1、固體物理根底知識(shí)訓(xùn)練題與其參考答案說(shuō)明：本容是以黃昆原著、汝琦改編的固體物理學(xué)）為藍(lán)本，重點(diǎn)訓(xùn)練讀者在固體物理方 面的根底知識(shí)，具體以19次作業(yè)的形式展開(kāi)訓(xùn)練。第一章作業(yè)1:1 .固體物理的研究對(duì)象有那些？答：1固體的結(jié)構(gòu)；2組成固體的粒子之間的相互作用與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；（3固體 的性能與用途。2 .晶體和非晶體原子排列各有什么特點(diǎn)？答：晶體中原子排列是周期性的，即晶體中的原子排列具有長(zhǎng)程有序性。非晶體中原子 排列沒(méi)有嚴(yán)格的周期性，即非晶體中的原子排列具有短程有序而長(zhǎng)程無(wú)序的特性。3 .試說(shuō)明體心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特點(diǎn)？試畫圖 說(shuō)明。有那些單質(zhì)晶體分別屬于以上三類。

2、答：體心立方晶格：除了在立方體的每個(gè)棱角位置上有1個(gè)原子以外，在該立方體的 體心位置還有一個(gè)原子。常見(jiàn)的體心立方晶體有：Li，Na，K，Rb，Cs，F(xiàn)c等。面心立方晶格：除了在立方體的每個(gè)棱角位置上有1個(gè)原子以外，在該立方體每 個(gè)外表的中心還都有1個(gè)原子。常見(jiàn)的面心立方晶體有：Cu,Ag,Au, A1等。六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一層原子單元是在正六邊形的每個(gè)角上分 布1個(gè)原子，且在該正六邊形的中心還有1個(gè)原子；第二層原子單元是由3個(gè)原子組成正三 邊形的角原子，且其中心在第一層原子平面上的投影位置在對(duì)應(yīng)原子集合的最低凹陷欠。常 見(jiàn)的六角密排晶體有：Be * Mg，Zn，Cd等。

3、74; © f4 .試說(shuō)明，NaCl，金剛石，CsCLZnS晶格的粒子排列規(guī)律。答：NaCl :先將兩套一樣的面心立方晶格，并讓它們重合，然后，將一套晶格沿另一 套晶格的棱邊滑行1/2個(gè)棱長(zhǎng)，就組成Nacl晶格；金剛石：先將碳原子組成兩套一樣的面心立方體，并讓它們重合，然后將一套晶格沿另 一套晶格的空角對(duì)角線滑行1/4個(gè)對(duì)角線的長(zhǎng)度，就組成金剛石晶格；Cscl:先將組成兩套一樣的簡(jiǎn)單立方，并讓它們重合，然后將一套晶格沿另一 套晶格的體對(duì)角線滑行1/2個(gè)體對(duì)角線的長(zhǎng)度，就組成Cscl晶格。ZnS :類似于金剛石。作業(yè)2 ：1. 什么叫原胞？解：原胞是指晶格重復(fù)排列的最小體積單元。2.邊

4、長(zhǎng)為a簡(jiǎn)單立方晶格，體心立方晶格，面心立方晶格的基矢是什么？設(shè)對(duì)應(yīng)的立方晶格的 ，以上三種晶格的體積是多少？簡(jiǎn)立方基矢：=aia3 = ak面心立方基矢：4=資+力否=(j +=一 6/ .3 = 5(i + N)體心立方基矢 a 一 6/i = -(i +j-k) 2 = W(-i +j + k)</ : d3 = -(i-j+k)3 .對(duì)于簡(jiǎn)單晶格和復(fù)式晶格，如何確定其中原子的位置？解：對(duì)于簡(jiǎn)單晶格每個(gè)原子的位置可以寫成：A = +；,，為晶格基矢；對(duì)于復(fù)式晶格位置可以寫成：左=+;表示原胞各種等價(jià)原子之間的相對(duì)位移。4 .如何確定某一晶列指數(shù)？1取一晶體微粒為坐標(biāo)原點(diǎn)0，確定原胞的

