1、 袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞

2、罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆

3、袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇

4、螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄

5、螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿

6、蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆

7、蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄

8、羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁

9、袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿

10、袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆

11、螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃

12、蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻

13、蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈

14、羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆

15、羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀

16、襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈

17、螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅

18、螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃

19、蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀

20、羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈

21、羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅

22、袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃

23、袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇羆膆螅蠆芄膆蒅裊膀膅薇蚈肆膄蠆袃羂芃荿蚆袈節蒁袁膇芁蚃蚄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈袁羋蝕

24、螁膀芇莀羆肆莆蒂蝿羂蒞薄羅袇莄螇螇芆莄蒆蝕膂莃蕿袆肈莂蟻蠆羄莁莀襖袀莀蒃蚇腿葿薅袂肅蒈蚇蚅羈蒈莇袁羇蕆蕿螃芅蒆螞罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿膀蚈羅膈腿莈螈肄膈薀羄肀膇蚃袇 全國高中數學聯合競賽內容梳理（2011版）數列1 全國高中數學聯合競賽（19782010）中的數列問題1.1 選擇題與填空題（1）（1991）將正奇數集合1，3，5，由小到大按第n組有(2n1)個奇數進行分組：1， 3，5，7， 9，11，13，15，17， (第一組) (第二組) (第三組)則1991位于第 組（2）（1992）設數列滿足且對任何自然數，都有，又則的值是 （3）（1994）已知數列滿足，且，其前n項之和為，

25、則滿足不等式的最小整數n是(A)5 (B)6 (C)7 (D)8（4）（1995）設等差數列滿足且，Sn為其前項之和，則Sn中最大的是(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21（5）（1996）等比數列的首項,公比,用表示它的前n項之積。則()最大的是(A) (B) (C) (D)（6）（1997）已知數列滿足， 記，則下列結論正確的是(A)x100=-a，S100=2b-a (B)x100=-b，S100=2b-a(C)x100=-b，S100=b-a (D)x100=-a，S100=b-a（7）（1997）設等差數列的首項及公差均為非負整數，項數不少于3，且各項的和為972，

26、則這樣的數列共有(A)2個 (B)3個 (C)4個 (D)5個（8）（1999）給定公比為的等比數列，設，,，, 則數列 ( )(A)是等差數列 (B)是公比q為的等比數列 (C)是公比為q3的等比數列 (D)既非等差數列又非等比數列（9）（2000）等比數列a+log23，a+log43，a+log83的公比是 （10）（2003）刪去正整數數列1，2，3，中的所有完全平方數，得到一個新數列這個數列的第2003項是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049（11）（2004）已知數列滿足關系式，且，則的值是 ；（12）（2005）如果自然數a的各位數字之和等于7，

27、那么稱a為“吉祥數”將所有“吉祥數”從小到大排成一列，若2005，則 （13）（2008）設的內角所對的邊成等比數列，則的取值范圍是A. B. C. D. （14）（2008）設數列的前項和滿足：，則通項= （15）（2010）已知是公差不為0的等差數列，是等比數列，其中，且存在常數，使得對每一個正整數都有，則 1.2 在正整數上定義一個函數如下：當為偶數時，當為奇數時，（1）證明：對任何一個正整數，數列中總有一項為或. （2）在全部正整數中，哪些使上述數列必然出現“3”？哪些使上述數列必然出現“1”？1979年全國高中數學聯賽 第二試1.3 已知實數列（其中），滿足（）求證：對于任何自然數，

28、是一次多項式1986年全國高中數學聯賽 第二試1.4 已知數列，其中，試證：對一切1988年全國高中競賽試題 第二試1.5 個正數排成行列其中每一行的數成等差數列，每一列的數成等比數列，并且所有公比相等已知，求1990年全國高中競賽試題 第一試1.6 設n是自然數，令（1） 求證：（2） 用數學歸納法證明： 1992年全國高中競賽試題 第一試1.7 設正數列滿足且，求的通項公式1993年全國高中競賽試題 第一試1.8 設數列的前n項和（），數列滿足，求數列的前n項和1996年全國高中競賽試題 第二試1.9 給定正整數和正數，對于滿足條件的所有等差數列，試求的最大值.1999年全國高中競賽試題

