1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上排列組合問題基本題型及方法： 1相鄰問題（1）、全相鄰問題，捆邦法例2、6名同學(xué)排成一排，其中甲，乙兩人必須排在一起的不同排法有（ C ）種。A）720 B）360 C）240 D）120說明：從上述解法可以看出，所謂“捆邦法”，就是在解決對于某幾個元素要求相鄰問題時，可以整體考慮將相鄰元素視作一個“大”元素。（2）、全不相鄰問題，插空法例3、要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少不同的排法，解：先將6個歌唱節(jié)目排好，其中不同的排法有6！，這6個節(jié)目的空隙及兩端共有七個位置中再排4個舞蹈節(jié)目有種排法，由乘法原理可知，任何兩

2、個舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為種例4（06重慶卷)高三（一）班學(xué)要安排畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040解：不同排法的種數(shù)為3600，故選B說明：從解題過程可以看出，不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它隔開，此類問題可以先將其它元素排好，再將特殊元素插入，故叫插空法。（3）不全相鄰排除法，排除處理例5五個人站成一排，其中甲、乙、丙三人有兩人相鄰，有多少排法？解：例6有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，

3、并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是解法一：前后各一個，有8×12×2192種方法前排左、右各一人：共有4×4×232種方法兩人都在前排：兩人都在前排左邊的四個位置：乙可坐2個位置乙可坐1個位置224112此種情況共有426種方法因為兩邊都是4個位置，都坐右邊亦有6種方法，所以坐在第一排總共有6612種方法兩人都坐在第二排位置，先規(guī)定甲左乙右 甲左乙右總共有種方法同樣甲、乙可互換位置，乙左甲右也同樣有55種方法，所以甲、乙按要求同坐第二排總共有55×2110種方法。綜上所述，按要求兩人不同排法有 1923212110346種解法

4、二：考慮20個位置中安排兩個人就坐，并且這兩人左右不相鄰，4號座位與5號座位不算相鄰（坐在前排相鄰的情況有12種。），7號座位與8號座位不算相鄰（坐在后排相鄰的情況有22種。），共有種2、順序一定，除法處理或分類法。例7、信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號，現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數(shù)是（ ）（用數(shù)字作答）。解：5面旗全排列有種掛，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能作一次的掛法，故有 說明:在排列的問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序問題,這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便快捷例8（06湖北卷）某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須

5、在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)是 。（用數(shù)字作答）解一：依題意，只需將剩余兩個工程插在由甲、乙、丙、丁四個工程形成的5個空中（插一個或二個），可得有30種不同排法。解二：=30例9、由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位的數(shù)字的共有（ ）A）210個 B）300個 C）464個 D）600個解： 4、多元問題，分類法例10(06陜西卷)某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有 種

6、解析：某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情況討論， 甲、丙同去，則乙不去，有=240種選法；甲、丙同不去，乙去，有=240種選法；甲、乙、丙都不去，有種選法，共有600種不同的選派方案例11：（06全國卷I）設(shè)集合。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有A B C D解析：若集合A、B中分別有一個元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有三個元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有一個元素，集合

7、B中有四個元素，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有兩個元素，集合B中有一個元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有兩個元素，集合B中有兩個個元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有兩個元素，集合B中有三個元素，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有三個元素，集合B中有一個元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有三個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有四個元素，集合B中有一個元素，則選法種 數(shù)有=1種；總計有，選B.解法二：集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集，從5個元素中選出2個元素，有=10種選法，小的給A集合，大的給B集合；從5個元素中選出3個元素，有=10種選法，再分成1、

8、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有2×10=20種方法；從5個元素中選出4個元素，有=5種選法，再分成1、3；2、2；3、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有3×5=15種方法；從5個元素中選出5個元素，有=1種選法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4×1=4種方法；總計為10+20+15+4=49種方法。選B.例12（06天津卷）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方

