1、第一章多項式6一.填空題1、當 p(x)是 多項式時，由 p(x)| f(x)g(x)可推出 p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)。2、當 f(x)與 g(x)時，由 f(x)|g(x)h(x)可推出 f(x)|h(x)。3、設f(x)=x 3+3x2+ax+b用x+1除余數為3,用x-1除余數為5,那么a=b=4、設 f(x)=x 4+3x2-kx+2 用 x-1 除余數為 3,則 k=。5、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b ,貝U a=b=。6、f(x)沒有重根的充分必要條件是 。7、如果 f(x)=x 3-3x+k 有重根，那么 k=。8.若不可約多項式p(x)是f

2、(xqk重因式，則p(x)是f(k,)(x)的 因式9、a是f(x)的根的充分必要條件是 。10、以l為二重根，2, 1+i為單根的次數最低的實系數多項式為f(x)=11.艾森施坦因判別法是判斷多項式在有理數域上不可約的一個 條件。答案6、(f(x),f' (x)=1 7、k= ± 211.充分1、不可約2、互素 3、a=0,b=14、k=3 5、a=3,b=-78.單因式 9、x-a|f(x)10、x5-6x4+15x3-20x2+14x-4二.判斷并說明理由1、若 f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),則 f(x)|h(x)()2、若 f(x)|g(x)h(x

3、),則 f(x)|g(x)或 f(x)|h(x)()3.設 f(x) w Px,且 f(-1) = f (1)=0 ,貝 U x2 -1 f (x).()4、設p(x)是數域p上不可約多項式，如果p(x)是f(x)的k重因式，則p(x)是f '(x)的k-1重因式。 ()5 .任何兩個多項式的最大公因式不因數域的擴大而改變。6 .若一整系數多項式f (x)有有理根，則f (x)在有理數域上可約。7 .若f (x)無有理根，則f (x)在Q上不可約。()8 .在實數域上所有次數大于或等于3的多項式都是可約的.()9、f(x)=x 4-2x3+8x-10在有理數域上不可約。()答案1、，2

4、、X當f(x)是不可約時才成立3. V 4、，5. V 6. X 次數2時成立 7. X 8. V三.選擇題1、以下數集不是數域的是()A、+bi|a,b是有理數,i2= -1 B、 A+bi | a,b是整數，i2= -1C、(a+b尤| a,b是有理數D、全體有理數2、關于多項式的整除，以下命題正確的是()A、若 f(x)|g(x)h(x),且 f(x) |g(x)則 f(x)|h(x)B、若 g(x)|f(x),h(x)|f(x),則 g(x)h(x)|f(x)C、若 f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x),則 f(x)|g(x)且 f(x)|h(x)D、若 f(x)

5、 |g(x), f(x) |h(x),則 f(x) |g(x)h(x)3、關于多項式的最大公因式，以下結論正確的是()A、若 f(x)|g(x)h(x)且 f(x)|g(x),則(f(x),h(x) ) =1B、若存在 u(x), v(x),使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x),則 d(x)是 f(x)和 g(x)的最大公因式C、若 d(x)|f(x)，且有 f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x),則 d(x)是 f(x)和 g(x)的最大公因式D、若(f(x)g(x),h(x)=1 ,則(f(x),h(x)=1 且(g(x),h(x)=1 ()4、關于不可約多項式p(x

6、),以下結論不正確的是()A、若 p(x)|f(x)g(x),則 p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)B、若 q(x)也是不可約多項式，則(p(x),q(x) ) =1 或 p(x)=cq(x),c w。C、p(x)是任何數域上的不可約多項式D、p(x)是有理數域上的不可約多項式5、關于多項式的重因式，以下結論正確的是()A、若p(x)是f (x)的k重因式，則p(x)是f(x)的k+1重因式B、若p(x)是f(x)的k重因式，則p(x)是f(x) , f'(x)的公因式C、若p(x)是f (x)的因式，則p(x)是f(x)的重因式D、若p(x)是f(x)的重因式，則p(x)是f(

7、x)(f(x), f (x)的單因式6、關于多項式的根，以下結論不正確的是A、a是f(x)的根的充分必要條件是(X-訓f(x)B、若f(x)沒有有理根，則f(x)在有理數域上不可約C、每個次數1的復數系數多項式，在復數域中有根D、一個三次的實系數多項式必有實根7、設f(x)=x 3-3x2+tx-1是整系數多項式，當t=()時，f(x)在有理數域上可約。A、1 B、0C、-1 D、3或-58、設f(x)=x 3+tx2+3x-1是整系數多項式，當t=()時，f(x)在有理數域上可約。A、1 B、-1 C、0 D、5 或-39、設f(x)=x 5+5x+1 ,以下結論不正確的是()A、f(x)在