29、第一試1.10 設，. 求的最大值.2000年全國高中數學聯賽 第一試1.11 設數列和滿足，且證明：是完全平方數.2000年全國高中數學聯賽 第二試1.12 設為等差數列，為等比數列，且，（） ，又試求的首項與公差2001年全國高中數學聯賽 第一試1.13 如圖，有一列曲線已知是面積為1的等邊三角形，是對進行如下操作得到的：將的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊向形外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉()記為曲線所圍成圖形的面積（1）求數列的通項公式；（2）求2002年全國高中數學聯賽 第一試1.14 在平面直角坐標系XOY中，y軸正半軸上的點列與曲線上的點列滿足，直線AnBn在x軸上

30、的截距為，點Bn的橫坐標為，（1）證明：，；（2）證明：存在，使得對，都有2004年全國高中數學聯賽 第二試1.15 數列滿足.證明：（1） 對于任意，為整數；（2）對于任意，為完全平方數.2005年全國高中數學聯賽 第一試1.16 已知無窮數列滿足（1） 對于怎樣的實數，總存在正整數，使當時恒為常數.（2） 求通項.2006年全國高中數學聯賽 第二試1.17 設，求證：當正整數時，。2007年全國高中數學聯賽 第一試1.18 設，證明：當且僅當時，存在數列滿足以下條件：（1）（2）存在；（3）2008年全國高中數學聯賽 第二試1.19 已知是實數，方程有兩個實根，數列滿足，()求數列的通項公

31、式（用表示）；()若，求的前項和2009年全國高中數學聯賽 第一試1.20 證明：方程恰有一個實數根，且存在唯一的嚴格遞增正整數數列，使得2010年全國高中數學聯賽 第一試2. 等差數列與等比數列等差數列（1） 定義：數列若滿足（為常數），則這個數列叫做等差數列，是這個等差數列的公差。（2） 通項公式：若設等差數列首項為，公差為，則通項公式為；對于任意的，有.（3） 前項和公式：若設等差數列前項和為，則（4） 一些重要的性質Ø 若，且，則；Ø 若是等差數列，正整數也成等差數列，則也成等差數列；Ø 若成等差數列，則叫做與的等差中項，有定義知；Ø 若是等差數

32、列前項和，則也成等差數列，且公差為.等比數列（1） 定義：數列若滿足（為常數），則這個數列叫做等比數列，是這個等比數列的公比。（2） 通項公式：若等比數列首項為，公比為，則通項公式為；對于任意的，有.（3） 前項和公式：若設等比數列前項和為，則當時，所有項之和.（4） 一些重要的性質Ø 若，且，則；Ø 若是等比數列，正整數成等差數列，則也成等比數列；Ø 若成等比數列，則叫做與的等比中項，有定義知；Ø 若是等比數列前項和，則也成等比數列，且公差為.2.1 將素數從小到大排列為，令.求證：對于任意正常數，存在一個完全平方數，使得.1998年以色列匈牙利數學競

33、賽題2.2 給定個互不相同的實數，所有的個和中互不相同的數恰好有個的充要條件是成等差數列.3 遞推數列3.1 （1）已知，求通項公式.（2）已知，求通項公式.3.2 設數列滿足，求通項公式.3.3 已知，且. 求通項公式.3.4 已知滿足，. 求通項公式.3.5 已知，求通項公式.3.6 若，且，求通項公式.3.7 已知，（）. 求通項公式.3.8 已知，（）. 求通項公式.3.9 已知，且，求通項公式. 3.10 設，求通項公式.3.11 已知遞歸方程.其中是自變量，為常數. 求的表達式. 3.12 已知遞歸方程為，其中為非負常數，已知，為非負常數，規定. 求通項公式.3.13 已知整數，定

