1、專題五立體幾何第三講空間向量與立體幾何一、選擇題1以下命題中，不正確的命題個數(shù)為 ()A0 B1 C2 D3解析：由向量的和運算知正確a，b，c為空間一個基底，則a，b，c為兩兩不共線的非零向量不妨假設abx(bc)y(ca)，即(1y)a(1x)b(xy)c0.a、b、c兩兩不共線，不存在實數(shù)x、y使假設成立，故正確中若加入xyz1則結論正確，故錯誤答案：B2在正方體ABCDA1B1C1D1中，給出以下向量表達式：答案：ADBC是銳角同理可證DCB，BDC都是銳角BCD是銳角三角形答案：B4如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中E、F分別在A1D、AC上，且A1EA1D，AFAC，則

2、()AEF至多與A1D、AC之一垂直BEF是A1D、AC的公垂線CEF與BD1相交DEF與BD1異面解析：設AB1，以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，答案：D5.(2010·山東煙臺)二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為 ()A.150° B45° C60° D120°答案：C二、填空題答案：3a3b5c7

3、.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，AA12，ACBC1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是_,解析：以C為坐標原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，A1(1,0,2)，B(0,1，0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，,8.設M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點，DEAB于E(如圖)現(xiàn)將ADE沿DE折起，使二面角ADEB為45°，此時點A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點B，則M、N的連線與AE所在角的大小等于_答案：90°9.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點

4、，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關系是_,解析：分別以C1B1、C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系,A1MANa，,M，N，答案：平行三、解答題10.如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD，E為垂足(1)求證：BDA1C；(2)求二面角A1BDC1的大小；(3)求異面直線AD與BC1所成角的余弦解：(1)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，AC是A1C在平面ABCD上的射影BDAC，BDA1C.(2)如圖所示，以D為坐標原點，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直

5、角坐標系連結A1E、C1E、A1C1，與(1)同理可證BDA1E，BDC1E.A1EC1為二面角A1BDC1的平面角，由A1(2,0，)，C1(0,2，)，E，11(2010·山東，19)如圖，在五棱錐PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45°，AB2，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形(1)求證：平面PCD平面PAC；(2)求直線PB與平面PCD所成角的大小；(3)求四棱錐PACDE的體積解：(1)證明：在ABC中，因為ABC45°，BC4，AB2，所以AC2AB2BC22AB·BC·cos45

6、6;8，因此AC2.故BC2AC2AB2，所以BAC90°.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC.又PA、AC平面PAC，且PAACA，所以CD平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.(2)解法一：因為PAB是等腰三角形，所以PAAB2，因此PB4.又ABCD.所以點B到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離由于CD平面PAC，在RtPAC中，PA2，AC2，所以PC4.故PC邊上的高為2，此即為點A到平面PCD的距離所以B到平面PCD的距離為h2.設直線PB與平面PCD所成的角為，則sin ，又，所以.解法二：由(1)知AB、AC、AP兩兩相互

7、垂直，分別以AB、AC、AP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由于PAB是等腰三角形，所以PAAB2，又AC2，因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0，0,2)，因為ACED，CDAC，所以四邊形ACDE是直角梯形因為AE2，ABC45°，AEBC，所以BAE135°，因此CAE45°，故CDAE·sin 45°2×，所以D(，2，0)因為(0，2，2)，(，0,0)設m=（x，y，z）是平面PCD的一個法向量，則m·0，m·0，解得x0，yz，取y=1，得m=（0，1，1）

8、，又(2，0,2)，設表示向量與平面PCD的法向量m所成的角，因此直線PB與平面PCD所成的角為(3)因為ACED，CDAC，所以四邊形ACDE是直角梯形因為AE2，ABC45°，AEBC，所以BAE135°，因此CAE45°，故CDAE·sin 45°2×，EDACAE·cos 45°22×，所以S四邊形ACDE×3.PA平面ABCDE.VPACDE×3×22.12(2010·福建)如圖圓柱OO1內(nèi)有一個三棱柱ABCA1B1C1，棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，

9、且AB是圓O的直徑(1)證明：平面A1ACC1平面B1BCC1；(2)設ABAA1.在圓柱OO1內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)的概率為p.()當點C在圓周上運動時，求p的最大值；()記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為(0°<90°)當p取最大值時，求cos 的值解：解法一：(1)證明：A1A平面ABC，BC平面ABC，A1ABC.AB是圓O的直徑，BCAC.又ACA1AA，BC平面A1ACC1.而BC平面B1BCC1，所以平面A1ACC1平面B1BCC1.(2)()設圓柱的底面半徑為r，則ABAA12r，故三棱柱ABCA1B1C1的體積

10、V1AC·BC·2rAC·BC·r.又AC2BC2AB24r2，AC·BC2r2，當且僅當ACBCr時等號成立從而，V12r3.而圓柱的體積Vr2·2r2r3，故p，當且僅當ACBCr，即OCAB時等號成立所以，p的最大值等于.()由()可知，p取最大值時，OCAB.于是，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系Oxyz(如圖)，則C(r,0,0)，B(0，r,0)，B1(0，r，2r)BC平面A1ACC1，(r，r,0)是平面A1ACC1的一個法向量設平面B1OC的法向量n(x，y，z)，取z1，得平面B1OC的一個法向量為n(0，2,1)解法二：(1)同解法一(2)()設圓柱的底面半徑為r，則ABAA12r，故三棱柱ABCA1B1C1的體積V1AC·BC·2rAC·BC·r.設BAC(0°<<90°)，則ACABcos 2rcos ，BCABsin 2rsin ，由于AC·BC4r2sin cos 2r2sin 22r2，當且僅當sin 21即45°時等號成立故V12r3.而圓柱的體積Vr2·2r2r3，故p，當且僅當sin 21即45°時等號成立所以，p的最大值等于.()同解法一