5、基矢,"2將所考察的晶列平移過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，從原點(diǎn)沿著晶列方向，找出最近的一個(gè)微粒的 矢量并表示為：巨=+;3寫出該晶列的晶向指數(shù)M /2 Z3 o5 .如何確定某一晶面的密勒指數(shù)？1取一晶體微粒為坐標(biāo)原點(diǎn)0，確定原胞的基矢八；2找出考察的晶面在矢量，；方向上的截距&1，；3將r、s、t倒數(shù)并整數(shù)化，從而得到該晶面的密勒指數(shù)4 h2%°作業(yè)3 :1 ,倒格子基矢如何利用正格子基矢求出？解：可以利用正格子基矢囚，a?，。3導(dǎo)出倒格子基矢8，其關(guān)系為：4=2%一野" 瓦=2尸一置久匕=24，子一4gxq) . - (ct2 x a3) . ax <(a2 x

6、a3)， ，2 .倒格子有何特點(diǎn)？解：設(shè)正格子基矢為4，灰，4，倒格子中微粒的位矢為己=/?自+/+3瓦小，&，I是倒格子基矢，九，112，卜3是整數(shù)，那么有：7 口 =2靖 當(dāng)'=，時(shí)，5工 1 J ，V *當(dāng)W時(shí)'倒格子原胞的體積Q'與正格子原胞的體積。的乘積為(2九)3，即O.0 = (241。倒格矢G/曲兒=/他+/弛+貼3為、b?、63是倒格子基矢，九、h?、鵬是整 數(shù)與密勒指數(shù)為(4 /2為)的晶面相互垂直。作業(yè)4 :1、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。證明：1面心立方的正格子基矢固體物理學(xué)原胞基矢：一。1八乙落=(Z

7、+ k)-2一 “ 丁 八% = )&E24由倒格子基矢的定義： =(Jx 再)0,a5Q = 4 (12乂萬(wàn)3)=a2'a5'0,a2 a2cc 一 一了 ，%X% =一 4-:h = 2x x (-/ +1«3 4a5r aa a5' 5'ka202a / y -：尸、 =H +J+k)4r rx 27r / ； r I、J+k) =(t +j+k)r* 2/r /= t r* x b? =(i J + k)同理可得： a即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢一樣。&=:(1+“)所以，面心立方的倒格子是體心立方。一 (I ,

8、v r 7* % =W(T + J+k) 乙2體心立方的正格子基矢固體物理學(xué)原胞基矢：匹= §d+b- 27r由倒格子基矢的定義：b = -(«2 x«3)2'aa5'a Ta2ya5'a2 a2a92a5j,a2a展a2a'2Cl廠 廠、 = (J+k)乙.=2%x/x ?(/ + 1)=至(1 + 左) a 2a-2 4一-瓦=（/ +k）同理可得： a即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢一樣。r* 27r 尸-?、& =（I + J） a所以，體心立方的倒格子是面心立方。2、證明倒格子矢量£ = /柩+

9、/?2仇+/垂直于密勒指數(shù)為（卬723）的晶面系。證明：14 / 21因?yàn)椴?4 一2，而=4一%, /?1 力3%4-C4 = 0-CB = Og=hfy+a2a+煤人G岫加 容易證明一一。岫也所以，倒格子矢量6 =%4+區(qū)a+/柩垂直于密勒指數(shù)為（力九4）的晶面系。作業(yè)5L在三維情況下，正交變換表示成什么形式？此時(shí)繞Z軸轉(zhuǎn)0角的正交矩陣和中心反 演的正交矩陣各是什么？解：在三維情況下，正交變換可表示成：其中矩陣是正交矩陣i ' j=l，2,3繞Z軸轉(zhuǎn)0角的正交矩陣是：'cos。sin。 sin。0cos。 0。b'100、0-10中心反演的正交矩陣為：00 -1 /

