1、靜力學平衡問題靜力學平衡問題遼寧大學環境學院程志輝遼寧大學環境學院程志輝平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程根據平面任意力系向一點簡化的理論，若力系平衡，必有主矢主矢FR=0，主矩主矩M0=0，反之亦然。因此，平面任意力系平衡的充分與必要條件為：平面任意力系的主矢和主矩同時為零平面任意力系的主矢和主矩同時為零主矢可用兩個方向的分力表示主矢可用兩個方向的分力表示平面任意力系平衡的解析條件平面任意力系平衡的解析條件力系中的各力在兩個任選相交的坐標軸上投影代數和分別為零，各力對某點力矩代數和為零00RM，0,0,( )0oXYMF平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程一矩式一矩式 MO

2、(F)=0 ， X=0，Y=0二矩式（二矩式（式中式中A，B連線不能與連線不能與x軸垂直軸垂直） MA(F)=0，MB(F)=0 ，X=0 三矩式（式中三矩式（式中A、B、C三點不能共線）三點不能共線） MA(F)=0，MB(F)=0， MC(F)=0例：求圖示例：求圖示AB梁梁A端的支座反力。已知端的支座反力。已知q=5kN/m，F1=10kN， F2=8kN，l=2m，=450。解解： 取取AB梁為研究對象，作受力圖，選坐標系梁為研究對象，作受力圖，選坐標系 列平衡方程列平衡方程0cos02FFXAxkNFFAx66. 5707. 08cos20sin021FFqlFYAykNFFqlFA

3、y68.19707. 08102245sin0210245sin12/0021FFlqlmMAmkNFFlqlmA3 .25245sin12/021F1F2FAxFAymAyxF1F2l l/2/2l l例：求圖示剛架支座例：求圖示剛架支座A，B的反力。已知的反力。已知m=2.5kNm，P=5kN。解解： 取鋼架整體為研究對象，作受力圖，選坐標軸取鋼架整體為研究對象，作受力圖，選坐標軸 列平衡方程列平衡方程05/30PXXAkNXA305/40PYYYBA025/45 . 25/320mPPYmBA2.5m2mm43PADBCm43PADBCxyXAYAYBkNYB5 . 1kNYA5 . 2

4、w 若用方程mB(F)=0取代Y=0同樣解得此時注意：AB兩點連線不能與 x軸垂直05 . 25/320)(mPYFmABkNYA5 . 2w 若用方程mC(F)=0取代X=0同樣解得此時注意：A，B，C三點不共線025 . 20)(mYXFmAACm43PADBCxyXAYAYBkNXA3例：圖示結構，點例：圖示結構，點D受一水平力作用，已知受一水平力作用，已知P=2kN，求支座，求支座A，B，C的約束反力的約束反力。解解： 取取T型桿型桿ABC為研究對象，作受力圖為研究對象，作受力圖，選坐標選坐標系系 分析分析若先列投影方程，則無論如何選取投影軸，若先列投影方程，則無論如何選取投影軸，方程

5、中至少含有兩個未知數，因此應先列力方程中至少含有兩個未知數，因此應先列力矩方程，矩心取在兩個反力作用線交點處矩方程，矩心取在兩個反力作用線交點處0)(FmE028PRCkNRC5 . 045ACB2m2m4mDyACBxRARCRBEFyACBxRARCRBEF0)(FmF068PRAkNRA5 . 10Y045sin0CBRRkNRB707. 0RA，RC計算結果為負值，說明支座計算結果為負值，說明支座A，C的反力與受的反力與受力圖中的假設方向相反。力圖中的假設方向相反。例：支架由桿例：支架由桿AB和和CD組成，尺寸如圖，在水平桿組成，尺寸如圖，在水平桿B端懸掛一端懸掛一重重P=2kN的重物

6、，不計桿重，求的重物，不計桿重，求CD桿受力和支座桿受力和支座A的約束的約束反力。反力。解：取桿和重物為分離體。取桿和重物為分離體。CD桿為二力桿，桿為二力桿，約束反力約束反力Sc沿桿軸線方向，與沿桿軸線方向，與P交于交于O點點分離體在三個力作用下平衡，因此支座分離體在三個力作用下平衡，因此支座A的約束反力的約束反力RA必匯交于必匯交于O點點PABCO)45sin(45sin)90sin(ooAocPRS043.18,31tg解得解得kNPRkNPSAc162. 3)45sin(45sin,242. 4)45sin()90sin(0000ScRA2m1mPABDC450yx例：圖示簡支梁，已知

