1、 第四章第四章 直線與平面、兩平面的相對位置直線與平面、兩平面的相對位置本章重點討論的三個問題：本章重點討論的三個問題：1、在投影圖上如何繪制及判別直線與平面和、在投影圖上如何繪制及判別直線與平面和兩平面的平行問題。兩平面的平行問題。2、假設直線與平面及兩平面不平行，在投影、假設直線與平面及兩平面不平行，在投影圖上如何求其交點或交線。圖上如何求其交點或交線。3、在投影圖上如何繪制及判別直線與平面和、在投影圖上如何繪制及判別直線與平面和兩平面的垂直問題。兩平面的垂直問題。ABCEFabcefDd4-1 直線與平面平行直線與平面平行 兩平兩平 面平行面平行一、直線與平面平行一、直線與平面平行 假設

2、不斷線平行于某平面上的任不斷線，那假設不斷線平行于某平面上的任不斷線，那么該直線與平面平行。么該直線與平面平行。 據(jù)此可以處理據(jù)此可以處理:1. 作直線平行于知平面作直線平行于知平面2. 作平面平行于知直線作平面平行于知直線3. 判別直線能否于平面平行判別直線能否于平面平行例題例題4.1 試過點試過點N作程度線作程度線MN平行于平行于ABC平面平面分析分析作圖作圖babcnacnXO1. 在在ABC平面上任作平面上任作一程度線一程度線BD2. 過點過點N作直線作直線MN平行平行與直線與直線BDdmmd直線直線 MN 即為所求即為所求例題例題4.2 試過點試過點A作平面作平面ABC平行于直線平行

3、于直線MN分析分析作圖作圖1. 作直線作直線ACMN2. 過點過點A任作直線任作直線ABABC 即為所求即為所求bccbmmannaXO例題例題4.3 試判別直線試判別直線EF能否平行于平面能否平行于平面ABCbabceaceXO分析分析作圖作圖在在ABC平面上任作平面上任作一輔助線一輔助線CD,且使且使cdef(或或cdef)2. 求出求出ABC上的上的CD直直線的另一投影線的另一投影cd(或或cd) 因因ef不平行不平行cd故故EF不平行與不平行與 ABCffd dABCMNEFmnabce (f) 當直線與投影面垂直面平行當直線與投影面垂直面平行時時,那么該直線必有一個投影與那么該直線必

4、有一個投影與平面具有積聚性的那個投影平平面具有積聚性的那個投影平行行,且在平面有積聚性的那個投且在平面有積聚性的那個投影面上反映直線與平面間的真影面上反映直線與平面間的真實間隔。實間隔。 當直線與平面同時垂直與同當直線與平面同時垂直與同一投影面時一投影面時,該直線必與該平面該直線必與該平面平行平行,且在它們垂直的那個投影且在它們垂直的那個投影面上反映它們之間的真實間隔。面上反映它們之間的真實間隔。線面平行的特殊情況線面平行的特殊情況mnabce (f)mnabcefXO二、平面與平面平行二、平面與平面平行 假設一平面內兩相交直線對應平行于另一平假設一平面內兩相交直線對應平行于另一平面上的相交兩

5、直線，那么這兩平面相互平行。面上的相交兩直線，那么這兩平面相互平行。據(jù)此可以處理據(jù)此可以處理:1. 作平面平行于知平面作平面平行于知平面2. 判別兩能否平面平行判別兩能否平面平行4-1 直線與平面平行直線與平面平行 兩平兩平 面平行面平行一、直線與平面平行一、直線與平面平行ABCA1B1C1PQ例題例題4.4 試作試作EFGABC平面平面ebabceacXOffg分析分析作圖作圖在在ABC內作直線內作直線AMEF,MNFG(amef,mnfg)2. 求出求出AM ,MN的正面的正面投影投影mnmn3. 過過f作作efam、fgmn,那么那么EFG即為所求即為所求 g例題例題4.5 判別判別EF

6、G與與ABC平面能否平行平面能否平行gfabcegbcefaXObc平行平行gf但但bc 不平行不平行gf例題例題4.5 判別判別EFG與與ABC平面能否平行平面能否平行gfabcegbcefaXOba平行平行ge但但ba 不平行不平行gebc平行平行gf但但bc 不平行不平行gf因此，因此，EFG與與ABC平面不平行平面不平行例題例題4.6 判別兩平面能否平行判別兩平面能否平行dfgecbaafgdbcehh例題例題4.7 判別兩平面能否平行判別兩平面能否平行dfecbaaf dbceac平行平行df但但ac 不平行不平行df例題例題4.7 判別兩平面能否平行判別兩平面能否平行dfecbaa

