1、n n 卻識梳理要點講解深層突破1.導數與導函數的概念Ay(1)設函數 y= f(x)在區間(a, b)上有定義，xo (a, b)，若Ax 無限趨近于0 時，比值 &=f xo| Axf xoAX無限趨近于一個常數A，則稱 f(x)在 x= xo處可導，并稱該常數A 為函數 f(x)在 x= xo處的導數(derivative)，記作 f (xo).若 f(x)對于區間(a, b)內任一點都可導，則 f(x)在各點的導數也隨著自變量x 的變化而變化，因而也是自變量 x 的函數，該函數稱為f(x)的導函數，記作 f (x).2.導數的幾何意義函數 y= f(x)在點 xo處的導數的幾何

2、意義，就是曲線 y= f(x)在點 P(xo,f(xo)處的切線的斜率 k，即 k= f (xo).3.基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x) = C(C 為常數)f(x)=0f(x)= xa(a為常數)f(x)= ax1f(x)= sin xf(x)=,cos_xf(x)= cos xf(x)=_sin xf(x) = exf(x)=宦宦f(x) = ax(a0，1)f(x)=axln_af(x)= In x, 1f(x)=；f(x) = logax(a0，1)f(x)=l1xln a第三診分數及也瘋用3.1導數的概念及運算基礎知識主學習4.導數的運算法則若 f (x), g (x

3、)存在，則有(1) f(x)(x)=f(X)(x)；(2) f(x)g(x) =f(x)g(x)+f(x)g (x);(g(x)豐0).5.復合函數的導數若 y= f(u), u= ax+ b,貝Uyx= yuux,即卩 yx= yua.【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“V”或“X”)(1)f (xo)與(f(xo)表示的意義相同.(X)求 f (xo)時，可先求 f(xo)再求 f (xo). (X)(3) 曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.(V)(4) 與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(X)函數 f(x) = sin(x)的導數是 f (x) = cos x.

4、 (X)考點自測快速解答自查自糾11 .(教材改編)f (x)是函數 f(x)= 3x3+ 2x+ 1 的導函數，貝yf ( 1)的值為_ 答案 31解析 f(x)= 3x3+ 2x+ 1 , f (x) = x2+ 2. f ( 1) = 3.答案(3)2 如圖所示為函數y= f(x), y= g(x)的圖象可能是y = f(x), y = g(x)的導函數的圖象，那么解析 由 y= f (x)的圖象知 y= f (x)在(0,)上單調遞減，說明函數 y= f(x)的切線的斜率在(0 ,+)上也單調遞減，故可排除又由圖象知 y = f (x)與 y= g (x)的圖象在 x= xo處相交，說

5、明 y= f(x)與 y= g(x)的圖象在 x=xo處的切線的斜率相同，由圖知不符合，符合，故正確.nn3 .設函數 f(x)的導數為 f (x)，且 f(x) = f sin x + cos x,貝Uf (-)=_.答案 2解析 因為 f(x) = f sin x+ cos x,所以 f (x)= f (n) cos x sin x,所以f(才)=f (icossinn，即 f(=1,所以 f(x)= sin x+ cos x.f (x) = cos x sin x.故f(4)= co 寸si門門才=、2.44 .已知點 P 在曲線 y=吞吞亍上，a為曲線在點 P 處的切線的傾斜角，則a的

6、取值范圍是3n答案4，n4解析 y=而，4ex 4ex 4:y = ex+ 12= e2x+ 2ex+ 1 =x丄丄丄2e 十 x+ 21iex0ex+-x 2,當且僅當 ex= x= 1,ee即 x= 0 時，“=”成立. y 1,0), I tana1,0).又a0, n,15. (2015 陜西)設曲線 y= ex在點(0,1)處的切線與曲線 y= -(x0)上點 P 處的切線垂直，則 Px的坐標為_ .答案(1,1)1解析 y = ex,曲線 y= e*在點(0,1)處的切線的斜率k1= e0= 1，設 P(m, n), y= -(x0)的導 a3n4,Tt .x11 1數為y=-X2

