1、會計學1隨機隨機(su j)波動率與股票價格的波動率波動率與股票價格的波動率第一頁，共37頁。11/20()( )( )( )( )=min V (S/S )S/Shhttsttstttststtt htht htI tdSI S dtI S dWII假設給定時已獲得的信息 ，資產的收益具有有限條件期望和有限條件方差，資產價格動態的一個表達式： 我們定義瞬時波動率過程為，也可以寫為： 根據這個基準，把連續復利收益率log()的期望值和方差看成與投資的到期期限 成比例是合理的。第2頁/共37頁第二頁，共37頁。tWtztzztttzTzNii1)0()(t0tdtdzz第3頁/共37頁第三頁，共

2、37頁。第4頁/共37頁第四頁，共37頁。S,SS0,tststtsst ht ht hBlackScholesdSS dtS dWKthKKK的期權定價模型是建立在資產價格可用對數正態分布或幾何布朗運動建模的基礎上： 其中和是固定參數，具有執行價 和到期日的歐式看漲期權可得收益： = 其他情況第5頁/共37頁第五頁，共37頁。/(, , )( ,)(S)St()(t,) (tttstQtttt hQttt httttdSSrdtdWCC S K h tB t th EKQESCSdKBthd由于其假定連續的無成本交易時可行的，在風險中性世界中，有： 是風險中性的概率測度，是在Q下的期望值，當

3、給定 時，根據的對數正態性可計算其出來，從而得到 時的看漲期權公式： )(t,)/(t,),=(/2)/= ()()tsttttttsxttttshBSCSKBthxLogSKBthdxhCSdedh其中 是累計標準正態分布函數，上式即是期權定價公式。因此，期權價格依賴于股票價格 、執行價 和貼現因子，定義： ，那么，有： 第6頁/共37頁第六頁，共37頁。0, 0, /(),()tttsttsttTttTdSSrdtdWW 獨立馬爾科夫過程1212122= ()()(/ ( ,)( ,)/ 2( ,)1( ,)0,( ,)=( ,)txttttttttt hsstCS Ededdxt thh

4、t thhddt thht thht thdht th 其中并且在給定時，根據的條件概率分布可計算出其中的期望值。第7頁/共37頁第七頁，共37頁。imp=(, )( , )( ), ttsttttttCS FxxFG S C x 是參數的真實未知值，如果對任意給定的， 函數是一一對應的，就可求反函數，得到一個隱含瞬時波動率： 第8頁/共37頁第八頁，共37頁。000HullWhite,(5.21)( , )( , )(5.21)( ), (5.22)tttStttimptttCS FxxFxG S C x為了使其更精確，假設風險中性概率分布屬于一個參數族，和給出期權價格的一個函數表達式：其中

5、是參數的真實未知值。事實上，對任意給定的，是一一對應的，那么將等式求反函數，得到一個隱含瞬時波動率：顯然，只有知道真實未知值 ，或至少能算出它他足夠精確的估計值時，隱含瞬時波動率（5.22）才能在實踐中用于定價或作為套期保值的衍生工具。第9頁/共37頁第九頁，共37頁。12121anRe(1976)( ,) ()()(/( ,)( ,)/ 2)(5.23)( ,)timpxttttimpimpttimptttLatendlemanBlackSholest thCSdeddxt thht thhddt thhC和提出了隱含波動率，它是定義如下的過程：其中是觀測到的期權價格。第10頁/共37頁第十

6、頁，共37頁。impimp21121impimplack( ,)( ,)( ,)=0,()()2 () 1( ,)( ,)()()( ,)( ,)22lacktxttttttttt tht tht thxdddeddt thht thhEt thEt th 可以把B-Scholes隱含波動率解釋為隱含平均波動率，因為可視為的條件期望值。考慮最簡單情形時，有 這解釋了為什么可以把B-Simpimp21/2( ,)1( ,)t htstt tht thhEdhcholes隱含波動率看成一個隱含平均波動率： 第11頁/共37頁第十一頁，共37頁。第12頁/共37頁第十二頁，共37頁。第13頁/共37

7、頁第十三頁，共37頁。第14頁/共37頁第十四頁，共37頁。第15頁/共37頁第十五頁，共37頁。第16頁/共37頁第十六頁，共37頁。第17頁/共37頁第十七頁，共37頁。第18頁/共37頁第十八頁，共37頁。第19頁/共37頁第十九頁，共37頁。第20頁/共37頁第二十頁，共37頁。第21頁/共37頁第二十一頁，共37頁。221t-1+(1,1) tttGARCHSVSV SV模型中的持續性參數 所起的作用類似于GARCH模型中的的作用，用于刻畫序列的持續性和長記憶性。從兩類模型建模的基礎看，模型將條件方差定義為過去值y和前期方差的線性函數，而模型則假定條件方差是一種不可觀測的隨機過程，其

8、假定更合理。由于y 是混合分布，即使 為零，模型也能描述序列 y 的峰態現象。而GARCH描述的峰態和方差的根（在GAR(t)GARCHCH(1,1)下就是 和 ）是聯系在一起的。因此，需要用非正態模型 即擾動項 不是正態分布,而是 分布,GED分布等 來捕捉高峰現象。基本GARCH模型未考慮非對稱現象，而SV模型由擾動項的同期相關性來描述，比GARCH模型更簡單。第22頁/共37頁第二十二頁，共37頁。第23頁/共37頁第二十三頁，共37頁。第24頁/共37頁第二十四頁，共37頁。1-()(6.1)1(6.1)tttttE rrEI為了理解驗證市場有效性的收益檢驗和方差 界線檢驗之間的關系，