10、2簡(jiǎn)單立方晶格有哪些對(duì)稱操作？答：1繞立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)工、兀、漢、有三個(gè)立方軸，共有9個(gè)對(duì)稱操作；222繞面對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)江，有六條不同的面對(duì)角線，共6個(gè)對(duì)稱操作；3繞立方體對(duì)角線轉(zhuǎn)與、蘭，有4條不同的立方體對(duì)角線，共8個(gè)對(duì)稱操作；10 0、，即不動(dòng)，也算一個(gè)對(duì)稱操作；4正交變換0 1 。e ° b將上述的4種可能加起來(lái)，一共是24個(gè)對(duì)稱操作。又因?yàn)橹行姆囱荻煽梢允沽⒎襟w保持不變，因此以上每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)加中心反演都是對(duì) 稱操作。所以總共48個(gè)對(duì)稱操作。3 .什么叫對(duì)稱素？答：假設(shè)某物體繞其一對(duì)稱軸轉(zhuǎn)。角后，其中的微粒分布仍然與原來(lái)的空間排列完全2乃一樣，那么該操作對(duì)應(yīng)的對(duì)稱素n為：=，a用弧度制

11、。a作業(yè)61試證明：晶體的宏觀對(duì)稱性只有哪幾種對(duì)稱素？ 證明：如以下圖，格點(diǎn)A的位置可表示為+l2a2圍繞“過(guò)格點(diǎn)A點(diǎn)且垂直紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)6角后，設(shè)格點(diǎn)B轉(zhuǎn)到另一格點(diǎn)8,的位 置。由于格點(diǎn)A與格點(diǎn)B完全等價(jià)，因此困繞“過(guò)格點(diǎn)B點(diǎn)且垂直紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)夕角，格點(diǎn)A一定會(huì)轉(zhuǎn)到另一格點(diǎn)A的位置。又由于A和B都是晶體中的格點(diǎn)，晶體中的格點(diǎn)排列具有嚴(yán)格的周期性，所以有：月不II瓦后，.二前=n子=而，n為整數(shù)。如圖可得：= AB(l-2cos<9)1 /?n = - 2 cos 夕=> cos 6 =2.COS。必須在與_之間。8 = 2/r,冗11只能有-1,0,1,2,3五個(gè)值，相應(yīng)的3 2

12、3，它的宏觀對(duì)稱素還能為：1,2,3, 4, 6 :由于各個(gè)對(duì)稱素的中心反演都是對(duì)稱操作，故得：125,46也是對(duì)稱素。第二章作業(yè)7 :1、三維NaCl晶體對(duì)應(yīng)的馬德隆常數(shù)a的表達(dá)式是什么？在二維、一維情況下，馬儻隆常 數(shù)a的表達(dá)式又分別是什么？三維:=-2?上叫”（；+；+；）八二維:/ jyh+rn叩?2 (+2)/2、證明兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)為a=2In2。證：設(shè)想一個(gè)由正負(fù)兩種離子相間排列的無(wú)限長(zhǎng)的離子鍵取任一負(fù)離子作參考離子。用 r表示相鄰離子間的距離。，7型=2+LL r V % r 2r 3r 4r馬德隆常數(shù)。=21 -1 +2 3一十 4當(dāng) x=l 時(shí)有：Az

13、2 = l- + - +2 3 4即 a=2In23、試由三維NaCl晶體的能表達(dá)式，r表示相鄰正負(fù)籬字的距離，N表示晶體中原胞的個(gè) 數(shù)，（1其中表示相互吸引的平均庫(kù)侖能和重疊排斥能各是哪一項(xiàng)？2試求出該晶體處 于平衡態(tài)時(shí)的晶格常數(shù)、體變模量和結(jié)合能。4§解：1平均屋侖能為N（一），重疊排斥能為N二RrI'ar'（2）令:1r =0，由于s = N ，那么有：dr"rrn（3一半）=°，于是可得% =（A R結(jié)合能：W =- + )ro “作業(yè)8 :1、 共價(jià)結(jié)合有哪兩個(gè)根本特性？它們的含義分別是什么？解：(1)飽和性：是指一個(gè)原子只能形成一定數(shù)目

