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文檔簡介
1、 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心1有限元法分析問題的主要步驟:有限元法分析問題的主要步驟:連續(xù)體離散化連續(xù)體離散化單元分析單元分析整體分析整體分析 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心三三角角形形單單元元 ijmiiyx ,jjyx ,mmyx ,iuivjujvmumvyx位移函數(shù)位移函數(shù): 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心mmmjjjiiiyaxaauyaxaauyaxaau321321321321111aaayxyxyxuuummjjiimjiT mjiuuuaaa1321T矩陣形式:矩陣形式:A2T A為三角形單元的
2、面積為三角形單元的面積代入水平位移分量和結點坐標代入水平位移分量和結點坐標:TTT*1 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心TTT*11T*T可逆矩陣可逆矩陣伴隨矩陣。將其行列式中各元素的代數(shù)余子式按行列伴隨矩陣。將其行列式中各元素的代數(shù)余子式按行列式中各元素的順序排列成方陣,再轉置后得的方陣。式中各元素的順序排列成方陣,再轉置后得的方陣。T行列式。其值為面積的行列式。其值為面積的2倍。倍。 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題 jmmjmiimijji*jmmiijmjimjix yx yx yx yx yx
3、 yTyyyyyyxxxxxx TT的伴隨矩陣的伴隨矩陣iijjmm1xy1xy1xyijmijmijmaaabbbccca bjjmmxy1xy 1的代數(shù)的代數(shù)余子式余子式 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題將將垂直位移分量和結點坐標代入垂直位移分量和結點坐標代入mjimjimjimjiuuucccbbbaaaAaaa21321mjimjimjimjivvvcccbbbaaaAaaa21654 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題yaxaau32121mmjjii
4、mmjjiimmjjiiyucyucyucxubxubxubuauauaAu11()2iijjmmaaua ua uA21()2iijjmmabub ub uA31()2iijjm macuc uc uA 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAvmmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000 eNf(下標下標i i,j j,m m輪換輪換))(21ycxbaA
5、Niiii令令形函數(shù)形函數(shù)形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題1 1、在單元結點上形態(tài)函數(shù)的值為、在單元結點上形態(tài)函數(shù)的值為1 1或為或為0 0。2 2、在單元中的任意一點上,三個形態(tài)函數(shù)之和等于、在單元中的任意一點上,三個形態(tài)函數(shù)之和等于1 1。3 3、 三角形單元在單元邊界上的形函數(shù)與第三個頂點的坐標三角形單元在單元邊界上的形函數(shù)與第三個頂點的坐標無關無關ycxbaANiiii21( i, j, m 輪換輪換 )形態(tài)函數(shù)性質形態(tài)函數(shù)性質 jmmjmiimijji*jmmiijmjimjix yx yx y
6、x yx yx yTyyyyyyxxxxxxijmijmijmaaabbbccc 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題2 2)、單元載荷移置)、單元載荷移置 移植載荷遵循的原則移植載荷遵循的原則: :非結點載荷移植到結點上非結點載荷移植到結點上虛功等效原則虛功等效原則是指原載荷與結點載荷在任何虛位是指原載荷與結點載荷在任何虛位移上所做的虛功二者相等移上所做的虛功二者相等XyijmqP 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題單元的虛位移表示方法單元的虛位移表示方法( (線
7、位移線位移) ) eNf*結點載荷結點載荷 mmjjiieYXYXYXR eNf實實移移位位虛虛位位移移 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題 yxPPP(1)(1)集中載荷移植集中載荷移植ijmPxPyPc由虛功等效原則由虛功等效原則 TT* ee* RfPTTijmxiijjmmyijmN0N0N0PX Y X Y XYP0N0N0N eTRN P結點力作功結點力作功外力作功外力作功xyoT* eT N P 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題iiiixjjyjj
8、mmmmXN0Y0NPXN0PY0NXN0Y0N移植到結移植到結點上等效點上等效結點力結點力集中力集中力TNiXijmxyoYjXjYiYmXm 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心例題例題1 1:在均質、等厚的三角形單元:在均質、等厚的三角形單元ijmijm的任意一點的任意一點o o(0.4a0.4a,0.4a0.4a)上作用有集中載荷上作用有集中載荷P=100N P=100N ,與水平方向成,與水平方向成 =45=45,求單元的等效結,求單元的等效結點載荷。點載荷。Po XYi (a,0)j (0,a)m (0,0) 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研