9、就要注意有效市場模型中最簡單的形式：這里 代表股票的總收益率， 是一個大于 的常數，表示在一定信息集 下的數學期望值。公式表明無論經濟人擁有什么樣的信息，股票的條件期望收益率為 。過去的信息，例如已經發放的股票紅利，與未來的收益是不相關的。傳統的有效性檢驗直接研究了這一假定。第25頁/共37頁第二十五頁，共37頁。11111211121111-(6.2)(6.1)()(6.3)1/ (1)(6.3)()(6.4)lim()0ttttttttnnttttt nt nntt nndprppE dppEdddpEp 另一方面，方差 界限檢驗利用收益率的定義：從可推出下面的關系式：其中。通過替代，并用

10、期望迭代法則，可寫成：假如滿足收斂條件（6.5）第26頁/共37頁第二十六頁，共37頁。*1*(6.4)()(6.6)(6.7)(6.6)()()(6.8)ttttntt nnttnpE pppdV pV p而總的 趨于無窮大，就有其中 是事后合理股票價格。如果未來的股利可以完全的預測到，那么股票價格就等于：因為任何隨機變量的條件期望值都會比隨機變量本身更穩定，隱含著一個方差界限不等式：第27頁/共37頁第二十七頁，共37頁。(6.8)-實際結果與不等式是相反的。為了解釋這一事實，需要考慮許多統計問題。這些問題是：（1）參數估計中的偏倚；（2）多余參數問題；（3）參數估計的樣本變差。但在這三個

11、問題中，討論方差 界限的文獻幾乎只注意到了參數問題，且當不存在多余參數或樣本變差是，參數估計偏倚并不是一個嚴重的問題。相反，卻會產生多余參數問題。第28頁/共37頁第二十八頁，共37頁。*(6.8)()ttttpV pShillerLeRoyPorerpp在檢驗時，我們直接面對這樣一個事實：由于樣本期之后的股利息是不可觀測的，所以 不能直接通過任何有限樣本來構造。有兩個估計的方法，即使用的非模型估計量和和使用的基于模型估計量。非模型估計量只是把不可觀測的 換成了可以觀測到的 的樣本條件期望值。第29頁/共37頁第二十九頁，共37頁。1|*|*|*|*|1*|11:(6.9)()(6.10)(|

12、,)(6.11)tTT TT TTT TTt Tt Ttt TTTtPPPPPPPPdE PP dP dP假設可觀測的代表序列的終值等于實際的由向后遞歸可以計算出前期的的值：它具有合乎要求的性質：（假設在貼現過程中使用了 的總體值）。構造估計序列并不需要假設股利是如何產生的，這是一個很好的性質。在這個意義上，它是非模型的。第30頁/共37頁第三十頁，共37頁。*|*()()()()t TttttPV PV PShillerV PV P利用非模型估計量序列來構造有許多不盡人意的地方。最重要的是，如果建模者不想確立一個鼓勵模型，那么就不可能去評價的樣本變異，也就不可能構造置信區間。所以，得出了和的

13、點估計值，而沒有t統計量的值也就不是偶然的了。第31頁/共37頁第三十一頁，共37頁。*11*2*()()(6.12)()()tttttttV PV PddV PV P非模型估計量比模型估計量有更高的樣本變異。如果人們愿意設定一個假設股利生成過程的統計模型，那么就可以構造一個基于模型的估計量。例如，假設股利的產生服從一階自回歸：那么就很容易計算出的總體值。他表達成 、和 的函數。用參數估計值替代總體值，就可以構造出基于模型的估計量。假設股利模型是正確設定的，那么模型估計量的偏倚就會很小，它的樣本變異也很小。第32頁/共37頁第三十二頁，共37頁。11111111111*1-()(6.13)(6

14、.3):()()(6.14)(6.7)(6.14):(6.15)tttttttttttttttittt iidpE dppE dpdppppp 還有另一種比（6.8）有更好表現的方差 界限檢驗。我們把定義為股票收益的新生：這樣，限制關系是就變成了通過迭代，利用中 的定義式并假設其收斂，就成為這樣*ttp與 的差異就表現為收益新生項的加權之和。第33頁/共37頁第三十三頁，共37頁。*1212*12(|,)(6.17),( ()|,) (6.18)ttttttttttttttttppE pdddIdddpE E pIddd如果投資者可以得到有關未來股利的全部信息，那么通過構造假定的價格序列的波動

15、率，可以導出價格波動率的上限。令 代表在最小限度信息水平上的股票價格：因為 是由引致并經過精心修正的信息子集，從而得到：根據期望迭代法則，就12(|,) (6.19)(6.8)()()tttttttttpE pdddV pV ppp可得到：運用與相同的推導過程，可以得到：（6.20）因此， 的方差就是 的方差的下限，這個下限可用于更有意義的領域。第34頁/共37頁第三十四頁，共37頁。1211111112*12*2,(|,) (6.21)(6.15)(6.22)()()1ttttttttttttittt iittddddpE dpdddppV pV pV 在信息集由生成的假定下，把定義為收益的新生項： 沿用的精確推倒可得到： 它隱含著： ( )(6.23)(6.16) (6.22)(6.8)( )( ) (6.24)tttVV根據方程、以及不等式的下線，可以得到： 這樣，現值關系是不僅意味著價格要比投資者擁有全部信息時的波動程度小，而且意味著單純一個