7、集中力例：圖示簡支梁，已知集中力P=10kN，=450。求。求A，B的約的約束反力。束反力。解解：取梁取梁AB為研究對象，根據三力匯交為研究對象，根據三力匯交定理畫出支座定理畫出支座AB的約束反力，方向的約束反力，方向假定；假定；取投影軸取投影軸x，y如圖所示，列平衡方程如圖所示，列平衡方程將將解得：解得：l ll lPPCABRBRAPPAB0sinsin, 00coscos, 0PRRYPRXBAAkNp10, 2/2sincos;5/1sin5/2cos；kNRkNRBA54. 3,91. 7例：圖示簡易起重裝置，重物重例：圖示簡易起重裝置，重物重P=2kN，桿，桿AB與與AC鉸接，并鉸

8、接，并以鉸鏈以鉸鏈B，C與墻相連。兩桿和滑輪的自重不計，并忽略摩與墻相連。兩桿和滑輪的自重不計，并忽略摩擦和滑輪的大小，試求平衡時的擦和滑輪的大小，試求平衡時的AB和和BC所受的力。所受的力。解：解：取滑輪取滑輪A與重物為研究對象，受力如右圖所示。與重物為研究對象，受力如右圖所示。桿桿AB，AC為二力桿，約束反力沿桿方向。為二力桿，約束反力沿桿方向。繩拉力與重物重力大小相等，即繩拉力與重物重力大小相等，即T=P。不計滑。不計滑輪大小，可視作平面匯交力系。取坐標系如圖輪大小，可視作平面匯交力系。取坐標系如圖列平衡方程。列平衡方程。RAB為負值，表明為負值，表明RAB的實際指向與圖示假設相反。的實

9、際指向與圖示假設相反。PABC300450600PATRAByxRAC0X045sin30sin00ABRTPkNRAB4142. 00Y045cos30cos00TPRACkNRAC1460. 34m2m例：求圖中力例：求圖中力 P=100kN 對梁上對梁上 A 點的力矩。點的力矩。PP300ABCDFyFx)(8 .1263002 .17365 . 01002866. 0100630sin230cos)()()(00mkNPPFmFmFmyAxAA解：解：P的力臂求解困難，但其水平的力臂求解困難，但其水平和垂直分力的力臂已知，將力和垂直分力的力臂已知，將力沿沿AB，CD進行分解，根據合力進

10、行分解，根據合力矩定理矩定理例：求圖示分布荷載對例：求圖示分布荷載對A點的力矩點的力矩解：解：合力矩定理合力矩定理分力對某點力矩等于其合力對該店力矩分力對某點力矩等于其合力對該店力矩知識點：知識點：分布荷載合力分布荷載合力沿直線平行分布的線荷載，可以合成為一合力，合力大小沿直線平行分布的線荷載，可以合成為一合力，合力大小等于分布荷載面積，方向與分布荷載方向相同，作用線通等于分布荷載面積，方向與分布荷載方向相同，作用線通過分布荷載面積的重心。過分布荷載面積的重心。圖中的分布荷載為梯形，中心位置確定困難，可將其分解為圖中的分布荷載為梯形，中心位置確定困難，可將其分解為兩部分兩部分梯形分布荷載對梯形

11、分布荷載對A點的力矩點的力矩 = 矩形分布荷載對矩形分布荷載對A點力矩點力矩+三角三角形分布荷載對形分布荷載對A點力矩點力矩mkN /44m1mABCmkN /2mkNFmA33.33)2/5(52)3/5(525 . 0)(解：（思考：圖示鋼架結構所受外荷載僅為一個力：（思考：圖示鋼架結構所受外荷載僅為一個力偶矩為偶矩為m的力偶，根據力偶系平衡條件的力偶，根據力偶系平衡條件m=0以以及力偶僅能用力偶平衡的原理，可知：支座及力偶僅能用力偶平衡的原理，可知：支座A與與支座支座B的反力必然構成一力偶，與的反力必然構成一力偶，與m等大，反等大，反向。）向。）取整體為研究對象，畫受力圖取整體為研究對象

12、，畫受力圖由平面力偶系的平衡條件由平面力偶系的平衡條件m=0得得RAd-m=0Sin=4/5；d=6sin=4.8m，代入平衡方程代入平衡方程RA=RB=m/d=20.82kNmRARBd3m3m3m3mmABC4m4mABC例：圖示三較鋼架，桿例：圖示三較鋼架，桿BC上作用一矩上作用一矩m=100kNm的力偶，求的力偶，求支座支座A，B的約束反力。的約束反力。例：例：做出圖示結構中桿做出圖示結構中桿AB，BD的受力圖。約束反力方向可的受力圖。約束反力方向可確定者不得用兩分力表示。確定者不得用兩分力表示。解：（知識點：解：（知識點：力偶系平衡條件，力偶系平衡條件，三力匯交定理，作用力與反作用力