9、法有（）A10種B20種C36種 D52種解析：將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，分情況討論：1號盒子中放1個球，其余3個放入2號盒子，有種方法；1號盒子中放2個球，其余2個放入2號盒子，有種方法；則不同的放球方法有10種，選A 說明：元素多，取出的情況也多種，可按要求分成互不相容的幾類情況分別計算，最后總計。5、交叉問題，集合法（二元否定問題，依次分類）。例13、從6名運動員中選出4名參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法？解：設(shè)全集U=6人中任選4人參賽的排列，A=甲跑

10、第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素的個數(shù)的公式可得參賽方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(AB)=252例14、某天的課表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、體育共六門課程，且上午安排四節(jié)課，下午安排兩節(jié)課。（1）若第一節(jié)不排體育，下午第一節(jié)不排數(shù)學(xué)，一共有多少種不同的排課方法？（2）若要求數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)不能排在一起（上午第四節(jié)與下午第一節(jié)不算連排），一共有多少種不同的排課方法？例15、同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（ ）A）6種 B）9種 C）11種 D）23種解：此題可以

11、看成是將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一數(shù)，且每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字不同的填法問題。所以先將1填入2至4的3個方格里有3種填法；第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它3個方格，又有3種填法；第三步將余下的兩個數(shù)字填入余下的兩格中只有一種填法，故共有3×3×1=9種填法。故選B說明：求解二元否定問題可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依此即可完成。例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出順序時，要求某名歌手不第一個出場，另一名歌手不最后一個出場，不同排法的總數(shù)是 .(用數(shù)字作答) 。（答：78種）說明：某些排列組合問題

12、幾部分之間有交集，可用集合中求元素的個數(shù)的公式來求解。6、多排問題，單排法例17、兩排座位，第一排有3個座位，第二排有5個座位，若8名學(xué)生入座（每人一座位），則不同的座法為A） B） C） D）解：此題分兩排座可以看成是一排座，故有 種座法。選（D） 說明：把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。7、至少問題，分類法 或 間接法（排除處理）例18（06福建卷）從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（A）108種 （B）186種 （C）216種 （D）270種解析：從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有=186

13、種，選B.例19（06遼寧卷）5名乒乓球隊員中,有2名老隊員和3名新隊員.現(xiàn)從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團(tuán)體比賽,則入選的3名隊員中至少有一名老隊員,且1、2號中至少有1名新隊員的排法有_種.(以數(shù)作答) 【解析】兩老一新時, 有種排法；兩新一老時, 有種排法,即共有48種排法.【點評】本題考查了有限制條件的排列組合問題以及分類討論思想.例20(06重慶卷)將5名實習(xí)教師分配到高一年級的個班實習(xí)，每班至少名，最多名，則不同的分配方案有（A）種（B）種 （C）種（D）種解析：將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，

14、有種方法，再將3組分到3個班，共有種不同的分配方案，選B.說明：含“至多”或“至少”的排列組合問題，是需要分類問題，或排除法。排除法，適用于反面情況明確且易于計算的情況。8、部分符合條件淘汰法例21四面體的頂點各棱中點共有10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有 （ ） A）150種 B）147種 C）144種 D）141種解：10個點取4個點共有 種取法，其中面ABC內(nèi)的6個點中任取4個點必共面，這樣的面共有6個，又各棱中點共6個點，有四點共面的平面有3個，故符合條件不共面的平面有 選D說明：在選取總數(shù)中，只有一部分符合條件，可從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求。9分組問題與分配問題

15、分組問題：均勻分組，除法處理；非均勻分組，組合處理例22。有9個不同的文具盒：（1）將其平均分成三組；（2）將其分成三組，每組個數(shù)2，3，4。上述問題各有多少種不同的分法？分析：（1）此題屬于分組問題：先取3個為第一組，有 種分法，再取3個不第二組，有種分法，剩下3個為第三組，有 種分法，由于三組之間沒有順序，故有種分法。（2）同（1），共有種分法，因三組個數(shù)各不相同，故不必再除以。練習(xí)：12個學(xué)生平均分成3組，參加制作航空模型活動，3個教師各參加一組進(jìn)行指導(dǎo)，問有多少種分組方法？分配問題： 定額分配，組合處理； 隨機分配，先組后排。例23。有9本不同的書：（1）分給甲2本，乙3本，丙4本；（

