r F,乙=2mH求各支路電流和電源發出的平均功率；在七支路串一電磁式儀表， 計算該表讀數。.111 /、Riu(t) Ric L解1）非正弦周期電源的傅氏級數形式已給定電

13、壓源基波單獨作用，如圖(C) /，1(1)12 .RR?U*R'c L(c)6% = ioono° v電壓源3次諧波單獨作用時，如圖（d）'，（3）RcL(d)* _ _ QQ . coC lOOoTlOOxlO-6 'Xzi = <vL=1000x2x10-3 = 2Q LI。=50N30°VXc. = - Xc. =- -QC3 k c 3X % = k X =3x2 = 6。LALI2）Uo=lOV單獨作用，電路如圖（b），i（o）=。；，2（o）= 2.5 A ;ZI（1） = 7.07Z45 A /2（i）= 22.37N - 26.

14、57° A/ =4.74/48.42° A 7 =6.93Z-26.31°A/（l）=25.49Z-11.3°A=9.37Z2.94°A3)瞬時疊加電源發出的功率:P = U。/。+41）（1）cos/ +43），（3）cos% = 2942 W在此支路串一電磁式電流表，指針偏角。.口山即所測為有效值補充8.6圖示 電路中，s=2+cos(104s)A, ws=2cos( 104r/s+90°)V o (1)求兩電源發出的功率之和。(2)求“一及其有效值。I解：電流源直流單獨作用時正弦電源作用時& = jV2V, /s = V

15、2/2 NO。A列回路KVL方程X題* 解得A =5/2 A?I /2 = -V2 + j0.75 V2 = 1.767Z-36.87° A兩由阻交流作用下吸收功率和為兩電源發出功率和為2=6+=4.5 W(7列題1 8,5圖(a)中LC構成濾波電路，其中L=5H, C=10fiFo設輸入為工頻正 弦經全波整流電壓，如圖(b)所示，電壓振幅44=150V,負載電阻 /?=2000£2o求電感電流i和負載端電壓“cd。® 圖(b)電壓的傅里葉級數為(2)分別計算電源電壓的恒定分量和各次交 流分量引起的響應。恒定電壓作用時電感相當于短路，電容相 當于開路，故電壓基波作用。此時基波角頻率應為 0 = 2x 100兀rad/s AC并聯電路的阻抗為ab端口的輸入阻抗 b = 95.5 + 45>/2cos(ftX 4-180°) + 9&cos(2d + 180°) + V/0 = 0.0478AUcd()= 95.5 VZcdl = I58Z-85.4°Q7、« 2980/90°Q(3)把相量變化為瞬時表達式疊加。二次諧波的作用角頻率加倍說明負載電壓