13、公理）三力匯交定理，作用力與反作用力公理）取取AB桿為研究對象，做受力圖桿為研究對象，做受力圖取取DE桿為研究對象，做受力圖桿為研究對象，做受力圖取取BD桿為研究對象，做受力圖桿為研究對象，做受力圖RDRERBRAmABCEDmABEDBCDRBRDORC二力桿二力桿受力分析順序受力分析順序從附屬從附屬到主體，從主動到被動。到主體，從主動到被動。受受力力分分析析圖圖例例:圖示某剎車拉桿機構圖示某剎車拉桿機構,求支座求支座A的約束反力。的約束反力。FFaFaFRAYRAY2063FFFaaFFRAYRAXRAYRAX212/16/3/解：選取三力構件，所有力對解：選取三力構件，所有力對D點的力矩

14、為：點的力矩為：又根據三力平衡必匯交定理：又根據三力平衡必匯交定理：例：起重機重例：起重機重P1=10kN，重物，重物P2=40kN，求在止推軸承，求在止推軸承A和軸承和軸承B處的反作用力。處的反作用力。解：起重機為研究對象X=0 FAXFB=0Y=0 FA P1P2=0MA=0 FB P1 .5 P2 3.5=0 FA=50kN FB =31kN FAX =31kN例：外伸梁的尺寸及載荷如圖，試求鉸支座例：外伸梁的尺寸及載荷如圖，試求鉸支座A及輥及輥軸支座軸支座B的約束力。的約束力。解：取解：取AB梁為研究對象梁為研究對象 X=0 FAX1.5cos60=0 FAX =0.75kN MA=0

15、 FB2.51.221.51.5sin60(2.5+1.5)=0 FB =3.75kN Y=0 FAy FB 21.5sin60=0 FAy =0.45kN 校核校核 ： MB (F) =0 例例 ：直角剛架：直角剛架ABC承受插入端約束。在剛架的承受插入端約束。在剛架的A端作用集中端作用集中力力F與集中力偶與集中力偶M，其尺寸，其尺寸a、b均已知。試求固定端約束的均已知。試求固定端約束的全部約束力。全部約束力。 平面平行力系平面平行力系力系中各力的作用線都位于同一平面且相互平行平面任意力系的特殊情形平衡方程形式二矩式注意：AB兩點連線不能平行各力作用線0)(00FmY0)(0)(FmFmBA

16、yx例：如圖所示，移動式起重機自重（不包括平衡錘重量）例：如圖所示，移動式起重機自重（不包括平衡錘重量）G=500kN ，其重心，其重心O離右軌離右軌1.5m，懸臂最大長度為，懸臂最大長度為10m，最，最大起重量大起重量G1=250kN。欲使跑車滿載或空載時起重機均不。欲使跑車滿載或空載時起重機均不致翻倒，求平衡錘的最小重量以及平衡錘到左軌的最大距致翻倒，求平衡錘的最小重量以及平衡錘到左軌的最大距離離x。跑車自重可忽略不計。跑車自重可忽略不計。OG1.5m10m1G3mx0GBA解：解：取整體為研究對象，作受力圖取整體為研究對象，作受力圖各力組成平面平行力系各力組成平面平行力系吊車滿載時，吊車

17、滿載時，G1=250kN故故起重機不向右側翻的條件是起重機不向右側翻的條件是OG1.5m10m1G3mx0GBA0)(FmB105 . 13)3(10GGRxGA3/ )105 . 1)3(10GGxGRA10105 . 1)3(GGxGRARB（a）空載時，G1=0由起重機不向左側翻的條件是RB0即（a）-（b），并代入已知條件故OG1.5m10m1G3mx0GBA0)(FmA5 . 430GxGRBRARB3/ )5 . 4(0 xGGRB5 . 40GxG（b）kNG3/10000kNG3/1000min0將代入（b）式因此注意：此處，G0min與xmax均為臨界值，設計時應適當選取。并

18、驗證（a），（b）兩個不等式成立。OG1.5m10m1G3mx0GBARARBkNG3/1000min0)(75. 6310002250mGx)(75. 6maxmxmaxmin00,xxGG超靜定問題的基本概念超靜定問題的基本概念結構的幾何構成分析結構的幾何構成分析幾何不變體系幾何不變體系：體系受到任意荷載作用后，若不考慮材料的應變，而能保持其幾何形狀不變，位置不變。幾何不變體系的組成規律：幾何不變體系的組成規律：三剛片規則三剛片規則：三剛片用不在同一直線上的三個單鉸兩兩鉸聯，則組成幾何不變體系，且無多余約束。二剛片規則二剛片規則：兩剛片用三根不匯交也不平行的鏈桿聯接，則組成幾何不變體系，且

