1、 根底知識(shí) 一、棱柱的概念與性質(zhì) (1)棱柱的概念 假設(shè)一個(gè)多面體有兩個(gè)面 ，而其他各面都是 形，并且每相鄰兩個(gè) 的公共邊都 ，由此面圍成的 叫做棱柱 側(cè)棱 底面的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱 底面的棱 柱叫做直棱柱；底面是的直棱柱叫做正棱柱相互平行四邊四邊形相互幾何體垂直于不垂直于正多邊形平行 (2)棱柱的性質(zhì) 一切的側(cè)棱都相等，各個(gè)側(cè)面都是； 兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊相互平行的； 過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是 (3)棱柱的側(cè)面積和體積公式 直棱柱的側(cè)面積和體積公式 假設(shè)直棱柱的底面周長(zhǎng)是c，高是h，那么它的側(cè)面積是S直棱柱側(cè) . 假設(shè)直棱柱的底面面積是S，高是h，那么它的體積是V直棱柱

2、.平行四邊形全等多邊形平行四邊形chSh 斜棱柱的側(cè)面積和體積公式 假設(shè)斜棱柱的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面)的周長(zhǎng)為c，側(cè)棱長(zhǎng)為l，那么斜棱柱的側(cè)面積是S斜棱柱側(cè) . 假設(shè)斜棱柱的直截面的面積為S，側(cè)棱長(zhǎng)為l，那么它的體積是V斜棱柱 .clSl 二、長(zhǎng)方體 (1)幾個(gè)概念：底面是叫做平行六面體叫做直平行六面體，叫做長(zhǎng)方體 叫做正方體 (2)長(zhǎng)方體的對(duì)角線的性質(zhì)：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于平行四邊形的四棱柱側(cè)棱與底面垂直的平行六面體底面是矩形的直平行六面體棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和 溫馨提示：(1)正四棱柱是底面為正方形的直四棱柱，因此正四棱柱一定是長(zhǎng)方體，

3、長(zhǎng)方體不一定是正四棱柱 三、棱錐的概念和性質(zhì) (1)棱錐：假設(shè)一個(gè)多面體的一個(gè)面是多邊形，其他各面是的三角形，那么這個(gè)多面體叫做棱錐 (2)性質(zhì)定理：假設(shè)棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面類似，并且它們面積的比等于 有一個(gè)公共頂點(diǎn)截得的棱錐的高和知棱錐的高的平方比 歸納拓展：(1)假設(shè)棱錐的各側(cè)棱相等或各側(cè)棱與底面成等角，那么頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的外心； (2)假設(shè)棱錐的各側(cè)面與底面所成二面角均相等，那么頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的內(nèi)心； (3)假設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，那么頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的垂心 四、正棱錐的概念與性質(zhì) (1)正棱錐：假設(shè)一個(gè)棱錐

4、的底面是，并且頂點(diǎn)在底面的射影是 ，這樣的棱錐叫做正棱錐 (2)正棱錐的性質(zhì)： 正棱錐各側(cè)棱 ，各側(cè)面都是 ，各等腰三角形底邊上的高叫做正棱錐的斜高，正棱錐的斜高相等 正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)；正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè) 正多邊形底面的中心相等全等的等腰三角形直角三角形直角三角形 五、棱錐的面積與體積 (1)棱錐的全面積(S全)等于底面積(S底)和側(cè)面積(S側(cè))之和，即S全 假設(shè)c為正棱錐的底面周長(zhǎng)，h為斜高，那么S側(cè) ch. (2)棱錐的體積等于它的底面積(S)與高(h)的乘積的三分之一，即V棱錐 Sh.S底S側(cè) 易錯(cuò)知識(shí) 一、概念了解錯(cuò)誤 1下面是關(guān)

5、于正三棱錐的四個(gè)命題： 底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐 其中，真命題的編號(hào)是_(寫出一切真命題的編號(hào)) 解題思緒：頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是內(nèi)心，又底面是正三角形，故為中心，正確；如圖(1)中，ACBCCDBDADAB，每個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，但此棱錐不是正三棱錐，錯(cuò)誤；如圖(2)，以正六邊形ABDEFG的一邊AB為邊，作正ABC，正六邊形的中心O為三棱錐SABC的頂點(diǎn)S的射影滿足條

