1、.數學奧賽輔導第一講 奇數、偶數、質數、合數知識、方法、技能I整數的奇偶性將全體整數分為兩類，凡是2的倍數的數稱為偶數，否則稱為奇數。因此，任一偶數可表為2m（mZ），任一奇數可表為2m+1或2m1的形式。奇、偶數具有如下性質： （1）奇數±奇數=偶數；偶數±偶數=偶數； 奇數±偶數=奇數；偶數×偶數=偶數； 奇數×偶數=偶數；奇數×奇數=奇數； （2）奇數的平方都可表為8m+1形式，偶數的平方都可表為8m或8m+4的形式（mZ）。 （3）任何一個正整數n，都可以寫成的形式，其中m為非負整數，l為奇數。這些性質既簡單又明顯，然而它卻能

2、解決數學競賽中一些難題。.質數與合數、算術基本定理大于1的整數按它具有因數的情況又可分為質數與合數兩類。一個大于1的整數，如果除了1和它自身以外沒有其他正因子，則稱此數為質數或素數，否則，稱為合數。顯然，1既不是質數也不是合數；2是最小的且是惟一的偶質數。定理：（正整數的惟一分解定理，又叫算術基本定理）任何大于1的整數A都可以分解成質數的乘積，若不計這些質數的次序，則這種質因子分解表示式是惟一的，進而A可以寫成標準分解式： （*）。其中為質數，為非負整數，i=1，2，n。【略證】由于A為一有限正整數，顯然A經過有限次分解可分解成若干個質數的乘積，把相同的質因子歸類整理可得如（*）的形式（嚴格論

3、證可由歸納法證明）。余下只需證惟一性。設另有為質數，為非負整數，j=1，2，m。由于任何一必為中之一，而任一也必居中之一，故n=m。又因，再者，若對某個i，（不妨設），用除等式兩端得：此式顯然不成立（因左端是的倍數，而右端不是）。故對一切i=1，2，n均成立。惟一性得證。推論：（合數的因子個數計算公式）若為標準分解式，則A的所有因子（包括1和A本身）的個數等于（簡記為）這是因為，乘積的每一項都是A的一個因子，故共有個。定理：質數的個數是無窮的。【證明】假定質數的個數只有有限多個考察整數由于且又不能被除盡，于是由算術基本定理知，a必能寫成一些質數的乘積，而這些質數必異于，這與假定矛盾。故質數有無

4、窮多個。賽題精講例1設正整數d不等于2，5，13。證明在集合2，5，13，d中可以找到兩個元素a，b，使得ab1不是完全平方數。 （第27屆IMO試題）【解】由于2×51=32，2×131=52，5×131=82，因此，只需證明2d1，5d1，13d1中至少有一個不是完全平方數。用反證法，假設它們都是完全平方數，令2d1=x2 5d1=y2 13d1=z2 x，y，zN*由知，x是奇數，設x=2k1，于是2d1=（2k1）2，即d=2k22k+1，這說明d也是奇數。因此，再由，知，y，z均是偶數。設y=2m，z=2n，代入、，相減，除以4得，2d=n2m2=（n+

5、m）（nm），從而n2m2為偶數，n，m必同是偶數，于是m+n與mn都是偶數，這樣2d就是4的倍數，即d為偶數，這與上述d為奇數矛盾。故命題得證。例2設a、b、c、d為奇數，證明：如果a+d=2k，b+c=2m，k，m為整數，那么a=1。 （第25屆IMO試題）【證明】首先易證：從而。再由因而 顯然，為偶數，為奇數，并且只能一個為4n型偶數，一個為4n+2型偶數（否則它們的差應為4的倍數，然而它們的差等于2a不是4的倍數），因此，如果設，其中e，f為奇數，那么由式及的特性就有（）或（） 由 得e=1，從而于是（）或（）分別變為或解之，得。因a為奇數，故只能a=1。例3設是一組數，它們中的每一個

6、都取1或1，而且a1a2a3a4+a2a3a4a5+ana1a2a3=0，證明：n必須是4的倍數。 （第26屆IMO預選題）【證明】由于每個均為1和1，從而題中所給的等式中每一項也只取1或1，而這樣的n項之和等于0，則取1或1的個數必相等，因而n必須是偶數，設n=2m。再進一步考察已知等式左端n項之乘積=（）4=1，這說明，這n項中取1的項（共m項）也一定是偶數，即m=2k，從而n是4的倍數。例4如n是不小于3的自然數，以表示不是n的因數的最小自然數例如=5。如果3，又可作。類似地，如果3，又可作等等。如果，就把k叫做n的“長度”。如果用表示n的長度，試對任意的自然數n（n3），求，并證明你的

7、結論。（第3屆全國中學生數學冬令營試題）【解】令為非負整數，t為奇數。 當m=0時，因而ln=1；當時，設u是不能整除奇數t的最小奇數，記（1）若（2）若故例5設n是正整數，k是不小于2的整數。試證：可表示成n個相繼奇數的和。【證明】對k用數學歸納法。當k=2時，因命題在立。 假設k=m時成立，即（a為某非負數） 則若記（顯然b為非負偶數），于是時，命題成立，故命題得證。例6在平面上任畫一條所有頂點都是格點的閉折線，并且各節的長相等。能使這閉折線的節數為奇數？證明你的結論。 （莫斯科數學競賽試題）【解】令符合題設條件的閉折線為A1A2AnA1，則所有頂點的坐標（）符合并且為一固定的正整數），其

8、中則由已知有 不妨設中至少有一個為奇數（因為設是指數最小的，ti為奇數，用2m除所有的數后，其商仍滿足、式），于是它們的平方和C只能為4k+1或4k+2。當C=4k+2時，由知，所有數對都必須是奇數，因此，根據、式知，n必為偶數。當C=4k+1時，由知，所有數對都必一奇一偶，而由知，Xi中為奇數的有偶數個（設為2u），余下的n2u個為偶數（與之對應的Yi必為奇數），再由知，這種奇數的Yi也應有偶數個（設為），故=偶數。綜上所述，不能作出滿足題設條件而有奇數個節的閉折線。例7求出最小正整數n，使其恰有144個不同的正因數，且其中有10個連續整數。（第26屆IMO預選題）【解】根據題目要求，n是1

9、0個連續整數積的倍數，因而必然能被2，3，10整數。由于8=23，9=32，10=2×5，故其標準分解式中，至少含有23·32·5·7的因式，因此，若設 則由而故最多還有一個為使n最小，自然宜取由考慮144的可能分解，并比較相應n的大小，可知合乎要求的（最小）故所求的下面講一個在指定集合內的“合數”的問題。這種合數與通常的合數有區別，題中的“素元素”是指在該集合內的素數，也與通常的素數有區別。例8設n>2為給定的正整數，試證：存在一數這個數可用不只一種方式表示成數集Vn中素元素的乘積。 （第19屆IMO試題）【證明】由于Vn中的數都不小于因而。顯然是Vn中的素元素。又若（2n1）2不是Vn中素元素，則有由此有于是從而b=1，a=1;b=1，a=2，b=1，a=3，對此就有故n=8。這說明 ，當就是Vn中素元素。當當n=8時，有1089=136×8+1=9×121=33×33，而9，121，33V8。綜上知，命題得證。例9已知n2，求證：如果對于整數k（）是質數，則對于所有整數都是質數。（第28