14、的共價(jià)鍵，一個(gè)電子只能和一個(gè)與自 己自旋方向相反的電子形成一個(gè)共價(jià)鍵。(2)方向性：是指原子只在特定的方向上形成共價(jià)鍵。2、 以金剛石的共價(jià)鍵為例說(shuō)明什么叫“軌道雜化 ？解：碳原子有6個(gè)電子，在基態(tài)4個(gè)電子填充了 1S和2s軌道(每個(gè)軌道有正反自旋的一 對(duì)電子，剩下兩個(gè)電子在2P殼層，在這種情況下只有兩個(gè)2P電子未配對(duì)的，但是在金剛石 中，每個(gè)碳原子與4個(gè)領(lǐng)近原子以共價(jià)鍵結(jié)合，這種情況說(shuō)明，金剛石中的共價(jià)鍵不是以上 述碳原子的基態(tài)為根底的，而是由以下2s和2P波函數(shù)組成的新的電子狀態(tài)組成的：科,】=| (?2S + 2G + %P, + 2E ) ' "n? = I 尿s +

15、 一 % 一 )'Wn3 = I (%S - 2 A + 6 A<P1P ) > 匕,4 = | 尿S - 氏一 *22 + 心 ° 這個(gè)形成新的電子狀態(tài)的過(guò)程叫做“軌道雜化。3、金屬性結(jié)合的晶體有哪些重要特點(diǎn)？解：1電子的共有化；2有很大的性。4、金屬性結(jié)合的晶體是依靠哪兩種作用力到達(dá)平衡的？解：依靠排斥作用力和庫(kù)侖吸引作用力到達(dá)平衡的。作業(yè)9 ：=_幺豈1、假設(shè)一個(gè)晶體的相互作用能可以表示為"=一/-3，試求：(1)平衡距離/；(2)結(jié)合能W單個(gè)原子；(3)體能彈性模量；4假設(shè)取m=2,n=10, 7 = 3A , W=4cV，求a、/值。 ma n

16、p 八即-r +r = 0 wi+1 /i+lU70 Z0(2)單個(gè)原子：卬=一?叫,TN解：吟”(4)由條件：-/n2W = 1.2xlO5eV-m10a = 7.5xl(T"-J2、用林納徒一瓊斯勢(shì)計(jì)算Nc在體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)中的結(jié)合能之比值。解:54平 V,"(>)=：N(4e) A“ 12一4， * /3、什么叫電離能？什么叫親和能？什么叫負(fù)電性？答：原子的電離能量是使原子矢去一個(gè)電子所必需的能量，因此可以用來(lái)表示原子對(duì)價(jià) 電子束縛的強(qiáng)弱。一個(gè)可以用來(lái)度量原子束縛電子能的量是親和能，即一個(gè)中性原子獲得一個(gè)電子成為負(fù) 離子時(shí),所放出的能量。為了比擬不同原子束

17、縛電子的能力或者說(shuō)得矢電子的難易程度，常用原子的負(fù)電性。負(fù)電性=0. 18(電離能+親和能單位：電子伏特4'在元素周期表中，元素的負(fù)電性有何規(guī)律？答：有兩個(gè)趨勢(shì)：1周期表由上到下，負(fù)電性逐漸減弱；2周期我愈往下，一個(gè)周期的負(fù)電性的差異也愈小。周期表左端I族元素Li、Na、K、Rb、Cs具有最低的負(fù)電性。IV族至VI族具有較強(qiáng)的負(fù)電性。第三章作業(yè)10 :1、 試闡述杜隆-鈾替定律的容和適用困。答：容：假設(shè)一摩爾固體有N個(gè)原子，它們共有3N個(gè)振動(dòng)自由度，按能量均分定律每 個(gè)自由度上有平均能量為心7平均動(dòng)能和平均勢(shì)能各為g7V2，該固體的摩爾熱容量為 Cv = 3Mb = 3R適用國(guó)： 單原