7、(x0)，曲線 y= x(x)在點 P 處的切線斜率 k2=- m2(m0)，因為兩切線垂 直，所以 kik2=1，所以 m= 1, n = 1,則點 P 的坐標為(1,1).題型分類深度剖析題型一導數的運算例 1 求下列函數的導數：(1) y= (3X2 4x)(2x + 1);2(2) y= x2sin x;(3) y= 3xex 2x+ e;In x尸百；(5)y= In (2x 5).解 (1) / y= (3x2 4x)(2x+ 1)=6x3+ 3x2 8x24x= 6x3 5x2 4x,/ y = 18x2 10 x 4.(2) y = (x2) sin x+ x2(sin x)

8、= 2xsin x+ x2cos x.(3) y = (3xex) (2x) + e=(3x) ex+ 3x(ex) (2x)=3xexln 3 + 3xex 2xln 2=(ln 3 + 1) (3(e 2xln 2.In x x2+ 1 ln x x2+ 1 (4)y =x212- x2+ 1 2xln xx=x2+ 1 2x2In x=xx2+12.(5)令 u= 2x 5, y= ln u,即 y :22x 5.則 y = (In u) u1 22x 5 = 2x 5思維升華(1)求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯

9、；遇到函數的商的形式時，如能化簡則化簡，這攝蘇訓練 1(1)f(x) = x(2 016 + In x),若 f他)=2 017，則 xo=_.(2)若函數 f(x) = ax4+ bx1 2+ c 滿足 f (1) = 2,貝 V f (- 1)=_ .答案(1)1(2) 21解析(1)f (x) = 2 016+ In x+ xx一一= 2 017+ In x,故由 f (xo) = 2 017 得 2 017+ In xo= 2 017,x則 In x0= 0,解得 X0= 1.(2)f (x)= 4ax3+ 2bx, f (x)為奇函數，且 f (1)= 2, f ( 1) = 2.題

10、型二 導數的幾何意義命題點 1 已知切點的切線方程問題例 2(1)函數 f(x) =In x2x的圖象在點(1, 2)處的切線方程為x曲線 y= e2x+ 1 在點(0,2)處的切線與直線 y= 0 和 y= x 圍成的三角形的面積為 _1答案(1)x y 3 = 0(2)3d _ y解析(1)f(x) = x ，貝 U f (1) = 1,故該切線方程為 y ( 2)= x 1,即卩 x y 3= 0.(2)/ y= 2e2x,曲線在點(0,2)處的切線斜率 k= 2,切線方程為 y= 2x+ 2,該直線與直線 y= 0 和 y= x 圍成的三角形如圖所示，22其中直線 y= 2x+ 2 與

11、 y = x 的交點為 A(-, 3),3312 1三角形的面積S=2x1x討 3答案(1)2x y 1 = 0 (2)x y 1= 0解析(1)對 y= x2求導得 y = 2x.設切點坐標為(X0, x2)，則切線斜率為 k= 2x0. 由 2X0= 2 得 X0= 1,故切線方程為 y 1= 2(x 1)，即 2x y 1 = 0.2 / 點(0, 1)不在曲線 f(x)= xIn x 上,樣可避免使用商的求導法則，減少運算量.逐層求導，必要時可換元.(2)復合函數求導時，先確定復合關系，由外向內命題點 2 未知切點的切線方程問題例 3 (1)與直線 2x y+ 4 = 0 平行的拋物線

12、 y= x2的切線方程是 _ .已知函數 f(x) = xIn x,若直線 I 過點(0, 1),并且與曲線 y= f(x)相切，則直線 I 的方程為設切點為(X0, yo).yo= xol n xo, 又/ f (x)= 1 + In x, yo+ 1 = 1 + In xoxo,解得 xo= 1 , yo= o.切點為(1,0), f(1) = 1 + In 1 = 1.直線 I 的方程為 y= x- 1,即卩 x-y- 1 = O.命題點 3 和切線有關的參數問題17例 4 已知 f(x)= In x, g(x)= 2X2+ mx+ 2(mO)，直線 I 與函數 f(x), g(x)的圖

13、象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1 , f(1)，貝 U m=_ .答案 21解析/ff(x)=L,x直線 I 的斜率為 k= f (1) = 1.又 f(1) = O, 切線 I 的方程為 y= x 1.g (x)= x+ m,設直線 I 與 g(x)的圖象的切點為(xo, yo),則有 xo+ m= 1, yo= xo 1, yo= *爲+ mxo+ 2, m o),過點 E 作 OB 的垂線 I.記厶 AOB在直線 I 左側部分的面積為 S,則函數 S= f(x)的圖象為下圖中的 _(填序號).答案解析函數的定義域為0 ,+a)，當 x 0,2時，在單位長度變化量Ax 內面積變化量A