34、義數證明：，對所有滿足的，成立.3.14 數列中，若，且，求.【解】首先由遞推公式得，總結規律，可得.我們假定這個方程當時成立，再來看當時如何.代入得設，與此相關聯的差分方程是.這個方程的根為.這樣我們有由前面的計算確定和，最后求得實際計算表明所以我們用數學歸納法證明了3.15 求證：存在惟一的正整數列使得（n=1,2,3,）【解】先證惟一性設數列滿足題中所有條件.則將上式變形得: 并且當某時,則,所以，于是.所以式等價于, 即. 由知,該數列的所有項被所惟一確定.再證存在性我們只需證明對滿足,的數列中每一項都是正整數即可.事實上,先可求得,.對于.假定都是正整數,而 記,顯然是正整數,且所以

35、.考慮的最大公因數從而 則 是正整數.綜上,原命題成立.3.16 設，且當時，.求的通項公式.1993年中國國家集訓隊測驗題4. 數列一般項性質項的數性項的整除性項的有界性項的最值性4.1 數列定義如下：.證明：不可能有自然數，使得被整除.4.2 數列滿足，證明都是整數.4.3 設非零數列滿足都是整數，且其中是某個給定的整數.求證：數列的每一項都是整數.4.4 自然數數列滿足關系式.求證：為完全平方數.4.5 設，且對有，其中是給定的自然數.求證：對于是整數.4.6 設是正整數，數列滿足：求證：每個都是正整數，并且求所有的，使得是偶數.4.7 已知數列的通項（1） 求證：對每個非負整數（2）

36、球所有的，使得.4.8 任意選定一個自然數作.在任意選取，如此下去，即當選定后，在選定.證明：在所得數列中，必有某項的末兩位數相同.4.9 為一數列，通項，其中為自然數.試證明：對自然數，數列的項總可以表示為其他兩項的乘積. 4.10 第一項是一個正整數，小唐構造所有的偶數項，小夏構成后面的奇數項.小唐的構成方法是：將前一項減去它本身的任意一個數字.小夏的構成方法是：將一項加上它本身的任何一個數字.如果他們不停地增加新項，求證：有一個整數會在這個數列內出現至少100次.4.11 斐波那契數列定義為.證明：有唯一一組正整數使得，并且對一切正整數都能被整除.4.12 給定正整數.試證：（1） 存在

37、整數，使得.（2） 對任何適合條件的整數組，可構造出滿足的整數序列使得.4.13 是否存在數，使得有一個無窮的正整數數列.對，滿足4.14 是29個不同的整整數列.對及自然數，定義：數列中的數的個數數列中的數的個數.已知對所有的及每一個自然數證明：至少存在一對使得.5 特征根法求通項公式我們稱二次方程為具有遞歸關系的數列的特征方程。設是特征方程的兩個根，我們得出了以下重要結論： 當時，； 當時，；其中都是由原始條件確定的. 當為虛數時，設，其中，則其中是由原始條件確定的.5.1 求斐波那契（Fibonacci)數列的通項公式.注：（1）稱為第個斐波那契數； （2）當初使值改為時，所得出的數列稱

38、為盧卡斯（E.Lucas)數列，記作. （3）與有一些性質： (i)； (ii)； (iii), ; (iv); ; (v）; (vi)的奇偶性相同，并且； (vii)； (viii)； 以上各式的證明可利用遞推式（或通項公式）結合數學歸納法進行.也可利用證明了的性質來推證.5.2 確定的最大值.其中.5.3 已知數列.試證：對于任意正整數有，并指出等號成立的條件.5.4 已知（1） 試證：對一切 （2） 試求的通項公式.6 不動點法求通項公式 設. 數列由初始項及確定，那么，當且僅當是的不動點時，數列是公比為的等比數列. 設有兩個不動點，且由確定數列.1） 若，則數列是等比數列；2） 若，則