7、f dbceac平行平行df但但ac 不平行不平行dfbc平行平行de但但bc 不平行不平行de因此兩平面不平行因此兩平面不平行ABCGHEFefacbh 假設兩平行平面同時垂直于假設兩平行平面同時垂直于同一投影面同一投影面,那么它們在該平面那么它們在該平面上的積聚性投影必然相互平行上的積聚性投影必然相互平行,且反映兩平行平面之間的真實且反映兩平行平面之間的真實間隔。間隔。面面平行的特殊情況面面平行的特殊情況efacbhghfgebac4-2 直線與平面相交直線與平面相交 兩平兩平 面相交面相交 直線與平面相交直線與平面相交,必有一個交點必有一個交點,它是直線與平它是直線與平面的共有點。面的共

8、有點。 平面與平面相交平面與平面相交,必有一個交線必有一個交線,它是兩平面的它是兩平面的共有線。共有線。 求解交線的方法求解交線的方法: 1. 作出交線上的兩個共有點作出交線上的兩個共有點 2. 作出交線上的一個共有點及交線的方向作出交線上的一個共有點及交線的方向求作交點或交線的過程求作交點或交線的過程:1. 求出交點或交線的投影求出交點或交線的投影2. 判別可見性判別可見性4-2 直線與平面相交直線與平面相交 兩平兩平 面相交面相交一、利用積聚性求交點和交線一、利用積聚性求交點和交線1. 普通位置直線與特殊位置平面相交ABCabcFEKfekbacbacefefbacbacefefkk 作圖

9、步驟作圖步驟 1. 利用積聚性求出利用積聚性求出K點程度投點程度投影影k 2. 利用點在線上的投影特性求利用點在線上的投影特性求出出K點正面投影點正面投影k 3. 判別可見性判別可見性121(2)y1y2,即點即點在點在點前方，前方，EK正面投影可正面投影可見見121(2)a bcbacefefkk 作圖步驟作圖步驟 1. 利用積聚性求出利用積聚性求出K點程度投點程度投影影k 2. 利用點在線上的投影特性求利用點在線上的投影特性求出出K點正面投影點正面投影k 3. 判別可見性判別可見性y1y2,即點即點在點在點前方，前方，EK正面投影可正面投影可見見4-2 直線與平面相交直線與平面相交 兩平兩

10、平 面相交面相交一、利用積聚性求交點和交線一、利用積聚性求交點和交線1. 普通位置直線與特殊位置平面相交2. 特殊位置直線與普通位置平面相交abcbace(f)efkkdd 分析分析 EF在正面的投影在正面的投影有積聚性，故交點有積聚性，故交點K的正面投影必與的正面投影必與EF的的正面投影重合，利用正面投影重合，利用面上取點的方法可求面上取點的方法可求出交點出交點K的程度投影的程度投影 作圖作圖 abcace(f)efkkdd4-2 直線與平面相交直線與平面相交 兩平兩平 面相交面相交一、利用積聚性求交點和交線一、利用積聚性求交點和交線1. 普通位置直線與特殊位置平面相交2. 特殊位置直線與普

11、通位置平面相交3. 特殊位置平面與普通位置平面相交klabcbacefefddklVXOABCEDFcabefd 作圖步驟作圖步驟 1. 利用積聚性求出利用積聚性求出KL的程度的程度投影投影kl 2. 利用點在線上的投影特性求利用點在線上的投影特性求出出K點正面投影點正面投影k ，l 3. 判別可見性判別可見性klKL121(2)klabcbacefefddkl4-2 直線與平面相交直線與平面相交 兩平兩平 面相交面相交一、利用積聚性求交點和交線一、利用積聚性求交點和交線1. 普通位置直線與特殊位置平面相交2. 特殊位置直線與普通位置平面相交3. 特殊位置平面與普通位置平面相交二、利用輔助平面

12、求交點和交線二、利用輔助平面求交點和交線 普通位置直線與普通位置平面相交FEDMNddabfebaefBAMmnnmkk作圖作圖判別可見性判別可見性11Z1ZM, AK的程度投影的程度投影ak可可見見2(3)2YY, AK的正面投影的正面投影ak不可見不可見3ddabfebaefFEDMNBAMmnnmkk作圖作圖判別可見性判別可見性11Z1ZM, AK的程度投影的程度投影ak可可見見2(3)2YY, AK的正面投影的正面投影ak不可見不可見34-2 直線與平面相交直線與平面相交 兩平兩平 面相交面相交一、利用積聚性求交點和交線一、利用積聚性求交點和交線1. 普通位置直線與特殊位置平面相交2.

13、 特殊位置直線與普通位置平面相交3. 特殊位置平面與普通位置平面相交二、利用輔助平面求交點和交線二、利用輔助平面求交點和交線 普通位置直線與普通位置平面相交 普通位置平面與普通位置平面相交 三、利用輔助投影求交點和交線三、利用輔助投影求交點和交線abcbacefefddd1f1e1a1b1c1n1l1lnnl作圖步驟作圖步驟1. 將將ABC變換為鉛垂面變換為鉛垂面2. 求出交線的輔助投影求出交線的輔助投影l(fā)1 n13. 求出交線的正面投影和程度求出交線的正面投影和程度投影投影4. 判別可見性判別可見性abcbacefefddd1f1e1a1b1c1n1l1lnnl1(2)123 (4)341.