14、S 大于 0 且越來越大，即斜率 f (x)在0,2內大于 0 且越來越大，因此，函數S= f(x)的圖象是上升的，且圖象是下凸的；當 x (2,3)時，在單位長度變化量Ax 內面積變化量AS 大于 0 且越來越小，即斜率 f (x)在(2,3) 內大于 0 且越來越小，因此，函數S= f(x)的圖象是上升的，且圖象是上凸的；當 x 3,+s)時，在單位長度變化量Ax 內面積變化量AS 為 0,即斜率 f (x)在 3 ,+)內為常數 0,此時，函數圖象為平行于x 軸的射線.思維升華導數的幾何意義是切點處切線的斜率，應用時主要體現在以下幾個方面：(1)已知切點 A(X0, f(X0)求斜率 k

15、，即求該點處的導數值：k= f (x0).已知斜率 k,求切點 A(xi, f(xi)，即解方程 f (xi)= k.yi= f xi,若求過點 P(X0, y0)的切線方程，可設切點為(xi, yi),由，求解即可.y0 yi= fxiX0 xi(4)函數圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數圖象在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數圖象升降的快慢.狐琮訓練 2(i)已知函數 f(x)= 3x+ cos 2x+ sin 2x, a= f (4), f (x)是 f(x)的導函數，則過曲線 y= x3上一點 P(a, b)的切線方程為 _ .若直線 y= 2x + m 是曲線

16、 y= xln x 的切線，則實數 m 的值為_.答案(1)3x y 2= 0 或 3x 4y+ 1 = 0 (2) e解析 由 f(x) = 3x+ cos 2x+ sin 2 x得 f (x)= 3 2sin 2x+ 2cos 2x, 則 a = f(n=3 2sin 扌+ 2cos 才=i.由 y= x3得 y = 3x3 4,當 P 點為切點時，切線的斜率k= 3a2= 3Xi2= 3.又 b = a3,貝Ub= i,所以切點 P 的坐標為(i,i).故過曲線 y= x3上的點 P 的切線方程為 y i = 3(x i),即 3x y 2 = 0.當 P 點不是切點時，設切點為(X0,

17、 x3),切線方程為 y x0= 3xo(x X0),/P(a, b)在曲線 y= x3上，且 a= i, . b= i.i X3= 3X6(1 X0),2xo 3x0+ 1 = 0,2x3 2x x0+ 1 = 0,.(X0 1)2(2X0+ 1) = 0,331.此時的切線方程為 y+1 = 3x+1 ,8421 1切點為-o，- 8 ,綜上，滿足題意的切線方程為3x y 2 = 0 或 3x 4y+ 1 = 0.設切點為(X0, xoln xo),1由yf= (xlnx)f= In x+ x = In x+ 1,x得切線的斜率 k= In xo+ 1,故切線方程為 y xoln xo=

18、(In xo+ 1)(x xo),整理得 y= (In xo+ 1)x xo，與 y= 2x+ m 比較得In xo+ 1 = 2,解得 xo= e,故 m= e.x= m,易錯警示系列4 求曲線的切線方程條件審視不準致誤典例(14 分)若存在過點 0(0,0)的直線 I 與曲線 y= x3 3x2+ 2x 和 y= x2+ a 都相切，求 a 的 值.易錯分析由于題目中沒有指明點0(0,0)的位置情況，容易忽略點0 在曲線 y= x3 3x2+ 2x上這個隱含條件，進而不考慮0 點為切點的情況.規范解答解 易知點 0(0,0)在曲線 y= x3 3x2+ 2x 上.(1)當 0(0,0)是切

19、點時，由 y = 3x2 6x+ 2，得在原點處的切線斜率k= 2,即直線 I 的斜率為 2,故直線 I 的方程為 y= 2x.,y=2x，/ 口2由2得 x 2x+ a= 0,y= x2+ a,依題意= 4 4a= 0,得 a= 1.5 分當 0(0,0)不是切點時，設直線 I 與曲線 y= x3 3x2+ 2x 相切于點 P(x, y), 則 y0= x0 3x0+ 2x0,且 k= 3x0 6x0+ 2,y0又 k= x2 3x0+ 2,X031聯立，得 x= 2(X0= 0 舍去)，所以 k= 4,1故直線 I 的方程為 y= x.9 分1,y=4x,/曰21由4得 x2+ 4x+ a

