1、第九章a 第四講時(shí)間：60分鐘總分值：100分一、選擇題(8×540分)1二面角l的大小為30°，m，n為異面直線，且m，n，那么m，n所成的角為()a30°b90°c120°d150°答案：a解析：兩異面直線所成的角0°90°，故排除b、c、d.2(·吉林延邊一模)正方體abcda1b1c1d1中，e為bc1的中點(diǎn)，那么異面直線a1e與cd1所成角等于()a90° b60° c45° d30°答案：d解析：如圖，a1e與cd1所成角等于ba1e，因?yàn)閍1bc1為等

2、邊三角形，又e為bc1中點(diǎn)，所以ba1e30°.應(yīng)選d.3(·黑龍江大慶一模)如下圖，在正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別是ab、b1c的中點(diǎn)，那么ef和平面abcd所成角的正切值為()a. b. c. d2答案：b解析：取bc中點(diǎn)m，連結(jié)fm，那么fm平面abcd，連結(jié)em，那么fem為所求角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，那么fm1，em，tanfem.應(yīng)選b.4在四面體abcd中，ad平面dbc，bddc，ad，bddc，那么二面角abcd的大小為()a30° b45°c60° d75°答案：c解析：取bc中點(diǎn)e，易知bc2，ab

3、ac，ae2，de1，ae2ad2de2，知所求角為60°.5如下列圖所示，在三棱錐pabc中，pa平面abc，bac90°，abac，d、e分別是bc、ab的中點(diǎn)，ac>ad，設(shè)pc與de所成的角為，pd與平面abc所成的角為，二面角pbca的平面角為，那么、的大小關(guān)系是()a<< b<<c<< d<<答案：a解析：此題考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角的概念和計(jì)算過(guò)a作afbc于f，連結(jié)pf，那么pfa為二面角pbca的平面角，pfa，pca為異面直線de與pc的夾角，即pca，連ad，pd與平

4、面abc的夾角為pdapda，acab，af<ad，又ac>adaf<ad<ac>>tan>tan>tan，又、為銳角，<<，應(yīng)選a.6(·全國(guó)，9)三棱柱abca1b1c1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，a1在底面abc上的射影為bc的中點(diǎn)，那么異面直線ab與cc1所成的角的余弦值為()a. b. c. d.答案：d解析：如圖，d為bc的中點(diǎn)，那么由題意得a1adbad30°，由三角形余弦公式得cosa1ab，那么異面直線ab與cc1所成的角的余弦值為，應(yīng)選d.7(·保定市高三年級(jí)調(diào)研考試)在正四面體sabc中，

5、e為sa的中點(diǎn)，f為abc的中心，那么直線ef與平面abc所成的角的大小為()aarccos b45°carctan darctan答案：c解析：如圖連接sf，那么sf平面abc.連結(jié)af并延長(zhǎng)交bc于h，取線段af的中點(diǎn)g，連結(jié)eg，由e為sa的中點(diǎn)，得egsf，eg平面abc，efg即為ef與平面abc所成的角設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，那么aha，且afaha；在rtage中，ae，agafa，ega90°，ega.在rtegf中，fgafa，ega，egf90°，tanefg，efgarctan，即ef與平面abc所成的角為arctan，應(yīng)選c.8(·

6、東北四市聯(lián)考)把正方形abcd沿對(duì)角線ac折起，當(dāng)以a、b、c、d四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線bd和平面abc所成的角的大小為()a90° b60° c45° d30答案：c解析：如圖由條件可知面abc面acd時(shí)，三棱錐體積最大，如右圖，dbe為所求的角，debe.dbe是等腰直角三角形，故dbe45°，選c.二、填空題(4×520分)9(·上海)如下圖，假設(shè)正四棱柱abcda1b1c1d1的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，那么異面直線bd1與ad所成角的大小是_(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)答案：arctan解析：連接d1c.adbc，d1

7、bc即為異面直線bd1與ad所成的角在rtbcd1中，bc2，cd12，tand1bc，d1bcarctan.10(教材改編題)在正四面體abcd中，e為ad的中點(diǎn)，那么二面角ebcd的余弦值為_(kāi)答案：解析：如圖取bc的中點(diǎn)f，連結(jié)ef、df，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a，那么becedfa，decfa，ef2ce2cf2(a)2(a)2a2，efa.易知bcef，bcdf，efd即為所求二面角的平面角cosefd.11一個(gè)平面與正方體的12條棱的夾角均為，那么sin_.答案：解析：如圖平面與十二條棱所成的角相等，可歸結(jié)為與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即db，dc，da與平面abc所成的角相等易算得sin

