1、初中數學競賽輔導資料8換元法甲內容提要1.換元就是引入輔助未知數.把題中某一個些字母的表達式用另一個些字母的表達式來代換，這種解題方法，叫做換元法，又稱變量代換法.2.換元的目的是化繁為簡，化難為易，溝通和未知的聯系.例如通過換元來降次，或化分式、根式為整式等.換元的關鍵是選擇適當的式子進行代換.3.換元要注意新舊變元的取值范圍的變化.要防止代換的新變量的取值范圍被縮小；假設新變量的取值范圍擴大了，那么在求解之后要加以檢驗.4.解二元對稱方程組，常用二元根本對稱式代換.5. 倒數方程的特點是：按未知數降冪排列后，與首、末等距離的項的系數相等.例如：一元四次的倒數方程ax4+bx3+cx2+bx

2、+a=0.兩邊都除以x2,得a(x2+)+b(x+)+c=0.設x+=y, 那么x2+= y22, 原方程可化為ay2+by+c2=0.對于一元五次倒數方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0， 必有一個根是1.原方程可化為(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，這是四次倒數方程.形如ax4bx3+cx2bx+a=0 的方程，其特點是： 與首、末等距離的偶數次冪項的系數相等，奇數次冪的系數是互為相反數.兩邊都除以x2, 可化為a(x2+)b(x)+c=0.設x=y, 那么x2+=y2+2, 原方程可化為 ay2by+c+

3、2=0.乙例題例1.解方程=x.解：設=y, 那么y2=2x+2.原方程化為：yy2=0 .解得 y=0；或y=2.當y=0時，=0 (無解) 當y=2時，=2， 解得，x=.檢驗略. 例2.解方程：x4+(x4)4=626.解：用平均值代換，可化為雙二次方程.設 y= x2 ，那么x=y+2.原方程化為(y+2)4+(y2)4=626. (y+2)2(y2)2)22(y+2)2(y2)2626=0整理，得y4+24y2297=0. (這是關于y的雙二次方程).(y2+33)(y29)=0. 當y2+33=0時，無實根 ； 當y29=0時，y=±3.即x2=±3， x=5；

4、或x=1.例3.解方程：2x4+3x316x2+3x+2=0 . 解：這是個倒數方程，且知x0，兩邊除以x2,并整理得2(x2+)+3(x+)16=0. 設x+=y,那么x2+=y22.原方程化為2y2+3y20=0. 解得y=4；或y=.由y=4得x=2+；或x=2.由y=2.5得x=2；或x=.例4解方程組解：這個方程組的兩個方程都是二元對稱方程，可用根本對稱式代換. 設x+y=u, xy=v. 原方程組化為：. 解得；或.即；或 .解得：；或；或；或.丙練習52 解以下方程和方程組：1到15題：1. 352x.2.(16x29)2+(16x29)(9x216)+(9x216)2=(25x225)2.3.(2x+7)4+(2x+3)4=32 .4.(2x2x6)4+(2x2x8)4=16.5.(2)4+(2)4=16.6.=. 7.2x43x3x23x+2=0.8. 9.10.11.(6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. 13.14. . 15.16. 分解因式：(x+y2xy)(x+y2)+(1xy)2； a4+b4+(a+b)4 . 17. ：a+2=b2=c×2=d÷2, 且a+b+c+d=1989.那么a=_,b= _,c=_,d=_(1989年泉州市初