20、= 0,y= x2+ a,綜上，a=5或a= 64.溫馨提醒對于求曲線的切線方程沒有明確切點的情況，要先判斷切線所過點是否在曲線上；若所過點在曲線上，要對該點是否為切點進行討論.匸思想方法感悟提JS方法與技巧1 .f (xo)代表函數 f(x)在 x= X0處的導數值；(f(xo)是函數值 f(xo)的導數，而函數值 f(xo)是 一個常數，其導數一定為0，即(f(X0) = 0.2.對于函數求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則.在實施化簡時，首先必須注意變換 的等價性，避免不必要的運算失誤.3.未知切點的曲線切線問題，一定要先設切點， 利用導數的幾何意義表示切線的斜率建立方 程.失誤與防范

21、1 .利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.復合函數的導數要正確分解函數的結構，由外向內逐層求導.2 求曲線切線時，要分清在點P 處的切線與過 P 點的切線的區別，前者只有一條，而后者包括了前者.3 曲線的切線與曲線的交點個數不一定只有一個，這和研究直線與二次曲線相切時有差別.練出高分A 組專項基礎訓練(時間：40 分鐘)1.已知函數 f(x)的導函數為 f (x),且滿足 f(x) = 2xf (1) + In x,則 f (1)=_.答案 15 1設切點為(xo, In xo)，則曲線在 x= xo處的切線斜率 k=，切線方程為 y In xo= x(x xo)

22、,1 1依題意，= 16-4a=0，得a=易12 分14 分11解析 由 f(x) = 2xf (1) + In x,得 f (x) = 2f (1) + -.x f (1) = 2f (1) + 1,貝Uf (1) = 1.2 .已知曲線 y= In x 的切線過原點，則此切線的斜率為 _ .1答案 ee1解析 y=In x 的定義域為(0,+s)，且 y=-，因為切線過點(0,0)，所以一 In xo= 1,1解得 xo= e,故此切線的斜率為e.3 .已知fl(x)= sin x+COS x,fn+1(x)是fn(x )的導函數，即f2(x)=fl(x),f3(x) = f2(x)，fn

23、+1(x)= fn (x) , n N*，貝Vf2 016(X)= _.答案 sin x cos x解析Tf1(x) = sin x + cos x,二 f2(x)= f1 (x)= cos x sin x,二 f3(x)= f2 (x)= sin x cos x,二 f4(x)= f3 (x)= cos x+ sin x,f5(x)= f4 (x)= sin x+ cos x= f1(x),二 fn(x)是以 4 為周期的函數，- f2 016(x)= f4(x) = sin x cos x.4._設曲線 y= ax ln x 在點(1,1)處的切線方程為 y= 2x,則 a=_.答案 31

24、解析 令 f(x) = ax ln x,則 f (x)= a x.由導數的幾何意義可得在點(1,1)處的切線的斜率為f (1) = a 1.又切線方程為 y= 2x,則有 a 1= 2, a= 3.5.已知 y = f(x)是可導函數，如圖，直線y=kx+ 2 是曲線 y= f(x)在 x = 3 處的切線，令g(x)答案 0解析由題圖可知曲線 y= f(x)在 x= 3 處切線的斜率等于1, f (3) = 1.33 g(x)= xf(x), g (x) = f(x) + xf (x), g (3) = f(3) + 3f (3),又由題圖可知 f(3) = 1,=xf(x), g 1g(3

25、)=1+3x(耳=0.b6.在平面直角坐標系 xOy 中，若曲線 y= ax2+b(a, b 為常數)過點 P(2, 5)，且該曲線在x點 P 處的切線與直線 7x+ 2y+ 3 = 0 平行，則 a+ b 的值是_.答案 3解析y=ax2+ x 的導數為y =2ax-x 直線 7x+ 2y+ 3 = o 的斜率為2.a= 1,解得則 a+ b = 3.7b= 2,2，7.已知函數 f(x)=x3 3x,若過點 A(0,16)且與曲線 y= f(x)相切的直線方程為y= ax+ 16，貝 U實數 a 的值是_ .答案 9解析先設切點為 M(xo, yo),則切點在曲線上有 yo= x0 3xo

