1、凹多邊形的幾點思考學習四邊形這節時，老師詳細地介紹了凸四邊形，并提及另一種多邊形一一凹多邊形。這種幾何圖形深深得吸引了我，于是我利用課余時間，做了一些探索和總結，發現許多有關凸四邊形的定理和命題，在凹四邊形上也同樣適用:、順次連接凹四邊形的各邊中點，得到的圖形是平行四邊形。（凸四邊形的各邊中點順次連接，得到的圖形是平行四邊形。已知：如圖1 1:四邊形ADCB1任意凹四邊形，點 E, F, G,H分別是是AB,BC,CD,DA的中點，連接EF,FG,GH,HE求證：四邊形EHGF1平行四邊形。證明：如圖，連接AC.點E, F, G, H分別是是AB,BC,CD,DA勺中點EF, HM另I是ABC

2、tACD勺中位線EF / HG一四邊形EFGK平行四邊形。圖1-1、凹四邊形的內角和為360° （凸四邊形的內角和為360° ）。證明：如圖，連接BD.圖 2-11已知：如圖211:四邊形ACB此任意凹四邊形。求證：/ A+ / ABG / C+/ 1=360°./A+ / ABD+ ADB=180 , / C+ / CBD+ CDB=180/ A+ / ABD+ ADB +/ C+ / CBD+ CDB =360即：/ A+ / ABC / C+/ 1=360°另一種證明方法如下：如圖2-12連接AC/ DAB+ ABC+ BCD+ 1=/ DAB+

3、ABC+ BCD+(360 0 -/ADC=/DAB+ABC+BCD+(180 -/ADC)+ 180=(/ DABy DAC)吆 ABC+(Z BCD+ DCA)+ 180°圖 2-12=/CAB+ABC+BCA+ 180 =180° +180° =360°綜上所述：凹四邊形的內角和為360° .-5 -三、凹四邊形的外角和為360° （凸四邊形的外角和為360° ） 二.四邊形的內外角之和為180°凹四邊形的外角=4X 180 -360° =360°經過更加深入的探究，我還發現：凹多邊形和凸

4、多邊形之間也有許多的相似之處，并且有較多的證明方法：一、凹n邊形的對角線數為 皿二3）（凸n邊形的對角線數為 迪二3）22圖形邊數對角線數442H55612nn(n -3) 2、凹n邊形內角和為180n-2）（凸n邊形的內角和為180 （ n - 2） 由上述探討可知當n=4時，該結論成立.現以凹五邊形為例探究(D分割法已知：如圖311,五邊形ABCD星任意凹五邊形.求證：/A+ / B+ /C+/ D +/1=540°證明：過點E作EF，BC,垂足為點F。連接AF, DR /FAE升 /ABR /BFA=180 , / FA曰 / AER /EFA=180 , /DE斗 / EFA

5、 / FDE=180 ,/ DC斗 / CF> / FDC=180丁. / EA計 / B+ / C+/ CDE 吆 1=(/ FAH / FAE)+/ B+ / C+(Z FDC+ FDE)+( / AEF吆 DEF) =360 0 - / EFB +360° - / EFC 又” EFB吆 EFC4 BFC= 180° /EA計 / B+ /C+/CDE 吆 1=720° -180° =540° 由此證明可知.點F亦可以為邊BC上的任意點.即所求證的命題正確。(2)軸對稱法證明：如圖3-12,過點A, D作直線L,以直線L為 對稱軸，

6、作點E的對稱點H.連接AH,DH.分別延長 AE,DE交 BC于點 F,G./ H= / AED(軸對稱的性質)/FE& / AED.H= /FEG又,一/ 1 = /2=/3+/5=/4+/6丁. / EA計 / B+ / C+/ CDE 吆 1+/ 2+/ FEG=180°X (5-2)H圖 3-12=/ EAB / B+ / C+(/ 3+ / 5)+ / CDE +(/ 4+ / 6)+ / H = /HA拼 / B+ / C+/CDH+H=540 =180° X (5-2)即所求證的命題正確*注：若點A, B, H共線，如圖3-22.上述證明過程仍然成立.由此可推導得，凹n邊形內角和=180 (n-2)綜上所述，該結論成立.三、凹多邊形外角和為360° （凸多邊形的外角和為360° ）V任意多邊形的內外角之和為180°.