18、子晶體： 在高溫下近似成立。2' 在低溫下，固體的熱容量糙溫度的變化呈現(xiàn)什么變化規(guī)律？答：在低溫下，固體的熱容量磁溫度降低而減小；當(dāng)溫度7 . 0K時(shí)，固體熱容量 cfo。3、 對(duì)于一維單原子便，試寫出它對(duì)應(yīng)的：(1)動(dòng)力學(xué)方程；2格波方程；3色散關(guān)系；4第一布里淵區(qū)；5玻恩- 卡曼條件。并說(shuō)明其中各個(gè)字母的含義。解：動(dòng)力學(xué)方程:mfi ="內(nèi)向一心一伙兒-心，即有(2)格波方程：% = A/i'(3 )色散方程：co sin(即 co 2J sin13aq(4)第一布里洲區(qū)：-4的工乃即有一二夕巳 a a(5)玻恩一卡曼條件：將第一個(gè)原子和最后一個(gè)原子即第N個(gè)原子連

19、接起來(lái)，使這 兩個(gè)原子的平衡位置相距為晶格常數(shù)。利用玻恩一卡曼條件有：”=“+n 即= a5-N)麗那么有：屋皿=1，于是可得：q = xh其中h為整數(shù)Na又由于4£(一：，巳【第一布里淵區(qū)， a aN N所以/?e(，上1且為整數(shù)，共有N個(gè)取值，2 2以上各式中字母的意義說(shuō)明：N 維單元子鏈中的原子總數(shù)，。一晶格常數(shù)，G一格 波的振動(dòng)圓頻率，力整數(shù)，一力常數(shù)，q一格波的波數(shù)。1、對(duì)于一維雙原子鏈，試寫出它對(duì)應(yīng)的：(1)動(dòng)力學(xué)方程；2格波方程；3色散關(guān)系；4第一布里淵區(qū)；并說(shuō)明其中 各個(gè)字母的含義。解：1動(dòng)力學(xué)方程：P原子m從2n =。(出2 +出“-I 2出n)Q原子 M 2n+l

20、 = -0(2%n+1 一%n+2 - Pin)2格波方程： JLLln = A/3-力刖他+1 = B-=g+i)謝 、X，。二c？ + M . r.4/77 M? ,5(3)色散關(guān)系：“. = p-h±l-/Sirra切一紇 Jhim(m + M)(4)第一布里淵區(qū)：-%v2agK+/r那么有：一二一鄉(xiāng)工二2a 2aG->格波的角頻率，一原胞的序數(shù)，一相鄰兩原子父于平衡位置的距離， q一波數(shù)。2、對(duì)于一維雙原子鏈，試寫出它對(duì)應(yīng)的玻恩-卡曼條件，并說(shuō)明其中各個(gè)字母的含義。解：將第一個(gè)原胞與最后一個(gè)原胞實(shí)現(xiàn)首尾相接，且讓它們之間的距離等于其它相鄰原 胞之間的距離。利用玻恩-卡曼

21、條件，那么有2” =2(”+N> “I =2(“+NZ'由此可得：9 = 之一其中人為整數(shù)，再利用第一布里淵區(qū)的取值，可得 N2N f N- - </<，N是該雙原子鏈中的原胞總數(shù)；且h為整數(shù)，共有N個(gè)取值。22作業(yè)12 ：1 對(duì)于三維晶格振動(dòng)，試寫出它的格波方程，并說(shuō)明其中各個(gè)字母的含義。jK"防答：三維晶格對(duì)應(yīng)的格波方程為： u卜 ke(L、一格波的波矢量；口一一格波角速度即圓頻率；R 第L個(gè)原胞中第k個(gè)微 (kJ觀粒子的位移。2 .某三維晶體的一個(gè)原胞含有n個(gè)原子，對(duì)于一定的波矢量a，該原胞中有聲學(xué)波和光學(xué)波各多少支？答：對(duì)于一定的波矢量弓，該原胞中有