39、數列是等差數列. 設有兩個不動點.若由確定數列，則數列（其中，為保證）是公比為的等比數列. 若數列滿足遞推公式，且，有：若其特征方程有兩個根，則可變形為. 若數列滿足遞推公式，我們可以通過消去的方法，使之轉化為二7 階線性遞推數列.8 周期數列周期數列的性質：性質：周期數列是無窮數列，其值域是有限集。性質：若是數列的周期，則對任意，kT也是的周期。性質：周期數列必有最小正周期。性質：若T是周期數列的最小正周期，是任一周期，則. 性質：值域是有限數集的無窮遞歸數列必是周期數列。性質：已知數列滿足，分別為的前n項和與積，若，則.定理：設無窮數列滿足遞歸式，為方程的判別式，為其兩根，其初始值，則（1

40、） 當時，為周期數列（非常值）且周期為2；（2） 當時，為周期數列（非常值） ，且周期為m ；（3） 當時，不可能為非常值的周期函數。8.1 實數列滿足條件，. 證明：存在，使當時有. 8.2 已知實數列具有如下性質：存在正整數，滿足及.證明：存在正整數m使得當，是滿足不等式.9 模周期數列定義：設是整數數列，m是某個取定的大于1的正整數.若是除以m的余數。即，且，則稱是關于模的周期數列。定理：任意滿足線性遞歸關系的k階線性遞歸數列是模周期數列.9.1 數列定義如下：（1） 試求的末兩位數字；（2） 問在00至99中哪些整數是無窮多個的末兩位數. 9.2 設為方程的最大正根，證明：能被17整除

41、. 9.3 已知數列的通項公式為. 證明：數列中有無窮多項為奇合數。10 高階等差數列定義：給定數列，數列稱為的差數列，或一階差數列。 數列的差數列的差數列，稱為數列的二階差數列。 一般地，的階差數列的差數列，稱為數列的階差數列。 若的階差數列是一個非零的常數列，則稱為階等差數列。性質：若是階等差數列，則的差數列為階等差數列。性質：設，前個正整數的次冪之和記為，即.則 是關于的次多項式. （采用第二數學歸納法證明）10.1 （上海交大自主招生）求. 性質：數列是p階等差數列等價于數列的通項公式是關于n的p次多項式. （采用數學歸納法證明）性質：數列是p階等差數列等價于是n的次多項式. 10.2

42、 對于任意實數列，定義為序列，它的第n項是. 設的所有項都是1，且，求. 10.3 已知是整數列，且滿足，；對任意，滿足都是完全平方數. 求證：數列的所有項都是完全平方數. 10.4 證明：x的k次多項式一定可以寫成 （1）的形式，其中. 并證明：對k次多項式（1），當且僅當全為正數時，對的所有值，多項式的值為整數。11 數列不等式【題目1】，對大于1的正整數，令.求證：對所有的正整數.【題目2】正整數列滿足條件：對一切正整數，有且都大于1 .證明：存在正整數，使得.【題目3】為非負整數，滿足.證明：存在實數，【題目4】為一給定正整數.求證：.【題目5】設兩個正整數滿足 （1）（2） .求的通

43、項。【題目6】設為個正實數，且方程組有一組不全為零的實數解.這里.求證：.【題目7】設有界數列滿足證明：.【題目8】給定實數和正整數.求證：（1）存在唯一的實數數列，滿足（2） （1）中的數列滿足.【題目9】設是一個正整數，是個正實數，使得.令，證明：.【題目10】已知數列滿足條件設為正整數，.證明：當時，有.【題目11】設為任意無窮正實數數列.求證：不等式對無窮多個正整數成立.【題目12】求最大的常數，使得對任意正整數，存在正實數數列及滿足：（1）； （2）且.【題目13】設證明：. 其中.【題目14】設.求證：對一切正整數.【題目15】若數列滿足任意正整數.證明：.【題目16】已知.證明：

44、.【題目17】已知求證：.【題目18】已知證明：.【題目19】已知（1）求證：對，有. （2）求【題目20】已知。證明：.【題目21】已知.證明：時.【題目22】設為正整數數列，定義為求證：自某項起遞減.【題目23】已知證明：.【題目24】已知.證明：.【題目25】若. 證明：.【題目26】已知.求證：.【題目27】已知證明：（1）（2）.【題目28】滿足.證明：（1）若則；（2）若則當時，.【題目29】設求證：（1）（2）若則.【題目30】（為正整數）的最小值為，最大值為，且.求證：.【題目31】是否存在數，使得有意無窮正數列滿足？【題目32】已知.證明：.【題目33】已知.求證：對每個.【