8、.12(·北京崇文一模)如下圖，等腰梯形abcd，e、f分別是下底邊bc邊上的三等分點(diǎn)，adae1，bc3，假設(shè)把三角形abe和dcf分別沿ae和df折起，使得b、c兩點(diǎn)重合于一點(diǎn)p，那么二面角pefd的大小為_(kāi)答案：解析：如圖為折疊后的幾何體，二面角pefd的大小即為側(cè)面aefd與底面efp所成的角，顯然為.三、解答題(4×1040分)13(·重慶)如下圖，四棱錐pabcd中，abad，addc，pa底面abcd，paaddcab1，m為pc的中點(diǎn)，n點(diǎn)在ab上且annb.(1)求證：mn平面pad；(2)求直線mn與平面pcb所成的角解析：(1)證明：過(guò)點(diǎn)m作

9、mecd交pd于e點(diǎn)，連結(jié)ae.annb，anabdcem.又emdcab，em綊an，aemn為平行四邊形，mnae，mn平面pad.(2)解：過(guò)n點(diǎn)作nqap交bp于點(diǎn)q，nfcb于點(diǎn)f.連結(jié)qf，過(guò)n點(diǎn)作nhqf于h，連結(jié)mh，易知qn面abcd，qnbc，而nfbc，bc面qnf，bcnh，而nhqf，nh平面pbc，nmh為直線mn與平面pcb所成的角通過(guò)計(jì)算可得mnae，qn，nf，nh，sinnmh，nmh60°，直線mn與平面pcb所成的角為60°.14(·廣西柳州三模)如下圖，直平行六面體abcda1b1c1d1中，adbd，adbda，e是cc

10、1的中點(diǎn)，a1dbe.(1)求證：a1d平面bde；(2)求二面角bdec的大小解析：(1)證明：在直平行六面體abcda1b1c1d1中，aa1平面abcd，aa1bd.又bdad，bd平面add1a1，即bda1d.又a1dbe且bebdb，a1d平面bde.(2)解：如圖，連b1c，那么b1cbe，易證rtbcertb1bc，又e為cc1中點(diǎn)，bc2bb.bb1bca.取cd中點(diǎn)m，連結(jié)bm，那么bm平面cc1d1c，作mnde于n，連nb，由三垂線定理知：bnde，那么bnm是二面角bdec的平面角在rtbdc中，bma，rtced中，易求得mna，rtbmn中，tanbnm，那么二面

11、角bdec的大小為arctan.15如圖，正方體abcda1b1c1d1中，e為ab的中點(diǎn)(1)求直線b1c與de所成的角的余弦值；(2)求證：平面eb1d平面b1cd；(3)求二面角eb1cd的余弦值解析：(1)連結(jié)a1d，那么由a1db1c知，b1c與de所成的角即為a1d與de所成的角連結(jié)a1e，由正方體abcda1b1c1d1，可設(shè)其棱長(zhǎng)為a，那么a1da，a1edea，cosa1de.直線b1c與de所成角的余弦值是.(2)證明取b1c的中點(diǎn)f，b1d的中點(diǎn)g，連結(jié)bf，eg，gf.cd平面bcc1b1，且bf平面bcc1b1，dcbf.又bfb1c，cdb1cc，bf平面b1cd.

12、又gf綊cd，be綊cd，gf綊be，四邊形bfge是平行四邊形，bfge，ge平面b1cd.ge平面eb1d，平面eb1d平面b1cd.(3)連結(jié)ef.cdb1c，gfcd，gfb1c.又ge平面b1cd，efb1c，efg是二面角eb1cd的平面角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，那么在efg中，gfa，efa，cosefg，二面角eb1cd的余弦值為.16(·全國(guó)，18)如下圖，直三棱柱abca1b1c1中，abac，d、e分別為aa1、b1c的中點(diǎn)，de平面bcc1.(1)求證：abac；(2)設(shè)二面角abdc為60°，求b1c與平面bcd所成的角的大小解析：(1)證明：取bc中點(diǎn)f，連結(jié)ef，那么ef綊b1b，從而ef綊da.連結(jié)af，那么adef為平行四邊形，從而afde.又de平面bcc1，故af平面bcc1，從而afbc，即af為bc的垂直平分線，所以abac.(2)解：作agbd，垂足為g，連結(jié)cg.由三垂線定理知cgbd，故agc為二面角abdc的平面角由題設(shè)知，agc60°.設(shè)ac2，那么ag.又ab2，bc2，故af.由ab·adag·b