14、 YY, AB的正面投影可的正面投影可見見2. ZZ, DF的程度投影可的程度投影可見見nabcbacefefddd1f1e1a1b1c1n1k1knnk1(2)123 (4)34kdfgecbaafgdbce12233hh例一 求作兩平面的交線并判別可見性nmcbaabcmn12例二 求作兩平面的交線并判別可見性4-3 直線與平面垂直直線與平面垂直 兩平兩平 面垂直面垂直 假設不斷線垂直于一平面，那么必垂直于屬于該平面的一切直線。假設不斷線垂直于一平面，那么必垂直于屬于該平面的一切直線。 據(jù)此可以處理據(jù)此可以處理:1. 作直線垂直平面或平面作直線垂直平面或平面垂直直線垂直直線2. 判別線面能

15、否垂直判別線面能否垂直作作 圖圖 舉舉 例例: 假設不斷線垂直于一平面、那么直線的程度投假設不斷線垂直于一平面、那么直線的程度投影必垂直于屬于該平面的程度線的程度投影；直影必垂直于屬于該平面的程度線的程度投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。面投影。klkl 假設不斷線垂直于屬于平面的程度線的程度投假設不斷線垂直于屬于平面的程度線的程度投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、那么直線必垂直于該平面。正面投影、那么直線必垂直于該平面。hacac例題例題1：平面由：平面由 BDF給

16、定，試過定點給定，試過定點K作平面的作平面的法線。法線。hKCFDBA在在BDF上作正平線上作正平線DC和和程度線程度線AB2. 作作kh dc; kh ab H例題例題2：平面由兩平行線：平面由兩平行線AB、CD給定，試判別直給定，試判別直線線MN能否垂直于定平面。能否垂直于定平面。efefDC為正平線為正平線 , 判判別別mn能否垂直能否垂直dc2. 在平面內作程度在平面內作程度線線EF , 判別判別mn能能否垂直否垂直ef 直線直線MN不垂不垂直給定平面直給定平面例題例題3：試過定點：試過定點S作一平面垂直于知直線作一平面垂直于知直線EF。esOXeffsSFENM 過過S點分別作正平線

17、點分別作正平線 SN 、程度線程度線SM, 使使 程度程度SNEF SMEFnnmm4-3 直線與平面垂直直線與平面垂直 兩平兩平 面垂直面垂直 假設不斷線垂直假設不斷線垂直于定平面那么包含該于定平面那么包含該直線的一切平面都垂直線的一切平面都垂直于該平面。直于該平面。據(jù)此可以處理據(jù)此可以處理:1. 作平面垂直平面作平面垂直平面2. 判別面面能否垂直判別面面能否垂直本質問題是作面垂本質問題是作面垂直直例題例題4：平面由：平面由 BDF給定，試過定點給定，試過定點K作平面垂作平面垂直直 BDF 。hacahcmm例題例題5：判別：判別 DEF 、 GHK能否與能否與 ABC垂直。垂直。ghcab

18、fdekhgfedcbamhm DEF ABC GHK ABC 4-4 點線面綜合題舉例點線面綜合題舉例畫法幾何問題，歸納起來大體分為定位問題和度量問題兩大類。畫法幾何問題，歸納起來大體分為定位問題和度量問題兩大類。2 空間分析空間分析 軌跡分析法軌跡分析法 逆推法逆推法4 解答分析解答分析3 投影作圖投影作圖1 題意分析題意分析 分析有哪些幾何條件，有無幾何元素在空間處于特殊位置，分析有哪些幾何條件，有無幾何元素在空間處于特殊位置，明確求解的幾何元素或幾何量。明確求解的幾何元素或幾何量。EF例題例題1 過點過點K作直線作直線KS平行于三角形平行于三角形ABC并與并與直線直線EF相交。相交。ecbakfeafkcbSACBK(1) 過過K作平面平行作平面平行三角形三角形ABC(2) 求出求出EF與輔助與輔助平面的交點平面的交點Sss(3) 連連KS即為所求即為所求例題例題1 過點過點K作直線作直線KS平行于三角形平行于三角形ABC并與并與直線直線EF相交。相交。ecbakfeafkcbACBEFMNKS例題例題2：求交叉兩直線：求交叉兩直線AB和和CD的公垂線的公垂線MN。dcbaadbc分分 析析EDCBAKMNdcbaadbcABCDmnNMabc( d )c1d1a1b1a2b2(d2 )c2m2n2n1m1mnnmdcbaadbcXX1X2例題例題3：求三角形