45、題目34】已知.證明：存在正數使得任意.*【題目35】若為正數，.證明：.【題目36】已知.求證：.【題目37】設是的實根.求證：（1）；（2）.【題目38】已知.若正數滿足.求證：.【題目39】實數滿足.證明：對任意實數有.【題目40】已知是其反函數.（1）若數列滿足，求；（2）設，問：是否存在一個最大的正整數，使對一切，有成立？【題目41】實數列滿足證明：.【題目42】若滿足(1) ;(2)(3) .證明：.【題目43】非負數列滿足對任意正整數有證明：對任意有.【題目44】求所有實數使滿足的數列是遞增的.【題目45】設為一無窮正數數列.若對任意且對任意正整數.求證：【題目46】設.求.【題

46、目47】構造一無窮有界數列，使對每一對非負整數【題目48】設函數滿足對任意，有.求證：對任意，都有.12 凸數列由凸數列的概念可知，數列凸性揭示了數列連續三項之間的一種不等關系，由此可導出一類與凸數列有關的數列不等式，這些不等式我們可統稱為凸數列不等式。題1實數（），且，求最小的，使得對所有，都有. 題2設數列是凸數列. 試證：當時，有. 題3設是一個正實數序列，滿足（），證明：對一切，有.題4設數列是凸數列. 試證：對大于1的奇數有題5如果對于每一個（）均有則稱實數列為一個“凹數列”. 求出最大的實數，使得對于每一個非負的凹數列，均有.題6給定整數，求具有下述性質的最大常數：若實數序列滿足及

47、，則有13 20道國內外數學奧林匹克中的數列問題 1 非負整數數列定義是：是小于的非負整數，且證明：數列一定包含無窮多個素數. （2004，澳大利亞數學奧林匹克） 2 設為一非負整數列，且對任意滿足（3） 證明：對任意，可以在數列中找到個連續的項；（4） 求出一個滿足條件，且存在無限多個非“0”項的數列. （2005，羅馬尼亞數學奧林匹克） 3 設是大于1的整數，集合表示各項均為非負整數且滿足遞推關系的所有非常數數列的集合. 證明：存在中的一個數列，滿足對任意一個在中的數列，有（）.（2008，澳大利亞數學奧林匹克） 4 數列定義為，其中，表示不超過的最大整數. 證明：這個數列有無窮的等差子列

48、. （2008，俄羅斯數學奧林匹克） 5 試求最大整數，使得對于任意的正整數數列，該數列對所有的正整數有，則. （2007，泰國數學奧林匹克） 6 兩個整數數列和滿足方程其中，. 證明：存在，使得. （2008，國際數學奧林匹克美國代表隊選拔考試） 7 數列定義為證明：該數列每一項都能表示成的形式.（2008，塞爾維亞數學奧林匹克）,與互素 8 設整數. 數列滿足，且對所有的，有,與不互素 證明：數列中有無窮多項是素數. （2010，中國數學奧林匹克） 9 對于任意的正整數，是否存在一個無窮正實數數列滿足條件：（1） ；（2） ？（2008，巴爾干地區數學奧林匹克） 10 設是一個正整數. 數

49、列按如下方式定義：，（）. 求的一切可能值，使得存在，（）滿足是一個正整數的次冪. （2008，巴爾干地區數學奧林匹克） 11 已知，其中（）是非零整數. 數列滿足，（）求證：（1）對于正整數（），是的倍數；（2）. （2008，中國香港數學奧林匹克） 12 數列滿足：，（）證明：對任意正整數，中存在均能被整除的連續兩項. （2008，國際數學奧林匹克愛沙尼亞代表隊選拔考試） 13 設是任意正數. 證明：或至少有一個成立.（對于正數，表示當增加時，和無解）（20082009，匈牙利數學奧林匹克） 14 已知數列滿足，（）若（），證明：數列有極限，并求其極限。（2009，越南數學奧林匹克） 15

