1、高二數學選修21 第三章 第1節 空間向量及其運算人教實驗b版理【本講教育信息】一、教學內容：選修21 空間向量及其運算二、教學目標：1理解空間向量的概念，掌握其表示方法；會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律。2理解共線向量定理和共面向量定理及其意義。3掌握空間向量的數量積的計算，掌握空間向量的線性運算，掌握空間向量平行、垂直的充要條件及向量的坐標與點的坐標的關系；掌握夾角和距離公式。三、知識要點分析：1空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量2空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加

2、法、減法與數乘向量運算如下如圖運算律：1加法交換律：2加法結合律：3數乘分配律：3共線向量定理：對于空間任意兩個向量、，/的充要條件是存在實數，使.4共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序實數組，使得。5空間向量根本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在唯一的有序實數組x，y，z，使6夾角定義：是空間兩個非零向量，過空間任意一點o，作，那么叫做向量與向量的夾角，記作規定：特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作。7數量積1設是空間兩個非零向量，我們把數量叫作向量的數量積，記作，即2夾角：3空間向量數量積的性質： 4空間向量

3、數量積運算律：交換律分配律8空間向量的直角坐標運算律 1假設， 那么，2假設，那么一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。3模長公式：假設，那么，4兩點間的距離公式：假設，那么5設aa1，a2，a3，bb1，b2，b3，那么ab的中點坐標為【典型例題】例1. a3，1，3，b1，5，0，求：1線段的中點坐標和長度；2到兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件 解：1設是線段的中點，那么的中點坐標是，2 點到兩點的距離相等，那么，化簡得：，所以，到兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件是點評：到兩點的距離相等的點構成的集合就是線段ab的中垂面，假設將點的坐標滿足的

4、條件的系數構成一個向量，發現與共線。例2. 如圖，矩形和矩形所在平面互相垂直，點，分別在對角線，上，且，求證：平面分析：要證明平面，只需證明向量可以用平面內的兩個不共線的向量和線性表示證明：如圖，因為在上，且，所以同理，又，所以又與不共線，根據共面向量定理，可知，共面由于不在平面內，所以平面例3. 三角形的頂點是，試求這個三角形的面積。分析：可用公式來求面積解：，所以，例4. 如圖，在空間四邊形中，求與的夾角的余弦值。解：，所以，與的夾角的余弦值為說明：由圖形知向量的夾角時易出錯，如易錯寫成，例5. 的余弦值。 解： ac1與b1c所成的角的余弦值為本講涉及的數學思想、方法 1、向量的夾角公式

5、、模長公式和向量平行、垂直的條件，是用向量解決幾何問題的主要工具；應用向量知識解決幾何問題時，一方面要選擇恰當的基向量，另一方面要熟練地進行向量運算。2、用向量坐標運算證明線線或線面垂直是向量的一個重要應用，要熟練掌握，關鍵是建系，求點的坐標，其中建系的恰當與否決定解題的繁簡程度。預習導學案立體幾何中的向量方法一預習前知1、怎樣用向量的坐標判斷兩個向量的平行或垂直？2、怎樣求兩條異面直線所成的角？二預習導學探究反思探究反思的任務：直線的方向向量，平面的法向量，三垂線定理與逆定理，異面直線的夾角，線面角，面面角1直線的方向向量及其應用1直線的方向向量直線的方向向量就是指和這條直線所對應向量_或共

6、線的向量，顯然這條直線的方向向量可以有_個。2直線方向向量的應用利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面。2平面的法向量1所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也是_個，它們是_向量。2在空間中，給定一個點和一個向量，那么以向量為法向量且經過點的平面是_。3、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關系中的應用，直線的方向向量為，直線的方向向量為.如果，那么_如果，那么_直線的方向向量為，平面的法向量為.假設，那么_假設，那么_平面的法向量為，平面的法向量為.假設，那么_假設，那么_4、三垂線定理與逆定理1三垂線定理如果在平面內的一條直線與平面的一條

7、斜線在一個平面內的射影垂直，那么它也和_垂直。2三垂線定理的逆定理如果平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和_垂直。5、求兩異面直線所成的角6、求直線與平面所成的角設直線l的方向向量為，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，那么sin=_。7、求二面角的大小【模擬試題】答題時間：90分鐘一、 選擇題1. 設a3，3，1、b1，0，5、c0，1，0，那么ab的中點m到c點的距離為 a. b. c. d. 2. 向量a的橫坐標為0，那么向量a a. 與xoy平面平行 b. 與xoz平面平行 c. 與x軸平行 d. 與x軸垂直3. ，那么為 a. 4，7，4 b. 2，13，12

8、c. 2，10，-12 d. 4，-7，44. 平面內的三個點a2，0，0、b0，2，0、c0，0，2，那么平面的一個法向量是 a. 1，1，1b. 1，1，1 c. 1，1，1d. 1，1，15. 共線，那么與的值分別為 a. 0，0b. 0，1 c.1，0 d. 1，-1*6. a. 2，1，1 b. 7，1，1 c. 1，7，1 d. 1，1，7二. 填空題7. 那么向量ab與ab的夾角是_。8. ，其中是一個正交基底，那么a與b夾角的余弦值為_。*9. :，那么的值為_.三. 計算題10. abc的頂點a1，0，1、b2，2，2、c0，2，3，試求abc的面積。11. *12. 平行四邊形abcd，從平面外一點引向量。求證：1四點共面；2平面平面【試題答案】1. c2. d 解析：設a0，y，z，取x軸的一個方向向量為1，0，0 0，y，z·1，0，00， a與x軸垂直3. a解：4. a 解析： 由1，1，1·2，2，00， 1，1，1·2，0，20 知：1，1，1是的一個法向量。5. 選a解： 6. b解：