1、第第3 3講講 等比數列等比數列1. 理解等比數列的概念理解等比數列的概念2掌握等比數列的通項公式與前掌握等比數列的通項公式與前n項和公式項和公式3能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應 的問題的問題4了解等比數列與指數函數的關系了解等比數列與指數函數的關系.【考綱下載考綱下載】1等比數列的有關概念等比數列的有關概念 (1)等比數列的定義：如果一個數列從第等比數列的定義：如果一個數列從第 項起，每一項與它的前一項的比項起，每一項與它的前一項的比等于等于 ， 這個數列就叫做等比數列，其中常數叫做等比數列的這個數

2、列就叫做等比數列，其中常數叫做等比數列的 ， 記作記作q. (2)通項公式：等比數列通項公式：等比數列an的首項為的首項為a1，公比為，公比為q，則稱，則稱an 為為數列數列 an的通項公式的通項公式 (3)等比中項：如果等比中項：如果a，G，b成等比數列，那么成等比數列，那么 叫做叫做a與與b的等比中項，且的等比中項，且 ab.2同一個常數同一個常數 a1qn1G公比公比G2提示：提示：等比數列的定義與等差數列的定義從字面上看相似，就是等比數列的定義與等差數列的定義從字面上看相似，就是“比比”與與“差差”的區別，但等比數列隱含著數列的各項不為零，公比不為零，項與公的區別，但等比數列隱含著數列

3、的各項不為零，公比不為零，項與公式的正負號有著密切的關系等等式的正負號有著密切的關系等等【思考思考】 推導等比數列的前推導等比數列的前n項和公式的方法是什么？你掌握了嗎？不項和公式的方法是什么？你掌握了嗎？不 妨看一下課本妨看一下課本 答案：答案：錯位相減法錯位相減法3等比數列的重要性質等比數列的重要性質 (1)若若mnpq，則，則amanapaq(m，n，p，qN*) (2)ana1qn1可推廣為可推廣為anamqnm. (3)設等比數列設等比數列an的首項為的首項為a1，公比為，公比為q. 當當q1，a10或或0q1，a11，a10或或0q0時，數列時，數列an為遞減數列；為遞減數列； 當

4、當q1時，數列時，數列an是是(非零非零)常數列；常數列； 當當q2pq，又，又a1、b1不為零，不為零， 因此因此c c1c3，故，故cn不是等比數列不是等比數列.巧用性質，可以減少計算量，同時需要有敏銳的觀察能力和應對能力巧用性質，可以減少計算量，同時需要有敏銳的觀察能力和應對能力 【例例3】 等比數列等比數列an的前的前n項和等于項和等于2，緊接在后面的，緊接在后面的2n項和等于項和等于12，再緊接其后的，再緊接其后的3n項和為項和為S，求出，求出S.思維點撥：思維點撥：利用等比數列的性質求解或利用整體代換，通過利用等比數列的性質求解或利用整體代換，通過求求 qn和和 來解決問題來解決問

5、題解：解法一：解：解法一：設依次設依次n項之和分別為項之和分別為：A1，A2，A3則有則有A12，A2A312，A4A5A6S，而數列而數列An為等比數列，公比為為等比數列，公比為qn，A2A32qn2q2n，2qn2q2n12，q2nqn60，qn2或或qn3.當當qn2時時，SA4A5A6223224225112；當當qn3時時，SA4A5A62(3)32(3)42(3)5378.所以所以S的值為的值為112或或378.解法二：解法二：由題意得由題意得q1，且且qn(qn1)6，qn2或或qn3.S223(123)112或或S (3)31(3)3378.拓展拓展3：將本例中條件改為前將本例

6、中條件改為前n項和為項和為2，前，前2n項為項為12，求前，求前3n項和項和解：解：由等比數列的性質可知，由等比數列的性質可知，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數列仍成等比數列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即即1022(S3n12)，S3n62.由于數列和函數之間有著密切的聯系，所以在解決許多數列問題時，應善于運由于數列和函數之間有著密切的聯系，所以在解決許多數列問題時，應善于運用函數與方程的思想方法解決問題用函數與方程的思想方法解決問題【例例4】 設數列設數列an，a1 若以若以a1，a2，an為系數的二次方程為系數的二次方程an1x2anx 10(nN*且且n2)都有根都有根

7、、滿足滿足331. (1)求證：求證： 為等比數列；為等比數列； (2)求求an； (3)求求an的前的前n項和項和Sn.證明：證明：(1)將將 代入代入331，得得an 為定值為定值數列數列 是等比數列是等比數列(2)解：解：a1 an【方法規律方法規律】等比數列的定義，通項公式，前等比數列的定義，通項公式，前n項和公式是解決等比數列中的有關計算、討項和公式是解決等比數列中的有關計算、討論等比數列的有關性質的問題的基礎和出發點論等比數列的有關性質的問題的基礎和出發點1確定等比數列的關鍵是確定首項確定等比數列的關鍵是確定首項a1和公比和公比q.2在等比數列通項公式和前在等比數列通項公式和前n項