6、件：三棱錐的側(cè)面積全相等，但不是正三棱錐，錯(cuò)誤；由知，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面三角形的內(nèi)心，也是外心，故底面三角形為正三角形，又可推導(dǎo)出各側(cè)棱、斜高彼此相等，故各側(cè)面為具有公共頂點(diǎn)的等腰三角形，故棱錐為正三棱錐，正確綜上所述正確 失分警示：誤區(qū)1：判別是錯(cuò)誤的，緣由是把多面體的底面了解為其底面所在的平面，如圖(2)，二面角SACO、SBCO、SABO都相等，但不是正棱錐留意，側(cè)面SAB與底面ABC所成的二面角是SABC，不是SABO. 誤區(qū)2：判別或是正確的，直觀以為正三棱錐滿足、的條件，而又舉不出反例，就以為正確 誤區(qū)3：判別錯(cuò)誤，緣由是由三角形的內(nèi)心、外心重合而推導(dǎo)不出三角形為正三角形，或

7、者對(duì)正三棱錐的概念了解不透，底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面正三角形的中心兩個(gè)條件吃不準(zhǔn)，而妄加判別 啟示：對(duì)棱柱、棱錐、正棱柱、正棱錐的有關(guān)概念，相應(yīng)性質(zhì)要深化了解，把握準(zhǔn)確，特別是正棱柱、正棱錐條件要求很高，不可短少 答案： 二、公式運(yùn)用錯(cuò)誤 3如圖，設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且PAQC1，那么四棱錐BAPQC的體積為() 解題思緒：設(shè)側(cè)面AA1C1C的面積為S，B到側(cè)面AA1C1C的間隔為h，那么V Sh.由于PAC1Q.那么PQ平分側(cè)面AA1C1C的面積，即四邊形APQC的面積為 S，由棱錐的體積公式得VBAPQC 失分警示：三

8、棱柱的體積由一個(gè)側(cè)面面積S與這個(gè)側(cè)面和它相對(duì)棱的間隔h表示為V Sh(可以用補(bǔ)形法推導(dǎo)公式)這個(gè)公式能夠有的同窗記不住或不會(huì)靈敏運(yùn)用，而使此題思想受阻 答案：C 回歸教材 1以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是() A有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱 B有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱 C底面是正多邊形的棱柱是正棱柱 D側(cè)面是全等矩形的棱柱是正棱柱 解析：調(diào)查4個(gè)命題： A不正確，兩個(gè)相對(duì)的側(cè)面是矩形，但另一對(duì)相對(duì)側(cè)面不是矩形，這樣的棱柱不是直棱柱； B正確，根據(jù)兩相交平面垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于這個(gè)平面，可得到側(cè)棱必垂直于底面； C不正確，當(dāng)側(cè)棱不與底面垂直時(shí)，不是正棱柱； D不正確，如底面

9、是菱形的直棱柱符合條件，但這樣的棱柱不是正棱柱應(yīng)選B. 答案：B 2(教材改編題)有四個(gè)命題：底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；棱長(zhǎng)相等的直四棱柱是正方體；有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；對(duì)角線相等的平行六面體是直平行六面體其中正確的個(gè)數(shù)是() A1B2C3D4 解析：對(duì)于，不正確，由于底面是矩形，假設(shè)側(cè)棱不垂直于底面，這時(shí)四棱柱依然是斜平行六面體；對(duì)于，不正確，假設(shè)底面是菱形，底面邊長(zhǎng)與棱長(zhǎng)相等，但該直四棱柱不是正方體；對(duì)于，不正確，由于有兩條側(cè)棱垂直于底面一邊，這時(shí)兩條側(cè)棱所在的側(cè)面是矩形，但是不能推出側(cè)棱與底面垂直；對(duì)于，正確，由對(duì)角線相等可得出平行六面體的對(duì)角面是矩