9、中心1 1)求形函數(shù)矩陣)求形函數(shù)矩陣解:解:等腰直角三角形的面積等腰直角三角形的面積A A為:為:22110010102111121aaayxyxyxAmmjjii jmmjmiimijji*jmmiijmjimjix yx yx yx yx yx yTyyyyyyxxxxxx0jmmjiyxyxaayybmji0jmixxc0miimjyxyxa0imjyybaxxcmij2ayxyxaijjimayybjimaxxciji 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心ayaxycxbaANayycxbaANaxycxbaANmmmmjjjjiiii1)(21)(21)(21m
10、jimjiNNNNNN000000N 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心 xyxy0010aaaaNxyxy0001aaaa iiTijmxjyjijmmmXYN0N0N0PXPY0N0N0NXY 2 2)求單元等效結點載荷)求單元等效結點載荷0.4000.40.4050 200.450 20.2000.220 220 220 220 210 210 20.400.400.2000.400.400.2 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心(2) (2) 體力的移植體力的移植 TTee*Rfq tdxdy令單元所受的均勻分布力為令單元所受的均勻分布力為由
11、虛功等效原則由虛功等效原則 TeT*Nq tdxdy結點力作功結點力作功體力作功體力作功eTRN qtdxdy XqY 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題(3 3)分布面力的移植)分布面力的移植 TpX,Y TTee*RfP t.ds結點力作功結點力作功面力作功面力作功 TeT*NP t.ds TRNP .t.ds由虛功等效原則由虛功等效原則 Xyijmp 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心例例:均質、等厚的三角形單元均質、等厚的三角形單元ijm的結點坐標如圖所示,的結點坐標如圖所示,ij邊上作用邊上作用有
12、沿有沿y軸負方向呈三角形分布的載荷,載荷密度最大值為軸負方向呈三角形分布的載荷,載荷密度最大值為q ,單單元的厚度為元的厚度為t,試求單元的等效結點載荷。,試求單元的等效結點載荷。 S 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心jmmjiyxyxamjiyybjmixxc111iiicba010jjjcba100mmmcba21A ( i i ,j j ,m m輪換)輪換) 將將i i ,j j ,m m的坐標代入得:的坐標代入得: xyycxbaAyxNiiii121),(xycxbaAyxNjjjj21),(yycxbaAyxNmmmm21),( (1分) 形函數(shù)矩陣為:形函
13、數(shù)矩陣為: yxxyyxxyN00100001解:解:(1(1)、計算形函數(shù):)、計算形函數(shù): 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心(2(2)、計算等效節(jié)點載荷:)、計算等效節(jié)點載荷: tdsPNRTe tdsPNtdsPNTLmiTLjmLijetdsPNRT 在邊界在邊界jmjm和和mimi上的面力為零,所以上式第二項和第三項積分應等于零。上的面力為零,所以上式第二項和第三項積分應等于零。在邊界在邊界ijij上的面力為上的面力為: : qsqLs00Pxs 因為積分沿逆時針方向,所以有因為積分沿逆時針方向,所以有dsds= =dxdx tqqqxdxqxdxxqxdxx
14、tdxtqsNqsNqsNmjie00310610000)1 (0)(000R10101010 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心3 3)、由結點位移求單元的應變)、由結點位移求單元的應變根據(jù)單元的位移函數(shù)根據(jù)單元的位移函數(shù) mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000由幾何方程可以得到單元的應變表達式由幾何方程可以得到單元的應變表達式: : mmjjiimmjjiimjimjivuvuvubcbcbccccbbbAxvyuyvxu00000021eBB矩陣稱為矩陣稱為幾何矩陣幾何矩陣 ycxbaANiiii21( i, j, m 輪換輪換 ) 數(shù)字化
15、設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題B矩陣可以表示為分塊矩陣的形式矩陣可以表示為分塊矩陣的形式 mjiBBBB iiiiibccbAB0021B矩陣稱為幾何矩陣矩陣稱為幾何矩陣 或應變轉換矩陣。或應變轉換矩陣。( i, j, m 輪換輪換 ) 稱為應變矩陣稱為應變矩陣由于線性位移函數(shù),應變矩陣為常數(shù)矩陣。因而單元由于線性位移函數(shù),應變矩陣為常數(shù)矩陣。因而單元中的應力與應變?yōu)槌?shù),稱這種單元為常應變單元。中的應力與應變?yōu)槌?shù),稱這種單元為常應變單元。 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心4 4)、由結點位移求單元應力)
16、、由結點位移求單元應力由物理由物理方程得:方程得: DD稱為彈性矩陣稱為彈性矩陣 eBDD 21000101)1 (2ED平面應力問題平面應力問題稱為彈性矩陣稱為彈性矩陣 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心5 5)、由結點位移求單元結點力)、由結點位移求單元結點力外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體,如果發(fā)生虛位移,則所有外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體,如果發(fā)生虛位移,則所有外力在虛位移上做的虛功等于內應力在虛應變上做的虛功。外力在虛位移上做的虛功等于內應力在虛應變上做的虛功。單元的結點力記為:單元的結點力記為: TmmjjiieVUVUVUF單元的虛應變?yōu)椋簡卧奶搼優(yōu)椋?
