1、第三節正交試驗設計及其方差分析在工農業生產和科學實驗中，為改革舊工藝，尋求最優生產條件等，經常要做許多試驗，而影響這些試驗結果的因素很多，我們把含有兩個以上因素的試驗稱為多因素試驗前兩節討論的單因素試驗和雙因素試驗均屬于全面試驗(即每一個因素的各種水平的相互搭配都要進行試驗)，多因素試驗由于要考慮的因素較多，當每個因素的水平數較大時，若進行全面 試驗，則試驗次數將會更大 因此，對于多因素試驗，存在一個如何安排好試驗的問題正交試驗設計是研究和處理多因素試驗的一種科學方法，它利用一套現存規格化的表一一正交 表，來安排試驗，通過少量的試驗，獲得滿意的試驗結果1.正交試驗設計的基本方法正交試驗設計包含

2、兩個內容：(1)怎樣安排試驗方案；(2)如何分析試驗結果先介紹正交表.正交表是預先編制好的一種表格.比如表9-17即為正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3個數字有3種不同的含義：表 9-17列號試驗號1231111212232124221(1) L4( 23)表的結構：有4行、3列，表中出現2個反映水平的數碼1，2.列數L4(23)行數水平數(2) L4 (23)表的用法：做 4次試驗，最多可安排 2水平的因素3個.最多能安排的因素數L4f(23)f試驗次數(3) L4 (23)表的效率：3個2水平的因素從8次試驗中選出4次來做試驗，效率是高的L4f實際試驗數水平數.它的全面試驗數為

3、23=8次，使用正交表只需'(23)f理論上的試驗數正交表的特點：(1) 表中任一列，不同數字出現的次數相同.如正交表L4(23)中，數字1 , 2在每列中 均出現2次.(2) 表中任兩列，其橫向形成的有序數對出現的次數相同.如表L4 (23)中任意兩列，數字1, 2間的搭配是均衡的.凡滿足上述兩性質的表都稱為正交表（Orthogo nal table）.常用的正交表有L9（34），L8（27），（45）等，見附表用正交表來安排試驗的方法， 就叫正交試驗設計.一般正交表Lp （nm）中，p=m（n-1）+1.下面通過實例來說明如何用正交表 來安排試驗例9. 7提高某化工產品轉化率的試驗

4、某種化工產品的轉化率可能與反應溫度A，反應時間B,某兩種原料之配比 C和真空度D有關為了尋找最優的生產條件，因此考慮對A, B，C, D這4個因素進行試驗根據以往的經驗，確定各個因素的 3個不同水平，如表 9-18所示表 9-18水平因素123A:反應溫度（C）607080B:反應時間（小時）2.53.03.5C:原料配比1.1 ： 11.15 : 11.2 ： 1D:真空度（毫米汞柱）500550600分析各因素對產品的轉化率是否產生顯著影響，并指出最好生產條件 解 本題是4因素3水平，選用正交表 L9（ 34）表 9-19列號水平試驗號A1B2C3D41111121222313334212

5、35223162312731328321393321把表頭上各因素相應的水平任意給一個水平號.本例的水平編號就采用表9-18的形式；將各因素的諸水平所表示的實際狀態或條件代入正交表中,得到9個試驗萬案，如表 9-20所示.表 9-20列號ABCD水平1234試驗號11(60)1(2.5)1(1.1:1)1(500)212(3.0)2(1.15:1)2(550)313(3.5)3(1.2:1)3(600)42(70)123522316231273(80)1328321393321從表9-20看出，第一行是1號試驗，其試驗條件是：反應溫度為60C，反應時間為2. 5小時，原料配比為1.1 ： 1,

6、真空度為500毫米汞柱,記作A1B1C1D1.依此類推，第9號試驗條件是 A3B3C2D1.由此可見，因素和水平可以任意排，但一經排定，試驗條件也就完全確定按正交試驗表9-20安排試驗，試驗的結果依次記于試驗方案右側，見表9-21.表 9-21列號水平試驗號ABCD試驗結果（%）11(60)1(2.5)1(1.1:1)1(500)38212(3.0)2(1.15:1)2(550)37313(3.5)3(1.2:1)3(600)7642(70)123515223150623128273(80)13244832135593321862.試驗結果的直觀分析正交試驗設計的直觀分析就是要通過計算，將各因

7、素、水平對試驗結果指標的影響大小，通過極差分析，綜合比較，以確定最優化試驗方案的方法有時也稱為極差分析法.例9. 7中試驗結果轉化率列在表9-21中，在9次試驗中，以第9次試驗的指標86為最高，其生產條件是 A3B3C2D1.由于全面搭配試驗有 81種，現只做了 9次.9次試驗中最好的結 果是否一定是全面搭配試驗中最好的結果呢？還需進一步分析（1）極差計算在代表因素A的表9-21的第1列中，將與水平“ 1 ”相對應的第1，2，3號3個試驗結 果相加，記作Tn，求得Th=151 同樣，將第1列中與水平“ 2”對應的第4, 5，6號試驗結 果相加，記作T21,求得T21=183.一般地，定義 Tj