19、無多余約束。幾何瞬變結構幾何瞬變結構二元體規則二元體規則：一個剛片與一個結點用兩根鏈桿直連（三個鉸不在一直線上），則組成幾何不變體系，且無多余約束。二元體二元體：兩根不共線鏈桿聯結一個結點的裝置推論推論：在一個體系上增加一個二元體或拆除一個二元體，不會改變原有體系的幾何構造性質 二元體二元體超靜定的基本概念超靜定的基本概念靜定基靜定基：結構為幾何不變體系，但無多余約束。超靜定問題的特征超靜定問題的特征：結構：靜定基+多余約束力系：未知力數超過獨立平衡方程數多余約束多余約束簡單的剛體系統平衡問題簡單的剛體系統平衡問題剛體系統（物體系統）剛體系統（物體系統）實際工程中，由若干個構件通過一定的約束組

20、合而成的結構和機構系統處于平衡狀態時，該系統中每一個物體必定處于平衡狀態在平面任意力系作用下，系統中的每個構件可寫出三個獨立的平衡方程，剛體系統由n個剛體組成則可寫出3n個獨立的平衡方程，求解3n個未知量剛體系統受到平面匯交力系或者平面平行力系時，獨立平衡方程的數量相應減少。內力與外力內力與外力內力：系統內部物體之間的相互作用力外力：系統以外的物體作用在這個系統上的力內力與外力是相對的概念，研究對象不同時，可以相互轉化畫系統受力圖時，只畫外力，不畫內力APBDCRDRAPBDCAAPBCRCRA物體系統平衡解法物體系統平衡解法分離體的選取有多種方法，必須有一個恰當恰當的選取分離體的順序，并且對

21、每個分離體又能夠恰當恰當的應用平衡方程。做到兩個“恰當恰當”必須首先了解整體和構件的受力情形，畫出受力圖，根據已知量與待求未知量之間的聯系，確定解題的思路。例：水平梁由AC和CD兩部分組成，已知P=2kN，Q=1kN，q=0.5kN/m。qB=0.6kN/m。求支座A，B的約束反力。思路解題中第一個分離體的選取有三種方法整體；梁AC；梁CD欲建立正確的選取順序，首先應對整體和各部分進行受力分析，畫出受力圖，看未知量的數目0.510.51PqQqBACBDmAPqQqBACBDYAXARBXAXCCPqAmAYAYCQqBBDYCXCRBC平面任意力系平衡方程最多可求解三個未知數取整體研究四個未

22、知量取AC梁研究五個未知量取CD梁研究三個未知量mAPqQqBACBDYAXARBXAXCCPqAmAYAYCQqBBDYCXCRB不可解不可解不可解不可解可解可解解：取梁CD為分離體，作受力圖列平衡方程取系統作分離體，列平衡方程QqBBDYCXCRB0)(Fmc01215 . 01BBqQRkNRB9 . 0mAPqQqBACBDYAXARB00AXX，012110BBAqqQPNYY，kNYA9 . 20)(FmAmkNmA55. 203101212315 . 25 . 03BBAqqQPNm例：支架由滑輪D，桿AB和CBD構成，繩繞過滑輪，一端掛重為G的物塊，另一端系在桿AB的E處，尺寸

23、如圖。求A，B，C處約束反力思路：根據題中的已知條件，第一個 分離體有三種選擇整體；桿AB；桿CD，滑輪和重物BACEDlllXAYAXCYCEBATEXBYBYAXAXBBCDXCYCTEYBr以上三個分離體均有四個未知量，無法解？ 解：取桿CD、滑輪、重物為分離體，作受力圖列平衡方程取整體為分離體，做出受力圖，列平衡方程0)(FmB0)(rlGlYrTCEGYcXBBCDXCYCTEYBBACEDlllXAYAXCYC0)(FmA0)2(rlGlXCGlrXC)2( 再取桿CD、滑輪、重物為分離體從本例可知：利用兩鉸位于同一水平線或同一鉛垂線，從本例可知：利用兩鉸位于同一水平線或同一鉛垂線，應用力矩方程，直接求出一個未知量，減少某些剛體的應用力矩方程，直接求出一個未知量，減少某些剛體的未知量，這是經常使用的方法，必須予以重視。未知量，這是經常使用的方法，必須予以重視。XBBCDXCYCTEYB0X0EBCTXXGlrXB)1 ( 0Y0GYYCBGYC2例：圖示三鉸拱。已知P=6