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1、第九章a 第四講時(shí)間:60分鐘總分值:100分一、選擇題(8×540分)1二面角l的大小為30°,m,n為異面直線,且m,n,那么m,n所成的角為()a30°b90°c120°d150°答案:a解析:兩異面直線所成的角0°90°,故排除b、c、d.2(·吉林延邊一模)正方體abcda1b1c1d1中,e為bc1的中點(diǎn),那么異面直線a1e與cd1所成角等于()a90° b60° c45° d30°答案:d解析:如圖,a1e與cd1所成角等于ba1e,因?yàn)閍1bc1為等
2、邊三角形,又e為bc1中點(diǎn),所以ba1e30°.應(yīng)選d.3(·黑龍江大慶一模)如下圖,在正方體abcda1b1c1d1中,e、f分別是ab、b1c的中點(diǎn),那么ef和平面abcd所成角的正切值為()a. b. c. d2答案:b解析:取bc中點(diǎn)m,連結(jié)fm,那么fm平面abcd,連結(jié)em,那么fem為所求角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,那么fm1,em,tanfem.應(yīng)選b.4在四面體abcd中,ad平面dbc,bddc,ad,bddc,那么二面角abcd的大小為()a30° b45°c60° d75°答案:c解析:取bc中點(diǎn)e,易知bc2,ab
3、ac,ae2,de1,ae2ad2de2,知所求角為60°.5如下列圖所示,在三棱錐pabc中,pa平面abc,bac90°,abac,d、e分別是bc、ab的中點(diǎn),ac>ad,設(shè)pc與de所成的角為,pd與平面abc所成的角為,二面角pbca的平面角為,那么、的大小關(guān)系是()a<< b<<c<< d<<答案:a解析:此題考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角的概念和計(jì)算過(guò)a作afbc于f,連結(jié)pf,那么pfa為二面角pbca的平面角,pfa,pca為異面直線de與pc的夾角,即pca,連ad,pd與平
4、面abc的夾角為pdapda,acab,af<ad,又ac>adaf<ad<ac>>tan>tan>tan,又、為銳角,<<,應(yīng)選a.6(·全國(guó),9)三棱柱abca1b1c1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等,a1在底面abc上的射影為bc的中點(diǎn),那么異面直線ab與cc1所成的角的余弦值為()a. b. c. d.答案:d解析:如圖,d為bc的中點(diǎn),那么由題意得a1adbad30°,由三角形余弦公式得cosa1ab,那么異面直線ab與cc1所成的角的余弦值為,應(yīng)選d.7(·保定市高三年級(jí)調(diào)研考試)在正四面體sabc中,
5、e為sa的中點(diǎn),f為abc的中心,那么直線ef與平面abc所成的角的大小為()aarccos b45°carctan darctan答案:c解析:如圖連接sf,那么sf平面abc.連結(jié)af并延長(zhǎng)交bc于h,取線段af的中點(diǎn)g,連結(jié)eg,由e為sa的中點(diǎn),得egsf,eg平面abc,efg即為ef與平面abc所成的角設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a,那么aha,且afaha;在rtage中,ae,agafa,ega90°,ega.在rtegf中,fgafa,ega,egf90°,tanefg,efgarctan,即ef與平面abc所成的角為arctan,應(yīng)選c.8(·
6、東北四市聯(lián)考)把正方形abcd沿對(duì)角線ac折起,當(dāng)以a、b、c、d四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí),直線bd和平面abc所成的角的大小為()a90° b60° c45° d30答案:c解析:如圖由條件可知面abc面acd時(shí),三棱錐體積最大,如右圖,dbe為所求的角,debe.dbe是等腰直角三角形,故dbe45°,選c.二、填空題(4×520分)9(·上海)如下圖,假設(shè)正四棱柱abcda1b1c1d1的底面邊長(zhǎng)為2,高為4,那么異面直線bd1與ad所成角的大小是_(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)答案:arctan解析:連接d1c.adbc,d1