8、有理數域上不可約B、f(x)在有理數域上可約C、f(x)有一實根D、f(x)沒有有理根10. f (x) =anxn+anxn+|1+a1x+ a0 w Zx,若分數上(p,q互素)是f (x)的有理根，則下列結論正 q確的是()A. pan,qBqB. pan,qanC. pao,qanD. pa0,qa0答案：1、B 2、C 3、D 4. C 5、D 6、B 7、D 8、D 9、B 10. C四.計算題1、求 m, p 的值使 x2+3x+2|x4-mx2-px+2 人rr3m+p+15=0解：用田余除法求得 r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)令 r(x)=0 即 3尸 +

9、6 = 0求得 m= -6 p=3 3222 求 l,m,使 f(x)=x +lx +5x +2 能被 g(x )= x +mx + 1 整除。解法 1 ：因 qf(x»=3, 4g(x)=2,故商 q(x)滿足 8(q(x )=1 , 且設q(x ) = x + p ,則由3 232f(x)=q(xg(x )可得 x +lx +5x+2 = x +(m+pX +(pm + 1)x+p, p = 2, pm +1 = 5, p + m = l ,從而p = 2,m = 2,l =4 o5x 2x解法2:用帶余除法2/x mx 13. 2xlx3 2x m xl -m x24x 22l

10、 - m xm l - m x l - m4 m2 -lm x 2 m -l于是 f (x )=g(x (x +l -m )十(4十 m2 -lm x+2 + ml ,因 g (x f (x ),則 4 + m2 lm =0,2 +m l = 0,從而l = 4, m = 2。432323.設 f(x)=x +3x -x -4x-3, g(x)=3x +10x +2x3, 求(f (x), g(x),并求 u(x), v(x)使(f(x),g(x) =u(x)f(x) +v(x)g(x)。31 22(f (x), g(x) =x+3 ； u(x) = x- 1 , v (x ) =-x +x

11、5554、判斷f (x)=x4-6x2+8x-3有無重因式，如果有，求其重數解：f (x)=4x3-12x+8(f(x), f (x)=(x-1) 2x-1是f(x)的三重因式注：求f (x )重因式的方法：1 .求 f '(x )2 .求(f (x ) f '(x )=d (x )。當d(x )=1,則無重因式。當d (x )#1,則有重因式，且 d(x即為一些重因式的乘積，據此，也可考察f (x )有無重根。6、求f(x)=4x 4-7x2-5x+1的有理根，并寫出f(x)在有理數域上的標準分解式。解：有理根為-1 (二重)分解式為f(x)=4(x+ ；)2(x2-x-1)

12、7、已知 i, 2-i 是 f(x)=2x 5-7x4+8x3-2x2+6x+5 的兩個根，求 f(x)的全部根“1解：全部根為i,-i,2-i,2+i, 一28、求以1為二重根，1-i為單根的次數最低的實系數多項式f(x).解：f(x)=x 4-4x3-x2-6x+29、已知 1-i 是 f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2 的根，求 f(x)的全部根。解：全部根為1+i,1-i,1+、. 2 ,1- ,2五.證明題2f (1) - f(-1) f (1) f (-1)1、試證用x2-1除f(x)所得余式為x + V 722證明：設余式為 ax+b,則有 f(x)=(x 2-1)q(x)

13、+ax+bf(1)=a+b,f(-1)=-a+b求得 a-FbJD + fT2'22、證明，(f(x)+g(x),f(x)-g(x) ) =(f(x),g(x)證明:(f(x), g(x)=d(x) 則 d(x)|f(x)+g(x)d(x)|f(x)-g(x) 設 d1(x)是 f(x)+g(x),f(x)-g(x)的任一公因 式 則 d 1 (x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x)d1 (x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x)故 d1(x)|f(x),d 1(x)|g(x),從而d1(x)|d(x)得證3、設p(x)是次數大于零的多項式，如果對任意

14、多項式f(x) , g(x),由p(x|f(x)g(x),可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么p(x)是不可約多項式證明：假設p(x)是可約的，設P(x)=Pi(x)P2(x)其中 (p1 (x) < f (p(x), f (P2(x)< f (p(x)顯然 P(x)|Pi(x)P2(x)但 p(x)|Pi(x), p(x)|p 2(x) /這與題設矛盾，即p(x)是不可約的。4 .設p(x )是pU中一個次數，的多項式。如果對于Vf (x)g(x/Pk】，從p(x)| f(xb(x)可推出p(x f (x ),或p(x ) g(x ),則p(x謔P x 中的一個不可

15、約多項式。證明：類似上題，用反證法。若 p(x戶plx1可約，則p(x)可分解為p(x )= f1(x 廣 f2(x )可 f(x )6(f2(x»<qp(x ),且 p(x) f1(x)f2(x ),故由題設有p僅f1(x / p(x ) f2(x ),矛盾。5 .設p(x尾P X】中一個次數 之1的多項式。如果對 yf (x戶P kl,都有p(x )| f (x )或(p(x ) f (x)= 1 ,則p(x尾數域P上的不可約多項式。證明：用反證法。如果p(x )在P上可約，則p(x)可表成兩個次數較低的多項式的乘積：p(x )=f1(x)f2(x),且可設f1(x)的首項系數為1,于是 p(x”"x