8、和公式中共涉及五個量項和公式中共涉及五個量an，a1，n，q，Sn， 可可“知三求二知三求二”3等比數列求和公式的推導的思想可用于等比數列與等差數列對應項之積等比數列求和公式的推導的思想可用于等比數列與等差數列對應項之積 構成的數列求和問題，即利用錯位相消的方法去求數列的前構成的數列求和問題，即利用錯位相消的方法去求數列的前n項和項和4在利用等比數列前在利用等比數列前n項和公式時，一定要對公比項和公式時，一定要對公比q1或或q1作出判斷；作出判斷； 計算過程中要注意整體代入的思想方法計算過程中要注意整體代入的思想方法5等差數列與等比數列的關系是：等差數列與等比數列的關系是： (1)若一個數列既

9、是等差數列，又是等比數列，則此數列是非零常數列；若一個數列既是等差數列，又是等比數列，則此數列是非零常數列； (2)若若an是等比數列，且是等比數列，且an0，則，則lg an構成等差數列構成等差數列【高考真題高考真題】(2009山東卷山東卷)等比數列等比數列an的前的前n項和為項和為Sn，已知對任意的，已知對任意的nN*，點，點 (n，Sn)均在函數均在函數ybxr(b0且且b1，b，r均為常數均為常數)的圖象上的圖象上(1)求求r的值；的值；(2)當當b2時，記時，記bn (nN*)，求數列，求數列bn的前的前n項和項和Tn.【規范解答規范解答】解：解：(1)由題意由題意，Snbnr，當當

10、n2時時，Sn1bn1r，所以所以anSnSn1bn1(b1)，由于由于b0且且b1，所以當所以當n2時時，an是以是以b為公比的等比數列，為公比的等比數列，又又a1br，a2b(b1)，(2)由由(1)知，知，nN*，an(b1)bn1，當當b2時，時，an2n1，所以，所以bn兩式相減得兩式相減得故故Tn (nN*)【探究與研究探究與研究】創新是高考命題的要求，創新是高考命題的要求，考試大綱考試大綱提出命題要提出命題要“創設比較新穎的問題情創設比較新穎的問題情境境”，同時，同時，“在知識的交匯點處設計命題在知識的交匯點處設計命題”是近年來高考命題的一種趨勢，是近年來高考命題的一種趨勢，本題

11、將數列的遞推關系式以點在函數圖象上的方式給出，體現了這種命題理念，本題將數列的遞推關系式以點在函數圖象上的方式給出，體現了這種命題理念，也滲透了數列是定義在正整數集上的函數觀念第也滲透了數列是定義在正整數集上的函數觀念第(2)問中對問中對b的賦值，旨的賦值，旨在使問題變得簡捷，也使設置的數列求和問題降低難度，達到在使問題變得簡捷，也使設置的數列求和問題降低難度，達到“不求在細節不求在細節上人為地設置障礙，而是在大方向上考查考生的數學能力上人為地設置障礙，而是在大方向上考查考生的數學能力”的命題指導思想的命題指導思想本題在設置等比數列的遞推關系式時，以點本題在設置等比數列的遞推關系式時，以點(n

12、，Sn)在函數在函數ybxr的圖象上的的圖象上的方式給出，這種命題方式與方式給出，這種命題方式與2008年福建一道文科題有相似之處：年福建一道文科題有相似之處：“已知已知an是是正數組成的數列，正數組成的數列，a11，且點，且點( an1)(nN*)在函數在函數yx21的圖象的圖象上上(1)求數列求數列an的通項公式；的通項公式；(2)若數列若數列bn滿足滿足b11，bn1bn2an，求證：，求證：bnbn2 本題中增加了對參數本題中增加了對參數r的求解，因此，如何正確求出的求解，因此，如何正確求出r的值，的值，成為本題的解題思考點，這恰好需要對遞推關系式成為本題的解題思考點，這恰好需要對遞推

13、關系式an的正確理解的正確理解(理解題目的條件：數列理解題目的條件：數列an是等比數列，則是等比數列，則a1S1滿足數列遞滿足數列遞推式推式)第第(2)問求數列問求數列bn的前的前n項和項和Tn，所用的方法是錯位相減法，也是，所用的方法是錯位相減法，也是課本中推導等比數列前課本中推導等比數列前n項和公式時所用的方法高考復習歷來提倡回歸項和公式時所用的方法高考復習歷來提倡回歸課本，理解教材，例題的求解方法、公式的推導方法，都需要我們在回課本，理解教材，例題的求解方法、公式的推導方法，都需要我們在回歸課本中積累知識，提煉方法，形成能力歸課本中積累知識，提煉方法，形成能力在解答本題容易出錯的地方：一是忽視了由在解答本題容易出錯的地方：一是忽視了由Sn求求an時的分段，沒有辦法求出時的分段，沒有辦法求出r的值；二是在用錯位相減求和時忽視了對的值；二是在用錯位相減求和時忽視了對“開頭的項開頭的項”和和“結尾的項結尾的項”的的仔細處理，計算漏項或添項在解決這類數列問題時一定要有分類的思想，仔細處理，計算漏項或添項在解決這類數列問題時一定要有分類的思想，在進行計算時要注意做到不漏項也不添加項在進行計算時要注意做到不漏項也不添加項【技巧點撥技巧點撥】已知已知