7、bc即為異面直線bd1與ad所成的角在rtbcd1中,bc2,cd12,tand1bc,d1bcarctan.10(教材改編題)在正四面體abcd中,e為ad的中點(diǎn),那么二面角ebcd的余弦值為_(kāi)答案:解析:如圖取bc的中點(diǎn)f,連結(jié)ef、df,設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a,那么becedfa,decfa,ef2ce2cf2(a)2(a)2a2,efa.易知bcef,bcdf,efd即為所求二面角的平面角cosefd.11一個(gè)平面與正方體的12條棱的夾角均為,那么sin_.答案:解析:如圖平面與十二條棱所成的角相等,可歸結(jié)為與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即db,dc,da與平面abc所成的角相等易算得sin
8、.12(·北京崇文一模)如下圖,等腰梯形abcd,e、f分別是下底邊bc邊上的三等分點(diǎn),adae1,bc3,假設(shè)把三角形abe和dcf分別沿ae和df折起,使得b、c兩點(diǎn)重合于一點(diǎn)p,那么二面角pefd的大小為_(kāi)答案:解析:如圖為折疊后的幾何體,二面角pefd的大小即為側(cè)面aefd與底面efp所成的角,顯然為.三、解答題(4×1040分)13(·重慶)如下圖,四棱錐pabcd中,abad,addc,pa底面abcd,paaddcab1,m為pc的中點(diǎn),n點(diǎn)在ab上且annb.(1)求證:mn平面pad;(2)求直線mn與平面pcb所成的角解析:(1)證明:過(guò)點(diǎn)m作
9、mecd交pd于e點(diǎn),連結(jié)ae.annb,anabdcem.又emdcab,em綊an,aemn為平行四邊形,mnae,mn平面pad.(2)解:過(guò)n點(diǎn)作nqap交bp于點(diǎn)q,nfcb于點(diǎn)f.連結(jié)qf,過(guò)n點(diǎn)作nhqf于h,連結(jié)mh,易知qn面abcd,qnbc,而nfbc,bc面qnf,bcnh,而nhqf,nh平面pbc,nmh為直線mn與平面pcb所成的角通過(guò)計(jì)算可得mnae,qn,nf,nh,sinnmh,nmh60°,直線mn與平面pcb所成的角為60°.14(·廣西柳州三模)如下圖,直平行六面體abcda1b1c1d1中,adbd,adbda,e是cc
10、1的中點(diǎn),a1dbe.(1)求證:a1d平面bde;(2)求二面角bdec的大小解析:(1)證明:在直平行六面體abcda1b1c1d1中,aa1平面abcd,aa1bd.又bdad,bd平面add1a1,即bda1d.又a1dbe且bebdb,a1d平面bde.(2)解:如圖,連b1c,那么b1cbe,易證rtbcertb1bc,又e為cc1中點(diǎn),bc2bb.bb1bca.取cd中點(diǎn)m,連結(jié)bm,那么bm平面cc1d1c,作mnde于n,連nb,由三垂線定理知:bnde,那么bnm是二面角bdec的平面角在rtbdc中,bma,rtced中,易求得mna,rtbmn中,tanbnm,那么二面
11、角bdec的大小為arctan.15如圖,正方體abcda1b1c1d1中,e為ab的中點(diǎn)(1)求直線b1c與de所成的角的余弦值;(2)求證:平面eb1d平面b1cd;(3)求二面角eb1cd的余弦值解析:(1)連結(jié)a1d,那么由a1db1c知,b1c與de所成的角即為a1d與de所成的角連結(jié)a1e,由正方體abcda1b1c1d1,可設(shè)其棱長(zhǎng)為a,那么a1da,a1edea,cosa1de.直線b1c與de所成角的余弦值是.(2)證明取b1c的中點(diǎn)f,b1d的中點(diǎn)g,連結(jié)bf,eg,gf.cd平面bcc1b1,且bf平面bcc1b1,dcbf.又bfb1c,cdb1cc,bf平面b1cd.
12、又gf綊cd,be綊cd,gf綊be,四邊形bfge是平行四邊形,bfge,ge平面b1cd.ge平面eb1d,平面eb1d平面b1cd.(3)連結(jié)ef.cdb1c,gfcd,gfb1c.又ge平面b1cd,efb1c,efg是二面角eb1cd的平面角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,那么在efg中,gfa,efa,cosefg,二面角eb1cd的余弦值為.16(·全國(guó),18)如下圖,直三棱柱abca1b1c1中,abac,d、e分別為aa1、b1c的中點(diǎn),de平面bcc1.(1)求證:abac;(2)設(shè)二面角abdc為60°,求b1c與平面bcd所成的角的大小解析:(1)證明:取bc中點(diǎn)f,連結(jié)ef,那么ef綊b1b,從而ef綊da.連結(jié)af,那么adef為平行四邊形,從而afde.又de平面bcc1,故af平面bcc1,從而afbc,即af為bc的垂直平分線,所以abac.(2)解:作agbd,垂足為g,連結(jié)cg.由三垂線定理知cgbd,故agc為二面角abdc的平面角由題設(shè)知,agc60°.設(shè)ac2,那么ag.又ab2,bc2,故af.由ab·adag·b
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