10、形，從而推得側(cè)棱與底面垂直，這個(gè)平行六面體是直平行六面體 答案：A 3正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)面均為直角三角形，那么此三棱錐的體積為() 答案：C 4(教材改編題)知長(zhǎng)方體的高是2cm，長(zhǎng)與寬的比為43，一條對(duì)角線長(zhǎng)為 那么它的長(zhǎng)與寬分別為() A4,3 B3,4 C8,6 D6,8 答案：C 5(2021江蘇，8)在平面上，假設(shè)兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為12，那么它們的面積比為14.類似地，在空間中，假設(shè)兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為12，那么它們的體積比為_ 答案：18 【例【例1】假設(shè)四棱錐的四條側(cè)棱都相等，】假設(shè)四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為就稱它為“等腰四棱錐，四條側(cè)棱稱等腰四棱錐，四條

11、側(cè)棱稱為它的腰，以下為它的腰，以下4個(gè)命題中，假命題是個(gè)命題中，假命題是() A等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等等 B等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)角都相等或互補(bǔ) C等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓圓 D等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上 思緒點(diǎn)撥過(guò)頂點(diǎn)作底面的垂線，找到線面角；利用四點(diǎn)共圓的條件判別A、C；找到球心判別D. 解析如下圖， 等腰四棱錐的側(cè)棱均相等，其側(cè)棱在底面的射影也相等，那么其腰與底面所成的角相等，即A正確；底面四邊形必有一個(gè)外接圓

12、，即C正確；在高線上可以找到一個(gè)點(diǎn)O，使得該點(diǎn)到四棱錐各個(gè)頂點(diǎn)的間隔相等，這個(gè)點(diǎn)即為外接球的球心，即D正確；但四棱錐的側(cè)面與底面所成的角不一定相等或互補(bǔ)(假設(shè)為正四棱錐那么成立)故僅命題B為假命題 答案B 拓展提升處理這類問(wèn)題需在了解棱柱、棱錐幾何特征與性質(zhì)的根底上，準(zhǔn)確了解幾何體的定義，把握幾何體的構(gòu)造特征，高考中往往綜合調(diào)查線面位置關(guān)系，需求有較強(qiáng)的空間想象才干當(dāng)需求否認(rèn)一個(gè)命題時(shí)，舉一個(gè)反例即可作為選擇題，利用四選一的特點(diǎn)，排除三個(gè)，可確定第四個(gè)為答案 探求等腰四棱錐的底面外形確定嗎？ 解析不確定根據(jù)定義，底面四邊形只需是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形即可 下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題： 假設(shè)有兩個(gè)側(cè)面

13、垂直于底面，那么該四棱柱為直四棱柱； 假設(shè)兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，那么該四棱柱為直四棱柱； 假設(shè)四個(gè)側(cè)面兩兩全等，那么該四棱柱為直四棱柱； 假設(shè)四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，那么該四棱柱為直四棱柱 其中，真命題的編號(hào)是_(寫出一切真命題的編號(hào)) 答案： 解析：假設(shè)有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，假設(shè)是兩個(gè)相鄰的側(cè)面垂直于底面，那么其交線必垂直于底面，就可以斷定為直棱柱假設(shè)是兩個(gè)相對(duì)的側(cè)面垂直于底面，那么不能斷定但標(biāo)題沒(méi)有強(qiáng)調(diào)是相鄰，所以不能斷定 假設(shè)兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，那么其交線垂直于底面，而側(cè)棱與該交線平行，所以側(cè)棱垂直于底面，滿足條件的四棱柱為直棱柱 由各邊長(zhǎng)相等且全等的菱形為

14、側(cè)面，可組成一個(gè)四棱柱，那么其能夠?yàn)槠叫辛骟w，而非一定是直四棱柱 四棱柱的過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面為平行四邊形，假設(shè)其對(duì)角線相等那么其為矩形，即側(cè)棱垂直于底面，所以滿足條件的四棱柱為直四棱柱. 【例2】如圖，在多面體ABCDEF中，知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且ADE、BCF均為正三角形，EFAB，EF2，那么該多面體的體積為() 解析如以下圖所示，過(guò)BC做EF的直截面BCG，做面ADM面BCG， 答案A (2021遼寧，11)正六棱錐PABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)那么三棱錐DGAC與三棱錐PGAC體積之比為 () A1：1 B1：2 C2：1 D3：2 答案：C 解析：G為PB中點(diǎn)， VPGA