50、 設，定義，（）證明：當時，為整數，且為奇數當且僅當或.（2009，新加坡數學奧林匹克） 16 求證：對任意的正整數，存在一個有理數的等差數列. 其中， （）是互素的正整數，且互不相同. （2009，亞太地區數學奧林匹克） 17 數列定義為：（），（）. 證明：數列中含有無數個可被整除的數. （2009，奧地利數學奧林匹克） 18 設，令對于任意，其中為的次復合，求的表達式. （1991，IMO中國國家集訓隊測試題） 19 實系數多項式（）滿足恰有一個實根，數列，數列滿足，. 證明：中包含無窮多個負實數.（2009，國際數學奧林匹克越南國家隊選拔考試） 20 給定正整數，定義數列：，（）其中，

51、表示各位上數碼之積（如，）.證明：存在正整數和，使得數列中恰有2009個不同的數. （2009，捷克-波蘭-斯洛伐克數學競賽）21 我們知道，如果給定一個數列，那么我們可以定義它的“差數列”：相反的，我們可以定義“和數列”：. 現在，我們考慮兩個數列，滿足，并且的和數列沒有上界。令，存在一個正常數，使得的和序列滿足以下兩個條件：（3） 對充分大的正整數，有；（4） 對任意正整數，有. 求的所有可能值。22 已知無限項的正整數的數列滿足：對任意的正整數都有. 證明或否定：存在一個這樣的數列使得它恰有個不同的正整數。23 數列定義如下：（1） 對，；（2） 對，有恒成立. 求證：對所有的非負整數，

52、是2011的倍數。證明：注意到2011是素數. 設的零點為. 下面證明：. 設（）是初等對稱多項式，并且. 定義.由韋達定理及牛頓公式，即條件（1）成立. 對于條件（2）采用數學歸納法。奠基成立。假設當時結論成立。.于是，對所有的，都有成立. 因此，.最后一步即為費爾馬小定理. 24 證明或否定：存在一個無窮項正整數數列，在這個數列中，每一個正整數出現且僅出現一次，且前項和恰能被整除。結論是存在的。構造如下：設滿足上述條件的數列為. 記，. 令，則，. 考慮基于的情況構造：若，則取. 并且. 即滿足題意. 若，存在，使得，其中. 取. 則有這里，. 因此結論成立. 25 證明或否定：存在一個嚴

53、格單調遞增的正整數列，具有以下性質：對任意的正整數，在中有且僅有有限多個素數. 結論是存在的. 只須構造. 對于當時，和當時，結論即成立。另一種構造：. 26 已知是整數，正整數滿足，且. 對所有的整數，定義. 求證：存在正整數，使得當時，均為常數. 顯然有. 因此數列是最終周期的. 設是的一個周期. 令. 不妨設（）. 我們有.根據的定義可知，（）. 因此對于任意正整數，有.又因為. 由裴蜀等式，知對于所有的，.因此對所有的，都有. 結論得證. 27 設數列定義如下：，對于，. 其中. 求證：. 28 對于正實數數列，數列的一階均值數列定義如下：. 由此定義數列的階均值數列. 若對于數列，的階均值數列中的每一項都是正整數，則稱數列為“好數列”。求證：如果數列是“好數列”，那么數列也是“好數列”。29 證明或否定：存在正整數，使得首項為的數列滿足遞推關系且數列中的每一項都是合數. 存在。利用中國剩余定理進行構造。假設，那么，. 由此可斷定：，. （這里，和是以3為周期，而是以2為周期）而. 因此，存在素數使得. 這里. 則數列是以6為周期的周期數列。考慮. 若，則. 若，則.若，則.若，則.由中國剩余定理可知，存在一個正整數，使得，令，結論即成立. 實際上，當時，而恰為素數. 羂芃螁蚆芁節薁袁芇芁蚃螄膃芀螆羀聿芀蒅螃羅艿