1、2021/6/161柯 西 不 等 式二維形式的柯西不等式2021/6/162 柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法國數學家、力學家。 27歲成為巴黎綜合工科學校教授， 并當選為法國科學院 院士. 柯西對高等數學的貢獻包括：無窮級數的斂散性，實變和復變函數論,微分方程，行列式，概率和數理方程等方面的研究 目前我們所學的極限和連續性的定義，導數的定義，以及微分、定積分用無窮多個無窮小的和的極限定義，實質上都是柯西給出的。2021/6/163設設 為任意實數為任意實數. ., , ,a b c d()()2222abcd聯聯 想想2021/6/1642222

2、22222222222()() ()()()abcda cb da db cacbdadbcacbd研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等關系2021/6/165二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式定理：二維形式的柯西不等式定理：若a,b,c,d都是實數,則 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2當且僅當ad=bc時,等號成立.仔細觀察上述定理，概括它的特點平方的和的乘積平方的和的乘積不小于不小于乘積的和的平方乘積的和的平方2021/6/166例例1：已知：已知a,b為實數，求證為實數，求證 2332244)()(bababa分清（找準）a,b,c,d2021/6/167補全a,

3、b,c,d2021/6/168 證明思路2：(構造向量法)2222( , ),( , ),.a bc dabcdacbd 設則利用兩邊平方后得證2222()acbdabcd柯西不等式的幾何意義2021/6/169“=”何時成立2222()acbdabcd,. kk 當且僅當 是零向量 或存在實數 使時等號成立柯西不等式的幾何意義( , ),( , ),a bc d 設則2021/6/16102021/6/1611變變形變變形,可得下面不等式可得下面不等式: :2021/6/1612例例2.求函數求函數 的最大值xxy21015變形，使之出現常數2222()acbdabcd2021/6/1613

4、1220,0,1,2132ababab 設且求證：變形，使之出現條件中的表達式或表達式的倍數練習22021/6/1614220,0,2,22xyxyxyxy例3.設且的最小值。2021/6/1615cdbabdac dcbabcad 不等式不等式：不等式不等式：2222222222()()()()()()abdcadbcabcdacbd 不不等等式式成成立立嗎嗎？與與不不等等式式矛矛盾盾嗎嗎？它它們們之之間間有有什什么么區區別別？2021/6/1616220,0,2,22xyxyxyxy例3.設且的最小值。靈活對調前后項2021/6/161722231,49.xyxy變式1：若求的最小值222

5、222222:(49)(11 )(23 )1,149.22131,23.1234123161492xyxyxyxyxyxxyxyyxy 解 由柯西不等式當且僅當即時取等號由得的最小值為2021/6/161821,236.a bRabab變式2：設求的最小值2021/6/16192、二維形式的柯西不等式的變式、二維形式的柯西不等式的變式小 結2021/6/1620123123,nna aaab b bb設是實數 則2222221212()()nnaaabbb思 考222222123123()()aaabbb ?2021/6/16212021/6/1622114,abcabbcac例4.若求證：2

6、021/6/16232021/6/16242021/6/1625l定理3：(二維形式的三角不等式)221221222221211)()(R,221yyxxyxyxyxyx則則設設l證明思路1：(幾何法)l證明思路2：(代數法)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)221222221212221222221212122222121212222222221212122222212122222)()( )( )( :121212121yyxxyyyyxxxxyxyyxxyxyxyyxxyxyxyxyxyxyxyx證證明明2021/6/1626 .,),()()()(等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba222221 .,.(4)等等號號成成立立時時使使或或存存在在實實數數是是零零向向量量當當且且僅僅當當柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kkbdacdcba22222)(bdacdcba22223)(小小 結結22122122222121)()(5)yyxxyxyx二二維維形形