26、,求導數得到切線的斜率k= f (xo) = 3x6 3,又切線 I 過 A、M 兩點，所以 k=y0,xo則 3x0 3=y0,xo聯立可解得 xo= 2, yo= 2,2 16從而實數 a 的值為 a= k=2= 9.1則 ex+ 尹6 74,1故 y =一 1 一-當(x= o 時取等號).ex+ $+ 2e當 x= o 時，曲線的切線斜率取得最小值,1此時切點的坐標為(o, ),1 1切線的方程為 y 2= -(x 0),68已知曲線 y= 豐，則曲線的切線斜率取得最小值時的直線方程為由題意得答案x+ 4y 2= o解析yex+1ex12因為 eSo,所以 ex+ex= 即 x= 0

27、時取等號),e即 x+ 4y 2 = o.9 .已知曲線 y= x3+ x 2 在點 Po處的切線 li平行于直線 4x y 1 = 0,且點 Po在第三象限.(1)求 Po的坐標；若直線 I 丄 11,且 I 也過切點 Po,求直線 I 的方程.解 由 y = x3+ x 2,得 y = 3x2+ 1,由已知令 3x2+ 1 = 4,解之得 x= 1.當 x= 1 時，y = 0;當 x= 1 時，y = 4.又點 Po在第三象限，切點 Po的坐標為(一 1， 4).直線 I 丄 l1, I1的斜率為 4,1直線 I 的斜率為一-.4TI 過切點 Po,點 Po的坐標為(一 1, 4),直線

28、 I 的方程為 y+ 4= 4(x+ 1),即 x+ 4y+ 17 = o.1o.設函數 f(x) = axb，曲線 y= f(x)在點(2, f(2)處的切線方程為 7x 4y 12= o.x(1)求 f(x)的解析式；證明：曲線 y= f(x)上任一點處的切線與直線x= o 和直線 y= x 所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值.解(1)方程 7x 4y 12= o 可化為 y= fx 3.1b當 x= 2 時，y = ?.又 f (x)= a+ ?,3設 P(xo, yo)為曲線上任一點，由y = 1+ P 知曲線在點 P(xo, yo)處的切線方程為x3yyo=(1+-2)(x Xo

29、)xo33即y (xo)=(1+y)(XXo).XoXo令 x= o,得 y=6,xo從而得切線與直線 X= o 的交點坐標為 o,6.xo于是b 12a 2= 2,b 7a+4=4解得a=1,b = 3.3故f(x)=x令 y= x,得 y= x= 2xo,從而得切線與直線 y= x 的交點坐標為(2x0,2xo).1 6所以點p(xo, yo)處的切線與直線 x= 0, y= x 所圍成的三角形的面積為S=-亦|2xo|= 6.故曲線 y= f(x)上任一點處的切線與直線x= 0, y= x 所圍成的三角形的面積為定值，且此定值為 6.B 組專項能力提升(時間：20 分鐘)111.已知函數

30、 f(x) = x+1, g(x)= aln x, 若在 x= 4 處函數 f(x)與 g(x)的圖象的切線平行，則實數 a 的值為_ .1答案4.1a解析由題意可知f x X2,g (x) =2x丄，1, 1+ 111a由f (4)=g(4)，得(；)=1，24丄41 1可得 a=才才，經檢驗，a=才才滿足題意.12.曲邊梯形由曲線 y= x2+ 1，y= 0，x= 1，x= 2 所圍成，過曲線 y= x2+ 1 (x 1,2)上一點P 作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個面積最大的普通梯形，則這一點的坐標為解析 設 P(X0，X0+ 1)，xo 1,2，則易知曲線 y=x2+ 1 在點

31、P 處的切線方程為y(X0+ 1)=2xo(xxo)，/y= 2xo(x xo)+ x0+ 1，設 g(x)=2xo(xxo)+x0+ 1，貝 Vg(1) + g(2) = 2(x0+ 1) f(x)存在垂直于 y 軸的切線，.f(X)存在零點,答案132 4+ 2x0(1 X0+ 2 X0)，S普通梯形x1= x6+3x0+1=3213X02+4，32,S普通梯形最大.113.若函數 f(x) = x2 ax+ ln x 存在垂直于 y 軸的切線，則實數a 的取值范圍是答案 2 ,+ )解析(x)= xax+ ln x,11即 x+-一 a= 0 有解，.a= x+-2.xx14.已知曲線 f(x) = xn