16、2）分給三個人，分別得2本，3本，4本。上述問題各有多少種不同的分法？（1）此題是定額分配問題，先讓甲選，有種；再讓乙選，有種；剩下的給丙，有種，共有種不同的分法（2）此題是隨機分配問題：先將9本書分成2本，3本，4本共有三堆，再將三堆分給三個人，共有種不同的分法。例24：對某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能?解：第5次必測出一次品，余下3件次品在前4次被測出，從4件中確定最后一件次品有種方法，前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有種，前4次測試中的順序有種，由分步計數(shù)原理即得：（）576。【

17、評述】本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先選元素（即組合）后排列練習(xí)：1。3名教師分配到6個班里，各人教不同的班級，若每人教2個班，有多少種分配方法？ 2將10本不同的專著分成3本，3本，3本和1本，分別交給4位學(xué)者閱讀，問有多少種不同的分法？例25（06湖南卷）某外商計劃在四個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有 ( ) A.16種 B.36種 C.42種 D.60種解析：有兩種情況，一是在兩個城市分別投資1個項目、2個項目，此時有， 二是在在兩個城市分別投資1，1，1個項目，此時有， 共有=60， 10隔板

18、法：隔板法及其應(yīng)用技巧 在排列組合中，對于將不可分辨的球裝入到可以分辨的盒子中，每盒至少一個，求方法數(shù)的問題，常用隔板法。見下例：例26。求方程x+y+z=10的正整數(shù)解的個數(shù)。(即：10個相同的小球分給三人，每人至少1個，有多少種方法？) 分析：將10個球排成一排，球與球之間形成9個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規(guī)定由隔板分成的左、中、右三部分的球數(shù)分別為 x.y.z之值（如圖） 則隔板與解的個數(shù)之間建立了一一對立關(guān)系，故解的個數(shù)為 個。實際運用隔板法解題時，在確定球數(shù)、如何插隔板等問題上形成了一些技巧。下面舉例說明：技巧一：添加球數(shù)用隔板法。 例27求方程x+y+z

19、=10 的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)。分析：注意到x 、y 、z 可以為零，故上題解法中的限定“每空至多插一塊隔板”就不成立了。怎么辦呢？只要添加三個球，給 x、 y、z 各一個球。這樣原問題就轉(zhuǎn)化為求x+y+z=13 的正整數(shù)解的個數(shù)了，故解的個數(shù)為=66個。 【小結(jié)】本例通過添加球數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為如例1中的典型的隔板法問題。 技巧二：減少球數(shù)用隔板法。 例28將20個相同的小球放入編號分別為1，2，3，4的四個盒子中，要求每個盒子中的球數(shù)不少于它的編號數(shù)，求放法總數(shù)。 分析1：先在編號1，2，3，4的四個盒子內(nèi)分別放0，1，2，3個球，有1種方法；再把剩下的14個球，分成4組，每組至少1個，由例25

20、知有 =286 種方法。 分析2：第一步先在編號1，2，3，4的四個盒子內(nèi)分別放1，2，3，4個球，有1種方法；第二步把剩下的10個相同的球放入編號為1，2，3，4的盒子里，由例26知有 =286 種方法。 【小結(jié)】兩種解法均通過減少球數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為例25、例26中的典型問題。 技巧三：先后插入用隔板法。例29。為構(gòu)建和諧社會出一份力，一文藝團(tuán)體下基層宣傳演出，準(zhǔn)備的節(jié)目表中原有4個歌舞節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，擬再添2個小品節(jié)目，則不同的排列方法有多少種？ 分析：記兩個小品節(jié)目分別為A、B。先排A節(jié)目。根據(jù)A節(jié)目前后的歌舞節(jié)目數(shù)目考慮方法數(shù)，相當(dāng)于把4個球分成兩堆，由例26知有 種方法。這一步完成后就有5個節(jié)目了。再考慮需加入的B節(jié)目前后的節(jié)目數(shù)，同上理知有 種方法。故由乘法原理知，共有 種方法。 11數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)。 能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。 能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。 能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50，75。 能被6整除的數(shù)的特征：