17、eB*單元的外力虛功單元的外力虛功為為 : eTeF*單元的內力虛功為:單元的內力虛功為: tdxdyT*虛功原理:虛功原理: 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心由虛功原理得:由虛功原理得: tdxdyFTeTe* TTeTeTBB)(* eeBDS eTTeeTetdxdyBDBF* eTetdxdyBDBF外力虛功外力虛功內力虛功內力虛功* 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題定義為單元剛度矩陣。定義為單元剛度矩陣。 tdxdyBDBKTe在在3結點等厚三角形單元中結點等厚三角形單元中B和和D均為常量,則
18、單元均為常量,則單元剛度矩陣可以表示為:剛度矩陣可以表示為: tABDBKTe6 6)、單元剛度矩陣)、單元剛度矩陣eeeKF 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心第三章 用常應變三角形單元解彈性力學平面問題單元剛度矩陣表示為分塊矩陣單元剛度矩陣表示為分塊矩陣 mmmjmijmjjjiimijiieKKKKKKKKKKtABDBKsTrrsr=i,j,m s=i,j,m單元剛度矩陣的性質單元剛度矩陣的性質: :(1)對稱性)對稱性 eTeKK(2)奇異性)奇異性0eK 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心 eBDD 21000101)1 (2ED稱為彈性
19、矩陣稱為彈性矩陣總結 tABDBKTeeeeKF 稱為應變矩陣稱為應變矩陣單元剛度矩陣單元剛度矩陣 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心1、均質、等厚的三角形單元、均質、等厚的三角形單元ijm的的結點坐標如圖所示,結點坐標如圖所示,jm邊上作用有沿邊上作用有沿y軸負方向按三角形分布的載荷,單元的厚度為軸負方向按三角形分布的載荷,單元的厚度為1,求單元的等效結點載荷。,求單元的等效結點載荷。 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心2021-12-21jmmjiyxyxamjiyybjmixxc101iiicba111jjjcba011mmmcba將i ,j
20、,m的坐標代入得:21A 1、三角形面積: yycxbaAyxNiiii121),(2、計算形函數(shù): 解: yxycxbaAyxNjjjj121),(xycxbaAyxNmmmm121),( 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心3、計算等效節(jié)點載荷: tdsPNRTe tdsPNtdsPNTLmiTLjmLijetdsPNRT 在邊界ij和mi上的面力為零,所以上式第一項和第三項積分應等于零。 qsqLs00P 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心因為積分沿逆時針方向,x=1-s ,s=1-x所以有ds= -dx 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及
21、其自動化教研中心例2:均質、等厚的三角形單元ijm的結點坐標如圖所示,ij邊上作用有沿x軸負方向均勻分布的載荷q,單元的厚度為t,求單元等效結點載荷。(本小題(本小題1515分)分) 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心2021-12-21 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心 00021021010101000R0000qbtqbtdyaaqdybyaaqdybyqttdyqNqNqNbbbmjibe 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心例3:均質、等厚的三角形單元ijm的結點坐標如圖所示,mi邊上作用有沿y軸負方向均布的載荷,載荷密度為q,單元的厚度為t,試求單元的等效結點載荷. 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心 數(shù)字化設計與制造 大連交通大學機械設計及其自動化教研中心4. 在均質、等厚的三角形單元ijm坐標如圖所示,單元的厚度為t,在ij邊上作用呈三角形分布的載荷,載荷密
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