22、3支聲學(xué)波。13rl-3支光學(xué)波。3對(duì)于三維晶格振動(dòng)，使用波恩-卡曼條件推導(dǎo)：(1)格波的波矢量弓必須滿足什么條件？并說(shuō)明該條件中各個(gè)字母的含義。(2)允許的弓在弓空間的分布密度。答：1) 設(shè)格波的波矢量弓無(wú)q = Xj/?! + x2b2 +X3反，利用波恩-卡曼條件可得：，網(wǎng)&+ N4)=網(wǎng)&)_< 江(見(jiàn) + 汽272)=限用)=弓=94 +ii(RL+Niai) = u(RL) 123h /? h'一即：格波的波矢量弓必須滿足 彳=，1%+，0+，1)3B，反，僅是倒格子基矢；44,4為晶格基矢。 N, N2, M分別晶體在Z，,2,，3方向上的晶體原胞數(shù)

23、，晶體的總原胞數(shù)為N二 NMM。 片,為，/?3是整數(shù)，它們分別有N1，N2,N3個(gè)整數(shù)取值。 1 NV V2) 分布密度一=一' = rV是三維晶格的體積) "(A 么(2幻 (2幻x n" nJ作業(yè)13 :1. 簡(jiǎn)述利用中子非彈性散射確定晶格振動(dòng)諳的實(shí)驗(yàn)步驟。答：步驟：(d先確定中子散射前后的動(dòng)量。，F(xiàn) ；，22(2)根據(jù)上 =±方3(，)確定格波的圓頻率0q)，再根據(jù)2Mn 2%(5' 萬(wàn)=土方4+方G確定格波的波矢彳，在(q) -彳坐標(biāo)系確定一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。3改變中子散射前后的動(dòng)量。和F，利用2中的方法，可以確定許多對(duì)應(yīng)的頗幻和彳值，從而可以在

24、頗4)-彳坐標(biāo)系確定晶格振動(dòng)實(shí)臉譜線。2. 為什么常用中子非彈性散射方法確定晶格振動(dòng)譜。答：11中子的能量|°以 與晶格振動(dòng)形成的格波的能量力磯耳)具有一樣的數(shù)量級(jí)， 因此，中子與格波相互作用后，中子的能量和動(dòng)量都會(huì)發(fā)生明顯的改變，從而便于測(cè)量，因 而容易得到準(zhǔn)確的結(jié)果。2中子的德布羅意波長(zhǎng)正好與晶格常數(shù)同數(shù)量級(jí)。作業(yè)14 :1. 含N個(gè)原子的晶格，利用量子理論可得到它的熱容量是多少？解：熱容量2. 愛(ài)因斯坦模型的根本容是什么？利用愛(ài)因斯坦模型可得含N個(gè)原子的晶格熱 容量是多少？答：容：1晶體中所有原子的振動(dòng)都被視為獨(dú)立的；2認(rèn)為所有原子的振動(dòng)頻率都 為同一值保)°利用愛(ài)因

25、斯坦模型可得含N個(gè)原子的晶格熱容量為：(方磔曲(/叫_尸3. 德拜模型的根本容是什么？愛(ài)因斯坦、德拜溫度各是什么？答：容：1) 認(rèn)為晶格振動(dòng)頻率分布在之間，4是頻率的最大值；2) 認(rèn)為對(duì)振動(dòng)模而言，晶體可視為連續(xù)分布的彈性介質(zhì)，那么o = cq ；愛(ài)因斯坦溫度：* =；德拜溫度：。=小%L kk'bkb作業(yè)15 :1. 計(jì)算振動(dòng)模式密度的一般公式中各個(gè)字母的含義分布是什么？答:g3）=蛔噌dnd(023 / 21g（&=冊(cè)1段對(duì)三維晶體dd）等頻面切和3+d/之間的微小間距離；dn表示在0 一刃 + dG間隔晶格振動(dòng)模式 的數(shù)目。2. 假設(shè)0 = cq2 o試分別對(duì)一維、二維、

26、三維晶體計(jì)算對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模式密度。解：由 0 = cq° ，q =一維下：g(ty) = 2x - x f = 2x x !=匕=宿，?/2乃 J dco 24 2cq 2冗&,/ x S C dLS 1 S二維 F g(3)= 7TT X -j1 = 2頂 X -y X -=-(2/)- J R/d (20- 2cq 4 衣 dco - 三維下： 3 = 2cq dq第四章作業(yè)16 :1、布洛赫定理的容是什么？答：布洛赫定理的容是，晶體中的電子的波晶數(shù)(p(r)是以晶格周期R：調(diào)幅的平面波，即(p(r) = u(r)eik' ,u(r) = ur + Rn) , R“

