1、第五講 等差數列（二）某些問題以轉化為求若干個數的和解決這些問題時先要判斷這些數是否成為等差數列，如果是等差數列才能夠使用它的一些公式。在解決自然數的數字問題時，應根據題目的具體特點，有時可考慮將題中的數適當分組，并將每組中的數合理配對，使問題得以順利解決。例題1 小王看一本書第一天看了20頁，以后每天都比前一天多看2頁，第30天看了78頁正好看完。這本書共有多少頁？提示 根據條件“以后每天比前一天多看2頁”能夠知道他每天看的頁數都是按照一定規律排列的數，即20、22、24、76、78。要求這本書共有多少頁也就是求出這列數的和。解:由題意可知，這列數是一個等差數列，首項=20，末項=78，項數

2、=30，所以這本書共有（20+78）×30÷2=1470（頁）答:這本書共有1470頁。引申1、文麗學英語單詞,第一天學會了3個，以后每天都比前一天多學會1個，最后一天學會了21個。文麗在這些天中共學會了多少個英語單詞？解:文麗每天學會的單詞個數是一個等差數列，即3、4、5、6、21。首項=3，末項=21，項數=（21-3）÷2+1=10。所以，文麗在這些天中共學會了（3+21）×10÷2=120(個)答:文麗在這些天中共學會了120個英語單詞。2、李師傅做一批零件，第一天做了25 個，以后每天都比前一天多做2個，第20天做了63個正好做完。這

3、批零件共有多少個？答: （25+63）×20÷2=880（個）3、小李讀一本短篇小說，她第一天讀了20頁這個等差數列共有多少項?答:這個等差數列共有29項。例題2 建筑工地上堆著一些鋼管(如圖所示),求這堆鋼管一共有多少根。提示:根據圖能夠知道，這是一個以3為首項，以1為公差的等差數列，求鋼管一共有多少根其實是求這列數的和。解:求鋼管一共有多少根,其實就是求3+4+5+9+10的和。項數=(10-3)÷1+1=8,根據公式求和為:3+4+5+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷ 2=52(根)。答:這堆鋼管一共有52根

4、。引申1、一些同樣粗細的圓木,像如圖所示一樣均勻地堆放在一起,已知最下面一層有70根。一共有多少根圓木？答案:2485根。2、用3根等長的火柴棍擺成一個等邊三角形,用這樣的等邊三角形，按下圖所示鋪滿一個大的等邊三角形,如果這個大的等邊三角形的底邊能放10根火柴棒,那么這個大的等邊三角形中一共要放多少根火柴棒?解:如果把圖中最上端的一個三角形看做第一層,與第一層緊相連的3個三角形(2個向上的三角形,一個向下的三角形)看做第二層,那么這個圖中一共有10層三角形。不難看出,這10層三角形每層所需火柴棒根數,自上而下依次為:3,6,9,3×10。它們成等差數列,且首項為3,公差為3,項數為1

5、0。求火柴的總根數,也就是求這個等差數列各項的和。即: 3+6+9+30=(3+30) × 10÷ 2=33× 5=165(根)答:這個大的等邊三角形中一共要放165根火柴棒。3、用相同的小立方體擺成如圖所示的形狀,如果共擺成10層,那么最下面有多少個小立方體?答案:55個例題3 有50把鎖的鑰匙搞亂了,為了使每把鎖都配上自己的鑰匙,至多要試多少次?提示:開第一把鎖時，如果不湊巧，試了49把鑰匙還不行，那所剩的一把就一定能把它打開，即開第一把鎖至多需要試49次，同理，開第二把鎖至多需要48次，開第三把鎖至多需試47次，等打開第49把鎖，剩下的最后一把不用試，一定能

6、打開。解:根據以上分析,能夠把本題轉化為求一個等差數列的和，即 49+48+47+2+1=(49+1)×49÷ 2=1225(次)答:至多要試1225次。引申1、有60把鎖的鑰匙搞亂了,為了使每把鎖都配上自己的鑰匙,至多試多少次?解:59+58+57+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)2、有一些鎖的鑰匙搞亂了,已知至多要試28次,就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了?答: 一共有8把鎖的鑰匙搞亂了。3、一輛公共汽車有66個座位,空車出發后,第一站上一位乘客,第二站上兩位乘客,第三站上三位乘客,依次類推,第幾站后,車上坐滿乘客

7、?答:第11站后，車上坐滿乘客。例題4 四（1）班45位同學舉行一次同學聯歡會，同學們在一起一一握手，且每兩個人只能握一次手，同學們共握了多少次手？提示:假設45位同學排成一隊，第1位同學一次與其他同學握手，一共握了44次，第2位同學因與第1位同學已握手，只需要與另外43位同學握手，一共握了43次，這樣第3位同學只需與另外的42位同學握手，依次類推。握手的次數分別為:44,43,42，3,2,1，這樣應用等差數列求和公式即可解答。解：根據以上分析，可以把本題轉化為求一個等差數列的和即 44+43+42+3+2+1 =（44+1）×44÷2 =990（次）答：同學們共握了99

8、0次手。引申1、學校進行書法大賽，每個選手都要和其他所有選手各賽一場。如果有16人參加比賽，一共要進行多少場比賽？答案: 15+14+13+3+2+1=（15+1）×15÷2=120（場）2、在一次元旦晚會上，一共有48位同學和5位老師，每一位同學或老師都要和其他同學握一次手。那么一共握了多少次手？解：根據題意，一共有48+5=53（人）參加了這次晚會。所以，一共握手的次數為： 52+51+50+3+2+1=（52+1）×52÷2=1378（次）答：一共握了1378次手。3、一次朋友聚會，大家見面時總共握手28次。如果參加聚會的人和其余的每個人只握手一次，問參加聚會的共有多少人？解：設共有n人參加了聚會，因為要求參加聚會的人和其余的每個人只握手一次，所以一共握手（n-1）+（n-2）+2+