15、CVPABCVGABC 2VGABCVGABCVGABC. 又多邊形ABCDEF是正六邊形， SABC SACD， VDGACVGACD2VGABC， VDGACVPGAC2：1. 【例3】(2021山東，18)如下圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1分別是棱AD，AA1的中點(diǎn) (1)設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，求證：直線EE1平面FCC1； (2)求證：平面D1AC平面BB1C1C. 證明(1)證法一：取A1B1的中點(diǎn)為F1，連結(jié)FF1，C1F1， 由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1，因此平面FCC1即為平面C1

16、CFF1. 連結(jié)A1D，F(xiàn)1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四邊形A1DCF1為平行四邊形，因此A1DF1C.又EE1A1D，得EE1F1C，而EE1 平面FCC1，F(xiàn)1C平面FCC1，故EE1平面FCC1. 證法二：由于F為AB的中點(diǎn)，CD2，AB2，ABCD，所以CD綊AF，因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以ADFC.又CC1DD1，F(xiàn)CCC1C，F(xiàn)C平面FCC1，CC1平面FCC1，所以平面ADD1A1平面FCC1，又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1. (2)證明：連結(jié)AC，在FBC中，F(xiàn)CBCFB， 又F為AB的中點(diǎn)，所以AFFCFB，因此ACB90，即ACBC.

17、又ACCC1，且CC1BCC，所以AC平面BB1C1C，而AC平面D1AC，故平面D1AC平面BB1C1C. 如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，PCAD.底面ABCD為梯形，ABDC，ABBC.PAABBC，點(diǎn)E在棱PB上，且PE2EB. (1)求證：平面PAB平面PCB； (2)求證：PD平面EAC； (3)求二面角AECP的大小 解析：(1)證明：PA底面ABCD， PABC. 又ABBC，PAABA， BC平面PAB. 又BC平面PCB， 平面PAB平面PCB. (2)PA底面ABCD， AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影 又PCAD，ACAD. 在梯形ABCD中，由ABBC，A

18、BBC， (3)在等腰直角PAB中，取PB的中點(diǎn)N，連結(jié)AN，那么ANPB. 平面PAB平面PCB，且平面PAB平面PCBPB，AN平面PBC. 在平面PBC內(nèi)，過(guò)N作NH直線CE于H，連結(jié)AH，由于NH是AH在平面CEB內(nèi)的射影，故AHCE. AHN就是二面角ACEP的平面角 在RtPBC中，設(shè)CBa， 由NHCE，EBCB可知： NEHCEB， 代入解得NH 在RtAHN中， 【例4】(2021石家莊一模)在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BAD120，PA2，PBPCPD，E是PB的中點(diǎn) (1)求證：PA平面ABCD； (2)求二面角EACP的大小； (3)設(shè)F是直線D

19、C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)E到平面PAF的最大間隔 解析(1)如圖，取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，AM. 四邊形ABCD為菱形，BAD120，那么BCAM，BCPM. BC平面APM，從而BCPA. 同理DCPA，故PA平面ABCD. (或用同一法可證) (2)先求二面角EACB的大小 取AB的中點(diǎn)H，過(guò)H作HNAC于點(diǎn)N，連結(jié)EN. 那么EH平面ABCD， ENH是二面角EACB的平面角 可求得ENHarctan， 又平面PAC平面ABCD， 所以二面角EACP的大小為 (3)先求點(diǎn)B到平面PAF的最大間隔 PA平面ABCD， 平面PAF平面ABCD，平面PAF平面ABCDAF， 點(diǎn)B到直線AF的間隔即為點(diǎn)B到平面PAF的間隔 過(guò)點(diǎn)B作直線AF的垂線段，在一切的垂線段中長(zhǎng)度最大為AB2 故點(diǎn)E到平面PAF的最大間隔為1. (2021衡中模擬，13分)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，AB1，ABC90；點(diǎn)D、E分別在BB1、A1D上，且B1EA1D，四棱錐