27、 =勺6 +的+343，4，3* » »是整數(shù)，,4，。2,43是正格子原胞基矢。2、一維近自由電子近似模型的容是什么？答：一維近自由電子近似模型是假設(shè)電子所欠的勢(shì)場(chǎng)V(x)沿某一值的起伏較小，用勢(shì)場(chǎng)平均值D作為勢(shì)場(chǎng)的V(x)的零級(jí)近似，即D是勢(shì)場(chǎng)V(x)的主要局部；把周期勢(shì)場(chǎng)V(x) 的起伏丫面/=卜/(力一q)作為v(x)的微擾來(lái)公理。該模型可以用來(lái)父理金屬中電子的能帶結(jié)構(gòu)。3、一維近自由電子近似模型下的零級(jí)近似對(duì)應(yīng)的波動(dòng)方程、波晶數(shù)、能量各是多少？答：波動(dòng)方程- 2 J+v阿(x)=1H)I 2in dx )零級(jí)波函數(shù)為：零級(jí)能量為：4. 一維近自由電子近似模型下，電

28、子波圖數(shù)的一級(jí)修正量、能量的二級(jí)修正量各是多 少？答：電子波函數(shù)的一級(jí)修正量為：以心)一 nMA+ x 二）xx-e a電子能量的二級(jí)修正量為：其中：匕丁“(乃?， = x-naX：電子的坐標(biāo)原胞的序號(hào)數(shù) a：晶格常數(shù)5.結(jié)合一維近自由電子近似模型說(shuō)明：什么叫做能帶？什么叫做帶隙？ 答：能帶：在一維近自由電子近似下，電子的能量為：E=或+七？+靖=(之+ AAA2m2%NN7)+o+?z 2m陶2k-k + n -2其中波數(shù)k可能的取值可由玻恩-卡曼條件確定為:k = h，其中一<一，且人為Na22整數(shù)，共有N值。對(duì)于每一個(gè)量子數(shù)力，都可以找到電子態(tài)的能量E。由于N通常為10個(gè) 數(shù)量級(jí)很

29、大，因而，允許的k值對(duì)應(yīng)電子可能的能量七是十分密集的，即為準(zhǔn)連續(xù)的， 這種準(zhǔn)連續(xù)的能量分布叫做能帶。帶隙：在兩個(gè)相鄰的能帶之間，如果存在空隙，這個(gè)空隙就叫做帶隙，空隙的寬度 叫做帶隙的寬度，帶隙處表示電子不允許存在的狀態(tài)。6.在能帶理論中，什么叫做能級(jí)間的排斥作用？答：相互作用的兩個(gè)微觀態(tài)，作用的結(jié)果是原來(lái)能級(jí)較高的態(tài)，能量變得更高了 ；原來(lái) 能量較低的態(tài)，能量變得下降了。這種相互作用叫做能級(jí)間的排斥作用。這是在量子力學(xué)中 普遍存在的結(jié)果。7、三維近自由電子近似模型下的零級(jí)波函數(shù)、零級(jí)能量各是多少？答：零級(jí)波函數(shù)為：-f_ 方 22零級(jí)能量為：或=。+2in 一波動(dòng)方程為：-2-B + V任)

30、“>) = £”>)2m8、三維近自由電子近似模型下的能帶和一維近自由電子近似模型下的能帶相比，有何 不同？答：三維和一維情況有一個(gè)重要的區(qū)別是，三維近自由電子近似模型下的不同能帶在 能量上不一定分隔開(kāi)，它們可以發(fā)生能帶之間的交疊。在一維情況，由于在布里淵區(qū)中心和邊界的簡(jiǎn)并都是二更的，可以用統(tǒng)一的表達(dá)式只 是匕不同來(lái)表達(dá)簡(jiǎn)并微擾的結(jié)果，在三維情況下不行，簡(jiǎn)并微擾計(jì)算要按不用的K，不同 的能帶分別進(jìn)展。作業(yè)17 :1、緊束縛近似模型的容是什么？答：緊束縛近似模型的容是：被考察的電子欠在第m個(gè)原子附近時(shí)，它主要受到該原子 的作用，即將該電子受到第m個(gè)原子的作用勢(shì)V（不一R”）