8、為表9-21的第j列中，與水平i對應的各次試驗結果之和（i=1,2,3;j=1,2,3,4）.記T為9次試驗結果的總和，Rj為第j列的3個Tj中最大值與最小值之差，稱為 極差3顯然 T=v Tjj，j=1,2,3,4.i d此處T11大致反映了 A1對試驗結果的影響，T21大致反映了 A2對試驗結果的影響，T31大致反映了 A3對試驗結果的影響，T12，T22和T32分別反映了 B1，B2，B3對試驗結果的影響，T13，T23和T33分別反映了 C1，C2，C3對試驗結果的影響，T14，T24和T34分別反映了 D1，D2，D3對試驗結果的影響Rj反映了第j列因素的水平改變對試驗結果的影響大小

9、，Rj越大反映第j列因素影響越大上述結果列表 9-22.表 9-22T1j151133175174T=519T2j183142174163T3j185244170182Rj34111519(2)極差分析(Analysis of range)由極差大小順序排出因素的主次順序:主t次B; A、D; C這里，Rj值相近的兩因素間用“、”號隔開，而 Rj值相差較大的兩因素間用“；”號隔 開.由此看出，特別要求在生產過程中控制好因素 B,即反應時間.其次是要考慮因素 A和D , 即要控制好反應溫度和真空度 至于原料配比就不那么重要了 .選擇較好的因素水平搭配與所要求的指標有關.若要求指標越大越好，則應選

10、取指標大的水平.反之，若希望指標越小越好，應選取指標小的水平.例9.7中，希望轉化率越高越好，所以應在第1列選最大的T31=185 ;即取水平A3,同理可選B3C1D3.故例9. 7中較好的因素 水平搭配是 A3B3C1D3.例9. 8某試驗被考察的因素有 5個：A, B, C, D , E.每個因素有兩個水平.選用正交 表L8(27)，現分別把 A, B, C, D, E安排在表L8(27)的第1 , 2, 4, 5, 7列上，空出第3, 6列仿例9.7做法，按方案試驗.記下試驗結果，進行極差計算，得表 9-23.表 9-23列號 水平 試驗號A1B23C4D56E7試驗結果11111111

11、14211122221331221122174122221117521212128621221211072211221118221211215T1j61455350565452T=105T2j44605255495153Rj171515731試驗目的要找出試驗結果最小的工藝條件及因素影響的主次順序.從表9-23的極差Rj的大小順序排出因素的主次順序為主t次A、B ; D; C、E最優工藝條件為 A2B1C1D2E1.表9-23中因沒有安排因素而空出了第3, 6列.從理論上說，這兩列的極差 Rj應為0,但因存有隨機誤差，這兩個空列的極差值實際上是相當小的3.方差分析正交試驗設計的極差分析簡便易行

12、，計算量小，也較直觀，但極差分析精度較差，判斷設有一試驗，使用正交表Lp(nm),試驗的p個結果為yi,y2,yp,記pt八 yi,i 4pSt八(yi J)2i 4為試驗的p個結果的總變差;nSj= r.li=1L2P1 J Tjr yT2p為第j列上安排因素的變差平方和，其中r=p/n.可證明mSt= 7 Sij 4即總變差為各列變差平方和之和，且St的自由度為p-1 , S的自由度為n-1.當正交表的所有列沒被排滿因素時，即有空列時，所有空列的S之和就是誤差的變差平方和 Se,這時Se的自由度fe也為這些空列自由度之和當正交表的所有列都排有因素時，即無空列時，取Sj中的最小值作為誤差的變

13、差平方和 Se.從以上分析知，在使用正交表 用的統計量為：Lp( nm)的正交試驗方差分析中，對正交表所安排的因素選當因素作用不顯著時，其中第j列安排的是被檢因素 在實際應用時，先求出各列的F檢驗時會更靈敏，將所S/,其相應的自由度為feA,FF( n-1,fe),S/(n-1)及Se/fe,若某個S/(n-1)比Se/fe還小時，則這第j列就可當作誤差列并入 Se中去，這樣使誤差 Se的自由度增大，在作有可當作誤差列的 Sj全并入Se后得新的誤差變差平方和，記為 這時選用統計量AF(n-1,fe ).例9. 9對例9. 8的表9-23作方差分析1 nt2解 由表9-23的最后一行的極差值Rj

14、，利用公式Sj=Tj $ -，得表9-24.r imp表 9-24A1B23C4DE756Rj171515731S36.12528.1250.1253.1256.1251.1250.125St=74.875表9-24中第3, 6列為空列，因此 Se=S3+S6=1.250,其中fe=1+1=2,所以Se/fe=0.625,而第7 列的 Sy=0.125 , S7/f7=0.1251=0.125 比 Se/fe小，故將它并入誤差.SeA =Se+ S7=1.375,feA =3.整理成方差分析表9-25.表 9-25方差來源SjfjSj fj顯著性A36.125136.12578.818B28.125128.12561.364C3.12513.1256.818D6.12516.12513.364AE0.12510.125e1.125020.625A e1.37530.458由于Fo.o5(1,3)=