31、作為該電子所受總勢(shì)場(chǎng)U（X）的零級(jí) 近似，而將該晶體中第m個(gè)原子之外的所有原子對(duì)該電子的作用勢(shì)場(chǎng) V 丫=（力-（廣一兄）作為總勢(shì)場(chǎng)（力的微擾，其中尸和%分別是被考察的電子 和第m個(gè)原子的位置矢量。2、寫出電子在索束縛近似模型中對(duì)應(yīng)波函數(shù)的表達(dá)式。答：電子在緊束縛近似模型中對(duì)應(yīng)波函數(shù)為：%（7）=，2嬴鼠/（萬(wàn)一兄）；其中NN nt是晶體中的原胞總數(shù)，0（7一兄,）是第m個(gè)原子的勢(shì)場(chǎng)不一凡,）對(duì)被考察電子激發(fā)的波函 數(shù)，和旦分別是披考察的電子和第m個(gè)原子的位置矢量。3、寫出電子在紫束縛近似模型中對(duì)應(yīng)能量的表達(dá)式，其中各個(gè)字母的含義分別是什 么？答：被考察的電子父在第in個(gè)原子附近時(shí)，它主要受到

32、該原子的作用，該電子的能量為： eQ = £Jl ZJ（&）eT“心，其中彳是第Hl個(gè)原子的能級(jí)；】是電子的波矢 .最鄰近量；R =瓦-R：是從第m個(gè)原子到第n個(gè)原子的位移，片和冗分別是第川個(gè)原子、第n個(gè)原子的位置矢量；/o=-Jm（可（/點(diǎn)）一暗）盛，? = r-C 7和兄分別是被 考察的電子和第m個(gè)原子的位置矢量。4、試寫出簡(jiǎn)單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶。答：S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個(gè)方向重爰積分一樣，因此在電子能量M=J（凡），E（k） = %Jo- £ ,（凡中的有-樣的值響單表示為/?廣最近鄰R、為戢近鄰的矢徑。s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱,即4（一r）=外卜

33、）,在戢近鄰重疊積分</（艮）=一尹；（己-Rju隹）-V舟亞舟”中，波函數(shù)的奉獻(xiàn)為正，所以4 >0。簡(jiǎn)單立 方晶體六個(gè)近鄰格點(diǎn)為：（67,0,0）, （0,«,0）, （0,0,6/）, （-6/,0,0）,（0,-a,0）,（0,0,-a）把近鄰格矢兄代入七（定）=與一人一 工/（氐）"心即可得到簡(jiǎn)單立方晶格中由原子 網(wǎng) -鼓翎近s態(tài)形成的能量為：七（左）=弓一4-2/Jcos化承）+ cos（Zva） + cos（a），其中與是第m個(gè)原子的能級(jí)， 被考察的電子公在第m個(gè)原子附近。作業(yè)18 :1、什么叫做能態(tài)密度？計(jì)算能態(tài)密度的一般公式是什么？答：定義：它表示能量級(jí)在E附近單位能量區(qū)間包含的微粒狀態(tài)數(shù)，假設(shè)用AZ表示能量分布在E-E + AE中的能量狀態(tài)數(shù)目，那么能態(tài)密度為：N（E）=hm丁"=7三2、計(jì)算晶體中電子的能態(tài)密度的公式是什么？答：對(duì)于三維晶體，計(jì)算晶體中電子的能態(tài)密度的公式為：n（e） =積分通與整個(gè)等頻面。3、什么叫做費(fèi)米面？答：在憶空間占有電子區(qū)域與不占有電子區(qū)域的分界面叫做費(fèi)米面。設(shè)晶體中N個(gè)電子，它們?cè)谑噶縦空間可填充半徑為k卜